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9.同一直线上有A,B,C三点,若点C,A之间的距离与点C,B之间的距离之比是1:2,则称
点C为点A和点B的“牛点”。如果点P是点M和点N的“牛点”,且PM=1,则MN=。
点C为点A和点B的“牛点”。如果点P是点M和点N的“牛点”,且PM=1,则MN=。
答案
解：
∵点P是点M和点N的“牛点”，
∴$PM:PN=1:2$，
又∵$PM=1$，
∴$PN=2$。
分两种情况讨论：
① 当点P在线段MN上时，
$MN=PM+PN=1+2=3$；
② 当点P在线段MN外，且点M在P、N两点之间时，
$MN=PN-PM=2-1=1$。
综上，$MN=1$或$3$。
∵点P是点M和点N的“牛点”，
∴$PM:PN=1:2$，
又∵$PM=1$，
∴$PN=2$。
分两种情况讨论：
① 当点P在线段MN上时，
$MN=PM+PN=1+2=3$；
② 当点P在线段MN外，且点M在P、N两点之间时，
$MN=PN-PM=2-1=1$。
综上，$MN=1$或$3$。
解析
【分析】
首先先理解“牛点”的新定义：同一直线上，若点到A、B两点的距离比为1:2，则该点是A、B的牛点。由此可先得到PM和PN的长度比，结合已知PM=1求出PN的长度。由于三点在同一直线上，点P的位置不确定，需要分两种情况讨论：一是点P在线段MN上，二是点P在线段MN外、且M在P和N之间，分别根据线段的和差关系计算MN的长度即可。
【解析】
∵点P是点M和点N的“牛点”，
∴$PM:PN=1:2$，
又
∵$PM=1$，
∴$PN=2$。
分两种情况讨论：
① 当点P在线段MN上时，
$MN=PM+PN=1+2=3$；
② 当点P在线段MN外，且点M在P、N两点之间时，
$MN=PN-PM=2-1=1$。
综上，MN的值为1或3。
【答案】1或3
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查线段长度的计算，解题的关键是准确理解新定义，同时要全面考虑同一直线上点的所有可能位置，避免遗漏情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先先理解“牛点”的新定义：同一直线上，若点到A、B两点的距离比为1:2，则该点是A、B的牛点。由此可先得到PM和PN的长度比，结合已知PM=1求出PN的长度。由于三点在同一直线上，点P的位置不确定，需要分两种情况讨论：一是点P在线段MN上，二是点P在线段MN外、且M在P和N之间，分别根据线段的和差关系计算MN的长度即可。
【解析】
∵点P是点M和点N的“牛点”，
∴$PM:PN=1:2$，
又
∵$PM=1$，
∴$PN=2$。
分两种情况讨论：
① 当点P在线段MN上时，
$MN=PM+PN=1+2=3$；
② 当点P在线段MN外，且点M在P、N两点之间时，
$MN=PN-PM=2-1=1$。
综上，MN的值为1或3。
【答案】1或3
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查线段长度的计算，解题的关键是准确理解新定义，同时要全面考虑同一直线上点的所有可能位置，避免遗漏情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
10. 已知$∠ AOB = 50°$,过点$O$作射线$OC$,若$∠ BOC = 30°$,$OM$平分$∠ AOC$,则$∠ BOM=$。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 50° - 30° = 20°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 10°$
所以$∠ BOM = ∠ BOC + ∠ COM = 30° + 10° = 40°$
② 当射线OC在∠AOB的外部时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 50° + 30° = 80°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 40°$
所以$∠ BOM = ∠ COM - ∠ BOC = 40° - 30° = 10°$
综上，$∠ BOM = 40°$或$10°$。
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 50° - 30° = 20°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 10°$
所以$∠ BOM = ∠ BOC + ∠ COM = 30° + 10° = 40°$
② 当射线OC在∠AOB的外部时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 50° + 30° = 80°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 40°$
所以$∠ BOM = ∠ COM - ∠ BOC = 40° - 30° = 10°$
综上，$∠ BOM = 40°$或$10°$。
解析
【分析】
本题未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：OC在∠AOB内部、OC在∠AOB外部。解题时先根据角的和差关系求出∠AOC的度数，再结合角平分线的性质求出∠COM的度数，最后计算∠BOM的大小即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 50° - 30° = 20°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 10°$
所以$∠ BOM = ∠ BOC + ∠ COM = 30° + 10° = 40°$
② 当射线OC在∠AOB的外部时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 50° + 30° = 80°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 40°$
所以$∠ BOM = ∠ COM - ∠ BOC = 40° - 30° = 10°$
综上，$∠ BOM$的度数为$40°$或$10°$。
【答案】
