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3. 如图,已知线段$a,b$,画出线段$MN$,则$MN$的长度表述正确的是 ()
A.$MN=3b-a$
B.$MN=1.5a$
C.$MN=2a-b$
D.$MN=3a-b$
A.$MN=3b-a$
B.$MN=1.5a$
C.$MN=2a-b$
D.$MN=3a-b$
答案
D
解析
【分析】
解题时先观察图形的线段组成：第一步先确定最左端到端点N的线段总长度，从图中可看出该线段被分为3段长度为a的线段，因此总长度为3a；第二步确定点M到最左端的线段长度，图中标注该段长度为b；第三步结合线段和差关系，MN的长度等于总长度减去M点左侧的线段长度，代入得到MN的表达式后对应选项判断即可。
【解析】
观察图形可知，从最左端到点N的线段总长度为$a+a+a=3a$，点M到最左端的线段长度为$b$。
根据线段的和差关系，线段$MN$的长度 = 总长度 - 点M左侧的线段长度，即$MN=3a - b$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算、列代数式表示线段长度
【点评】
本题属于基础题，重点考查对图形中线段和差关系的识别能力，只要准确读取图中标注的各段线段长度，结合和差规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形的线段组成：第一步先确定最左端到端点N的线段总长度，从图中可看出该线段被分为3段长度为a的线段，因此总长度为3a；第二步确定点M到最左端的线段长度，图中标注该段长度为b；第三步结合线段和差关系，MN的长度等于总长度减去M点左侧的线段长度，代入得到MN的表达式后对应选项判断即可。
【解析】
观察图形可知，从最左端到点N的线段总长度为$a+a+a=3a$，点M到最左端的线段长度为$b$。
根据线段的和差关系，线段$MN$的长度 = 总长度 - 点M左侧的线段长度，即$MN=3a - b$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算、列代数式表示线段长度
【点评】
本题属于基础题，重点考查对图形中线段和差关系的识别能力，只要准确读取图中标注的各段线段长度，结合和差规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,把一副三角板叠合在一起,则∠AOB的度数是 ()
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$70°$
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$70°$
答案
A
解析
【分析】
解决这道题的思考步骤如下：首先回忆一副三角板各角的固定度数，两个三角板的锐角分别为30°、60°和45°、45°；再观察图形，两个三角板的顶点O重合，一条边也重合，∠AOB就是两个锐角度数的差，用较大的锐角度数减去较小的即可算出结果。
【解析】
一副三角板中，等腰直角三角板的锐角为45°，另一个直角三角板的较小锐角为30°，由图可知两个角共顶点O且有一条边重合，因此：
∠AOB = 45° - 30° = 15°
【答案】
A
【知识点】
三角板角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角板固有角度的掌握，以及结合图形分析角之间和差关系的能力，解题的核心是准确识别叠合后两个角的度数。
【难度系数】
0.9
解决这道题的思考步骤如下：首先回忆一副三角板各角的固定度数，两个三角板的锐角分别为30°、60°和45°、45°；再观察图形，两个三角板的顶点O重合，一条边也重合，∠AOB就是两个锐角度数的差，用较大的锐角度数减去较小的即可算出结果。
【解析】
一副三角板中，等腰直角三角板的锐角为45°，另一个直角三角板的较小锐角为30°，由图可知两个角共顶点O且有一条边重合，因此：
∠AOB = 45° - 30° = 15°
【答案】
A
【知识点】
三角板角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角板固有角度的掌握，以及结合图形分析角之间和差关系的能力，解题的核心是准确识别叠合后两个角的度数。
【难度系数】
0.9
5.亚太6E卫星于2023年由长征二号丙运载火箭在西昌卫星发射中心成功发射,农历大年初二晚上9时30分左右,西安卫星测控中心传来好消息——亚太6E卫星与独立推进舱星间分离成功,这标志着亚太6E这颗国产全电推进同步轨道通信卫星正式开启了电推变轨的旅程,则当晚9时30分,钟面上的时针与分针的夹角是 ()
