15. 在数学研究中,观察、猜想、实验验证、得出结论,是我们常用的几何探究方式。
操作:在一张白纸上画一条直线 MN,把一块直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 MN 上。

(1)如图①,当点 A,B 都在直线 MN 上方时,试判断∠ACM 与∠BCN 的度数之和是多少,并说明理由。
(2)如图②,把直角三角板绕点 C 旋转,使点 A 在直线 MN 的下方,点 B 仍在直线 MN 的上方,用测量或分析的方法完成下表,并判断∠ACM 与∠BCN 的数量关系。

结论:。
(3)如图③,继续把直角三角板绕点 C 旋转,使点 A 和点 B 都在直线 MN 的下方,你发现∠ACM 与∠BCN 又有什么样的数量关系呢?
请直接写出结论:。

解：(1) $∠ ACM + ∠ BCN = 90°$，理由如下：
因为点$C$在直线$MN$上，所以$∠ ACM + ∠ ACB + ∠ BCN = 180°$。
又因为三角板的直角$∠ ACB = 90°$，
所以$∠ ACM + ∠ BCN = 180° - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$。
(2) 表格填写：
第一行：$110°$，$90°$
第二行：$130°$，$90°$
第三行：$160°$，$90°$
结论：$∠ BCN - ∠ ACM = 90°$
(3) 结论：$∠ ACM + ∠ BCN = 270°$

【分析】
解决本题的核心是抓住平角为180°、直角三角板的直角∠ACB=90°这两个固定条件，结合三角板不同的摆放位置，通过角的和差运算推导∠ACM和∠BCN的数量关系：
(1) 当A、B都在MN上方时，三个角∠ACM、∠ACB、∠BCN刚好组成平角∠MCN，用平角的度数减去直角的度数即可得到两角之和；
(2) 当A在MN下方、B在上方时，通过测量多组数据发现两角的差值固定，再结合角的和差、平角性质推导得到两角的差为90°；
(3) 当A、B都在MN下方时，同样利用角的和差、平角性质，即可推出两角之和为270°。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ACM + ∠BCN = 90°}$，理由如下：
根据平角的定义，点C在直线MN上，因此$∠ACM + ∠ACB + ∠BCN = ∠MCN = 180°$，
又因为三角板的直角$∠ACB = 90°$，
代入得：$∠ACM + ∠BCN = 180° - ∠ACB = 180° - 90° = 90°$。
(2) 表格填写如下：
| ∠ACM的度数 | ∠BCN与∠ACM的差 |
| ---- | ---- |
| $110°$ | $90°$ |
| $130°$ | $90°$ |
| $160°$ | $90°$ |
推导结论：由平角定义得$∠ACM + ∠ACN = 180°$，即$∠ACN = 180° - ∠ACM$，
又$∠BCN = ∠ACB + ∠ACN = 90° + ∠ACN$，
将$∠ACN = 180° - ∠ACM$代入得：$∠BCN = 90° + 180° - ∠ACM$，
整理得$\boldsymbol{∠BCN - ∠ACM = 90°}$。
(3) 推导：由平角定义可知，$∠ACM = 180° - ∠ACN$，$∠BCN = 180° - ∠BCM$，
两式相加得$∠ACM + ∠BCN = 360° - (∠ACN + ∠BCM)$，
又$∠ACN + ∠BCM = ∠ACB = 90°$，
代入得$∠ACM + ∠BCN = 360° - 90° = 270°$。
【答案】
(1) $∠ACM + ∠BCN = 90°$，理由见解析；
(2) 表格依次填$110°$，$90°$；$130°$，$90°$；$160°$，$90°$；结论：$∠BCN - ∠ACM = 90°$；
(3) $∠ACM + ∠BCN = 270°$
【知识点】
平角的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题属于几何探究类问题，通过改变三角板的摆放位置，引导学生经历观察、猜想、验证、得出结论的探究过程，重点考查对平角、直角性质的运用能力，以及角度和差运算的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7