$40°$或$10°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的典型易错题，解题的关键是考虑到射线OC位置的两种可能性，避免漏解，日常练习中要养成结合题意分析所有可能图形的习惯，强化分类讨论的解题意识。
【难度系数】
0.6
本题未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：OC在∠AOB内部、OC在∠AOB外部。解题时先根据角的和差关系求出∠AOC的度数，再结合角平分线的性质求出∠COM的度数，最后计算∠BOM的大小即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 50° - 30° = 20°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 10°$
所以$∠ BOM = ∠ BOC + ∠ COM = 30° + 10° = 40°$
② 当射线OC在∠AOB的外部时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 50° + 30° = 80°$
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = 40°$
所以$∠ BOM = ∠ COM - ∠ BOC = 40° - 30° = 10°$
综上，$∠ BOM$的度数为$40°$或$10°$。
【答案】
$40°$或$10°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的典型易错题，解题的关键是考虑到射线OC位置的两种可能性，避免漏解，日常练习中要养成结合题意分析所有可能图形的习惯，强化分类讨论的解题意识。
【难度系数】
0.6
11. 如图,一条小路m的两侧有两栋居民楼,分别记作点A和点B,计划在小路m上建一座亭子P,供居民休息,且点P到A,B的距离之和最小。
(1)小明说:连接AB,交直线m于点P,则点P即为所求。请根据小明的叙述画出图形,并说明这种画法的依据。
(2)若两栋居民楼A,B之间的距离为200 m,AP的中点处放置一石凳C,BP的中点处放置一石凳D,求石凳C,D之间的距离。
(1)小明说:连接AB,交直线m于点P,则点P即为所求。请根据小明的叙述画出图形,并说明这种画法的依据。
(2)若两栋居民楼A,B之间的距离为200 m,AP的中点处放置一石凳C,BP的中点处放置一石凳D,求石凳C,D之间的距离。
答案
解：
(1) 画出图形：连接线段AB，线段AB与直线m的交点即为所求点P。
画法依据：两点之间，线段最短。
(2) 因为点C是AP的中点，
所以 $CP=\frac{1}{2}AP$。
因为点D是BP的中点，
所以 $DP=\frac{1}{2}BP$。
因此 $CD=CP+DP=\frac{1}{2}(AP+BP)$。
由题意得 $AP+BP=AB=200\ \mathrm{m}$，
代入得 $CD=\frac{1}{2}×200=100\ \mathrm{m}$。
答：石凳C，D之间的距离为100 m。
(1) 画出图形：连接线段AB，线段AB与直线m的交点即为所求点P。
画法依据：两点之间，线段最短。
(2) 因为点C是AP的中点，
所以 $CP=\frac{1}{2}AP$。
因为点D是BP的中点，
所以 $DP=\frac{1}{2}BP$。
因此 $CD=CP+DP=\frac{1}{2}(AP+BP)$。
由题意得 $AP+BP=AB=200\ \mathrm{m}$，
代入得 $CD=\frac{1}{2}×200=100\ \mathrm{m}$。
答：石凳C，D之间的距离为100 m。
解析
【分析】
(1) 要在直线m上找到点P使得P到A、B的距离之和最小，因为A、B在直线m两侧，根据两点连线中线段最短的性质，直接连接AB，AB与直线m的交点就满足PA+PB的和等于AB长度，是最小值，该点就是所求的P。
(2) 已知C是AP中点、D是BP中点，先根据线段中点的定义分别写出CP与AP、DP与BP的数量关系，再将CD拆成CP+DP，提取公因式后可得到CD和AB的数量关系，代入AB的长度即可计算出CD的长度。
【解析】
(1) 画图：用直尺连接线段AB，线段AB与直线m的交点即为所求点P（图略）。
画法依据：两点之间，线段最短。
(2) 解：
∵ 点C是AP的中点，
∴ $CP=\frac{1}{2}AP$。
∵ 点D是BP的中点，
∴ $DP=\frac{1}{2}BP$。
∴ $CD=CP+DP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)$。
由题意得$AP+BP=AB=200\ \mathrm{m}$，
代入得 $CD=\frac{1}{2}×200=100\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 画图见解析，依据为两点之间，线段最短；
(2) $\boldsymbol{100\ \mathrm{m}}$
【知识点】
两点之间线段最短，线段中点的性质，线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考察几何基础应用，既考查了最短路径的作图原理，又考查了线段中点相关的计算，难度较低，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
(1) 要在直线m上找到点P使得P到A、B的距离之和最小，因为A、B在直线m两侧，根据两点连线中线段最短的性质，直接连接AB，AB与直线m的交点就满足PA+PB的和等于AB长度，是最小值，该点就是所求的P。
(2) 已知C是AP中点、D是BP中点，先根据线段中点的定义分别写出CP与AP、DP与BP的数量关系，再将CD拆成CP+DP，提取公因式后可得到CD和AB的数量关系，代入AB的长度即可计算出CD的长度。
【解析】
(1) 画图：用直尺连接线段AB，线段AB与直线m的交点即为所求点P（图略）。
画法依据：两点之间，线段最短。
(2) 解：
∵ 点C是AP的中点，
∴ $CP=\frac{1}{2}AP$。
∵ 点D是BP的中点，
∴ $DP=\frac{1}{2}BP$。
∴ $CD=CP+DP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)$。
由题意得$AP+BP=AB=200\ \mathrm{m}$，