A.$90°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$120°$
A.$90°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$120°$
答案
C
解析
【分析】
要计算钟面上9时30分时针与分针的夹角，首先需要掌握钟面的基本角度规律：钟面一圈为360°，平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是30°。解题时先分别确定9时30分时分针和时针的位置：分针指向6，时针不会停留在9的位置，因为30分钟是半小时，时针会从9向10移动半个大格，最后计算两者之间间隔的大格总数，乘每个大格的度数即可得到夹角。
【解析】
步骤1：计算钟面每个大格的度数
钟面一周为360°，共分为12个大格，因此每个大格的度数为：$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：确定9时30分时针和分针的位置
分针走30分钟时，刚好指向数字6；
时针1小时走1个大格，30分钟是0.5小时，因此时针从9的位置向10移动了0.5个大格，位于9和10的中间位置。
步骤3：计算时针与分针的间隔大格数
从数字6到数字9共有3个大格，加上时针超出9的0.5个大格，总间隔大格数为：$3 + 0.5 = 3.5$（个）
步骤4：计算夹角度数
夹角为：$3.5 × 30° = 105°$
【答案】
C
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的运算
【点评】
本题是钟面角计算的典型题型，解题的易错点是容易忽略时针会随分钟的推移而移动，误将时针位置判定为指向9，从而错算成90°。解题时需明确时针、分针的转动规律，准确确定二者的位置再计算夹角。
【难度系数】
0.7
要计算钟面上9时30分时针与分针的夹角，首先需要掌握钟面的基本角度规律：钟面一圈为360°，平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是30°。解题时先分别确定9时30分时分针和时针的位置：分针指向6，时针不会停留在9的位置，因为30分钟是半小时，时针会从9向10移动半个大格，最后计算两者之间间隔的大格总数，乘每个大格的度数即可得到夹角。
【解析】
步骤1：计算钟面每个大格的度数
钟面一周为360°，共分为12个大格，因此每个大格的度数为：$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：确定9时30分时针和分针的位置
分针走30分钟时，刚好指向数字6；
时针1小时走1个大格，30分钟是0.5小时，因此时针从9的位置向10移动了0.5个大格，位于9和10的中间位置。
步骤3：计算时针与分针的间隔大格数
从数字6到数字9共有3个大格，加上时针超出9的0.5个大格，总间隔大格数为：$3 + 0.5 = 3.5$（个）
步骤4：计算夹角度数
夹角为：$3.5 × 30° = 105°$
【答案】
C
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的运算
【点评】
本题是钟面角计算的典型题型，解题的易错点是容易忽略时针会随分钟的推移而移动，误将时针位置判定为指向9，从而错算成90°。解题时需明确时针、分针的转动规律，准确确定二者的位置再计算夹角。
【难度系数】
0.7
6. 如图,阿彬同学用两块大小一样的等腰直角三角板先后在∠EOF内部作了射线OG和射线OH,则下列说法正确的是 ()
A.∠EOF=75°
B.3∠GOH=∠EOF
C.∠GOH+∠EOF=90°
D.射线OH平分∠GOF
（第6题）
A.∠EOF=75°
B.3∠GOH=∠EOF
C.∠GOH+∠EOF=90°
D.射线OH平分∠GOF
（第6题）答案
C
解析
【分析】
首先明确等腰直角三角板的锐角都为45°，这是解题的基础已知条件。解题时先梳理图中角的关系：两个三角板的45°角分别为∠FOG和∠EOH，二者存在重叠部分∠GOH，将两个45°角相加，就能得到∠EOF与重叠角∠GOH的数量关系，再逐一判断选项即可。
【解析】
解：
∵两块三角板都是等腰直角三角板，
∴其锐角均为45°，即$∠ FOG=45°$，$∠ EOH=45°$。
根据角的和差关系可得：
$∠ FOG = ∠ FOH + ∠ GOH = 45°$，
$∠ EOH = ∠ EOG + ∠ GOH = 45°$，
将两个等式相加得：