代入得 $CD=\frac{1}{2}×200=100\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 画图见解析，依据为两点之间，线段最短；
(2) $\boldsymbol{100\ \mathrm{m}}$
【知识点】
两点之间线段最短，线段中点的性质，线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考察几何基础应用，既考查了最短路径的作图原理，又考查了线段中点相关的计算，难度较低，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
12. 如图，$∠ AOB=90°$,直线$CD$经过点$O$,且$∠ AOD=125°$。
(1)求$∠ BOC$的度数；
(2)将直线$CD$绕点$O$逆时针方向旋转$α(0°＜α＜360°)$,若直线$CD$平分$∠ AOB$,求$α$的值。
(1)求$∠ BOC$的度数；
(2)将直线$CD$绕点$O$逆时针方向旋转$α(0°＜α＜360°)$,若直线$CD$平分$∠ AOB$,求$α$的值。
答案
解：(1) ∵ 直线CD经过点O，
∴ ∠AOC + ∠AOD = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 125° = 55°，
又∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 55° = 35°。
(2) ∵ ∠AOB = 90°，直线CD平分∠AOB，
∴ ∠AOB的角平分线将∠AOB分为两个都等于45°的角。
当射线OC落在∠AOB的角平分线上时，OC与OB的夹角为45°，
此时旋转角α = 45° - 35° = 10°；
当射线OD落在∠AOB的角平分线上时，旋转角比第一种情况大180°，
此时α = 10° + 180° = 190°。
综上，α的值为10°或190°。
∴ ∠AOC + ∠AOD = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 125° = 55°，
又∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 55° = 35°。
(2) ∵ ∠AOB = 90°，直线CD平分∠AOB，
∴ ∠AOB的角平分线将∠AOB分为两个都等于45°的角。
当射线OC落在∠AOB的角平分线上时，OC与OB的夹角为45°，
此时旋转角α = 45° - 35° = 10°；
当射线OD落在∠AOB的角平分线上时，旋转角比第一种情况大180°，
此时α = 10° + 180° = 190°。
综上，α的值为10°或190°。
解析
【分析】
(1) 首先观察到直线CD经过点O，因此∠AOC和∠AOD是邻补角，两角和为180°，结合已知∠AOD的度数可先求出∠AOC的度数；再结合∠AOB是直角，利用角的和差关系即可求出∠BOC的度数。
(2) 先明确角平分线会将90°的∠AOB分为两个45°的角，直线CD平分∠AOB存在两种情况：一是射线OC落在∠AOB的角平分线上，二是射线OD落在∠AOB的角平分线上，分别计算两种情况对应的旋转角即可，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵ 直线CD经过点O，
∴ ∠AOC与∠AOD互为邻补角，即∠AOC + ∠AOD = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 125° = 55°，
又
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 55° = 35°。
(2)
∵ ∠AOB = 90°，直线CD平分∠AOB，
∴ ∠AOB的角平分线分∠AOB得到的两个角均为45°。
分两种情况讨论：
① 当射线OC落在∠AOB的角平分线上时，OC与OB的夹角为45°，
此时旋转角α = 45° - 35° = 10°；
② 当射线OD落在∠AOB的角平分线上时，旋转角比情况①大180°，
此时α = 10° + 180° = 190°。
综上，α的值为10°或190°。
【答案】
(1) $∠ BOC=35°$；(2) $α$的值为$10°$或$190°$
【知识点】
邻补角的性质、角平分线的定义、旋转的性质
【点评】
本题考查角度的相关计算，解题时要结合图形理清角之间的和差关系，第二问涉及直线平分角的情况，需分类讨论，避免因漏解导致失分。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察到直线CD经过点O，因此∠AOC和∠AOD是邻补角，两角和为180°，结合已知∠AOD的度数可先求出∠AOC的度数；再结合∠AOB是直角，利用角的和差关系即可求出∠BOC的度数。
(2) 先明确角平分线会将90°的∠AOB分为两个45°的角，直线CD平分∠AOB存在两种情况：一是射线OC落在∠AOB的角平分线上，二是射线OD落在∠AOB的角平分线上，分别计算两种情况对应的旋转角即可，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵ 直线CD经过点O，
∴ ∠AOC与∠AOD互为邻补角，即∠AOC + ∠AOD = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 125° = 55°，
又
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 55° = 35°。
(2)
∵ ∠AOB = 90°，直线CD平分∠AOB，
∴ ∠AOB的角平分线分∠AOB得到的两个角均为45°。
分两种情况讨论：
① 当射线OC落在∠AOB的角平分线上时，OC与OB的夹角为45°，
此时旋转角α = 45° - 35° = 10°；
② 当射线OD落在∠AOB的角平分线上时，旋转角比情况①大180°，
此时α = 10° + 180° = 190°。
综上，α的值为10°或190°。
【答案】
(1) $∠ BOC=35°$；(2) $α$的值为$10°$或$190°$
【知识点】
邻补角的性质、角平分线的定义、旋转的性质
【点评】
本题考查角度的相关计算，解题时要结合图形理清角之间的和差关系，第二问涉及直线平分角的情况，需分类讨论，避免因漏解导致失分。
【难度系数】
0.7