$∠ FOH + ∠ GOH + ∠ EOG + ∠ GOH = 45°+45°=90°$，
又
∵$∠ EOF = ∠ FOH + ∠ GOH + ∠ EOG$，
代入上式可推导得：$∠ EOF + ∠ GOH = 90°$，因此C选项正确。
其余选项排除：
A选项：∠EOF的大小随三角板摆放位置变化，没有固定值为75°，错误；
B选项：不存在$3∠ GOH=∠ EOF$的固定等量关系，错误；
D选项：无相关条件能证明OH平分∠GOF，错误。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角板角度特征；角的和差运算
【点评】
本题结合三角板摆放考查角度关系推导，解题核心是抓住等腰直角三角板的固定锐角度数，准确梳理各角之间的和差联系，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
首先明确等腰直角三角板的锐角都为45°，这是解题的基础已知条件。解题时先梳理图中角的关系：两个三角板的45°角分别为∠FOG和∠EOH，二者存在重叠部分∠GOH，将两个45°角相加，就能得到∠EOF与重叠角∠GOH的数量关系，再逐一判断选项即可。
【解析】
解：
∵两块三角板都是等腰直角三角板，
∴其锐角均为45°，即$∠ FOG=45°$，$∠ EOH=45°$。
根据角的和差关系可得：
$∠ FOG = ∠ FOH + ∠ GOH = 45°$，
$∠ EOH = ∠ EOG + ∠ GOH = 45°$，
将两个等式相加得：
$∠ FOH + ∠ GOH + ∠ EOG + ∠ GOH = 45°+45°=90°$，
又
∵$∠ EOF = ∠ FOH + ∠ GOH + ∠ EOG$，
代入上式可推导得：$∠ EOF + ∠ GOH = 90°$，因此C选项正确。
其余选项排除：
A选项：∠EOF的大小随三角板摆放位置变化，没有固定值为75°，错误；
B选项：不存在$3∠ GOH=∠ EOF$的固定等量关系，错误；
D选项：无相关条件能证明OH平分∠GOF，错误。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角板角度特征；角的和差运算
【点评】
本题结合三角板摆放考查角度关系推导，解题核心是抓住等腰直角三角板的固定锐角度数，准确梳理各角之间的和差联系，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
7. 在学习完多边形后,小华同学将一个五边形沿如图所示的直线$ l $剪掉一个角后,得到一个多边形,下列说法正确的是 $\ (\ \ )$
A.这个多边形是一个五边形
B.从这个多边形的顶点$ A $出发,最多可以画4条对角线
C.从顶点$ A $出发的所有对角线将这个多边形分成了3个三角形
D.以上说法都不正确
A.这个多边形是一个五边形
B.从这个多边形的顶点$ A $出发,最多可以画4条对角线
C.从顶点$ A $出发的所有对角线将这个多边形分成了3个三角形
D.以上说法都不正确
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要结合图形判断五边形沿直线l剪去一个角后得到的多边形边数：当截线与多边形两条边相交（不经过顶点）时，截去一个角后多边形边数增加1，因此得到的是六边形。再结合多边形对角线、对角线分三角形个数的相关公式逐一验证三个选项，判断对错后即可选出正确答案。
【解析】
观察图形可知，直线l与五边形的两条边相交，未经过五边形的顶点，因此剪掉一个角后得到的多边形边数为$5+1=6$，即得到六边形。
对各选项分析如下：
选项A：得到的多边形是六边形，不是五边形，故A错误；
选项B：$n$边形从一个顶点出发最多可画$(n-3)$条对角线，六边形$n=6$，因此从顶点A出发最多可画$6-3=3$条对角线，不是4条，故B错误；
选项C：$n$边形从一个顶点出发的所有对角线可将多边形分成$(n-2)$个三角形，六边形$n=6$，因此可分成$6-2=4$个三角形，不是3个，故C错误。
综上，A、B、C说法均错误，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形截角规律，多边形对角线条数计算，多边形对角线分三角形个数
【点评】
本题综合考查了多边形的相关性质，解题的关键是结合图形准确判断截角后多边形的边数，再运用对应的公式计算判断选项，需要注意多边形截角存在边数增加、不变、减少三种情况，要结合实际截法判断，避免混淆公式。
【难度系数】
0.6
解题时首先要结合图形判断五边形沿直线l剪去一个角后得到的多边形边数：当截线与多边形两条边相交（不经过顶点）时，截去一个角后多边形边数增加1，因此得到的是六边形。再结合多边形对角线、对角线分三角形个数的相关公式逐一验证三个选项，判断对错后即可选出正确答案。
【解析】
观察图形可知，直线l与五边形的两条边相交，未经过五边形的顶点，因此剪掉一个角后得到的多边形边数为$5+1=6$，即得到六边形。
对各选项分析如下：
选项A：得到的多边形是六边形，不是五边形，故A错误；
选项B：$n$边形从一个顶点出发最多可画$(n-3)$条对角线，六边形$n=6$，因此从顶点A出发最多可画$6-3=3$条对角线，不是4条，故B错误；
选项C：$n$边形从一个顶点出发的所有对角线可将多边形分成$(n-2)$个三角形，六边形$n=6$，因此可分成$6-2=4$个三角形，不是3个，故C错误。
综上，A、B、C说法均错误，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形截角规律，多边形对角线条数计算，多边形对角线分三角形个数
【点评】
本题综合考查了多边形的相关性质，解题的关键是结合图形准确判断截角后多边形的边数，再运用对应的公式计算判断选项，需要注意多边形截角存在边数增加、不变、减少三种情况，要结合实际截法判断，避免混淆公式。
【难度系数】
0.6
8. 如图所示是杭州亚运会的会徽,其中的水纹我们可以把它想象为一个圆环的三分之一,已知两圆的半径分别为$R_1=5,R_2=3$,那么杭州亚运会会徽中的水纹的面积为。(结果保留π)
答案
$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}π}$
解析
【分析】
要计算水纹的面积，首先明确题干给出的条件：水纹是圆环的三分之一，因此我们先计算完整圆环的面积，再乘以三分之一即可得到结果。圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，已知外圆、内圆的半径，代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
解：圆的面积公式为$S=π r^2$。
1. 计算外圆面积：已知外圆半径$R_1=5$，则外圆面积$S_1=π R_1^2=π×5^2=25π$。
2. 计算内圆面积：已知内圆半径$R_2=3$，则内圆面积$S_2=π R_2^2=π×3^2=9π$。
3. 计算圆环面积：$S_{\mathrm{圆环}}=S_1-S_2=25π-9π=16π$。
4. 计算水纹面积：因为水纹是圆环的$\dfrac{1}{3}$，所以水纹面积$S=\dfrac{1}{3}S_{\mathrm{圆环}}=\dfrac{1}{3}×16π=\dfrac{16}{3}π$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}π}$
【知识点】
圆的面积计算；圆环面积计算；分数乘法应用
【点评】
本题结合杭州亚运会会徽的实际场景考查几何面积计算，解题关键是将实际图形转化为熟悉的圆环模型，明确所求面积和圆环面积的数量关系，整体难度低，侧重基础公式的应用。
【难度系数】
0.8
要计算水纹的面积，首先明确题干给出的条件：水纹是圆环的三分之一，因此我们先计算完整圆环的面积，再乘以三分之一即可得到结果。圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，已知外圆、内圆的半径，代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
解：圆的面积公式为$S=π r^2$。
1. 计算外圆面积：已知外圆半径$R_1=5$，则外圆面积$S_1=π R_1^2=π×5^2=25π$。
2. 计算内圆面积：已知内圆半径$R_2=3$，则内圆面积$S_2=π R_2^2=π×3^2=9π$。
3. 计算圆环面积：$S_{\mathrm{圆环}}=S_1-S_2=25π-9π=16π$。
4. 计算水纹面积：因为水纹是圆环的$\dfrac{1}{3}$，所以水纹面积$S=\dfrac{1}{3}S_{\mathrm{圆环}}=\dfrac{1}{3}×16π=\dfrac{16}{3}π$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}π}$
【知识点】
圆的面积计算；圆环面积计算；分数乘法应用
【点评】
本题结合杭州亚运会会徽的实际场景考查几何面积计算，解题关键是将实际图形转化为熟悉的圆环模型，明确所求面积和圆环面积的数量关系，整体难度低，侧重基础公式的应用。
【难度系数】
0.8
