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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
（1）三边之间的关系：
（2）两锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：$\sin A =$
$\cos A =$
（1）三边之间的关系：
$a^2+b^2=c^2$（勾股定理）
；（2）两锐角之间的关系：
$∠A+∠B=90°$
；（3）边角之间的关系：$\sin A =$
$\frac{a}{c}$
；$\cos A =$
$\frac{b}{c}$
；$\tan A =$$\frac{a}{b}$
。答案
1. （1）$a^2+b^2=c^2$（勾股定理）
（2）$∠A+∠B=90°$
（3）$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
（2）$∠A+∠B=90°$
（3）$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形的基础性质，解题时可逐一回忆直角三角形的三类基本关系推导作答：1. 三边关系：直接结合勾股定理的内容，明确直角所对的边为斜边，两条直角边的平方和等于斜边的平方；2. 两锐角关系：结合三角形内角和为180°，减去直角的度数即可得到两锐角的和；3. 边角关系：根据锐角三角函数的定义，分别对应角A的对边、邻边与斜边的比写出对应的三角函数值即可，注意明确角A的对边为a、邻边为b、斜边为c。
【解析】
我们约定Rt△ABC中，∠A的对边为a，∠B的对边为b，直角∠C的对边为斜边c：
（1）根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此三边关系为$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$；
（2）三角形内角和为180°，已知∠C=90°，因此$∠ A+∠ B=180°-∠ C=180°-90°=90°$，即两锐角互余；
（3）根据锐角三角函数的定义：
正弦为锐角的对边与斜边的比，因此$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}$；
余弦为锐角的邻边与斜边的比，因此$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{c}$；
正切为锐角的对边与邻边的比，因此$\tan A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\frac{a}{b}$。
【答案】
（1）$a^2+b^2=c^2$（勾股定理）
（2）$∠A+∠B=90°$
（3）$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形两锐角互余；锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，所涉及的三类关系是解直角三角形相关问题的核心基础，熟练掌握这些内容才能灵活解决后续的实际应用类题型。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形的基础性质，解题时可逐一回忆直角三角形的三类基本关系推导作答：1. 三边关系：直接结合勾股定理的内容，明确直角所对的边为斜边，两条直角边的平方和等于斜边的平方；2. 两锐角关系：结合三角形内角和为180°，减去直角的度数即可得到两锐角的和；3. 边角关系：根据锐角三角函数的定义，分别对应角A的对边、邻边与斜边的比写出对应的三角函数值即可，注意明确角A的对边为a、邻边为b、斜边为c。
【解析】
我们约定Rt△ABC中，∠A的对边为a，∠B的对边为b，直角∠C的对边为斜边c：
（1）根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此三边关系为$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$；
（2）三角形内角和为180°，已知∠C=90°，因此$∠ A+∠ B=180°-∠ C=180°-90°=90°$，即两锐角互余；
（3）根据锐角三角函数的定义：
正弦为锐角的对边与斜边的比，因此$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}$；
余弦为锐角的邻边与斜边的比，因此$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{c}$；
正切为锐角的对边与邻边的比，因此$\tan A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\frac{a}{b}$。
【答案】
（1）$a^2+b^2=c^2$（勾股定理）
（2）$∠A+∠B=90°$
（3）$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形两锐角互余；锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，所涉及的三类关系是解直角三角形相关问题的核心基础，熟练掌握这些内容才能灵活解决后续的实际应用类题型。
【难度系数】
0.9
2. 思考：
（1）等腰三角形人字架问题，通常作
（2）空间站观测地球最远点，视线与地球是
（1）等腰三角形人字架问题，通常作
底边上的高（即对称轴）
转化为直角三角形。（2）空间站观测地球最远点，视线与地球是
相切
关系，构成以地心为直角顶点的直角
三角形。答案
2. （1）底边上的高（即对称轴）
（2）相切，以地心为直角顶点的直角
（2）相切，以地心为直角顶点的直角
解析
【分析】
（1）遇到等腰三角形的实际应用问题时，我们通常利用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将其转化为更易求解的直角三角形，最常用的辅助线就是底边上的高，它同时也是等腰三角形的对称轴，可将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形。
（2）思考观测地球最远点的几何特征：若视线与地球表面有两个交点，说明还可观测到更远的位置，当视线与地球表面仅有1个交点时，即为最远观测点，此时符合圆的切线的定义；再结合切线的性质，切线垂直于过切点的半径，即可判断三条线段构成的三角形类型。
【解析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高（即对称轴），可将等腰人字架对应的等腰三角形转化为两个全等的直角三角形，方便利用直角三角形的性质计算相关边长、角度，因此此处填底边上的高（即对称轴）。
（2）当空间站观测到地球最远点时，视线与地球表面仅有一个公共点，满足切线的定义，因此视线与地球是相切关系；根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知过切点的地球半径与视线垂直，因此视线、过切点的半径、地心到空间站的连线三条线段构成直角三角形，直角顶点为地心，即构成以地心为直角顶点的直角三角形。
【答案】
（1）底边上的高（即对称轴）
（2）相切，以地心为直角顶点的直角
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.切线的定义与性质
3.直角三角形的判定
【点评】
本题是几何知识在实际场景中的基础应用，考查学生对常见几何性质的掌握和转化思想的运用，需要学生能将实际问题抽象为对应的几何模型求解。
【难度系数】
0.8
（1）遇到等腰三角形的实际应用问题时，我们通常利用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将其转化为更易求解的直角三角形，最常用的辅助线就是底边上的高，它同时也是等腰三角形的对称轴，可将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形。
（2）思考观测地球最远点的几何特征：若视线与地球表面有两个交点，说明还可观测到更远的位置，当视线与地球表面仅有1个交点时，即为最远观测点，此时符合圆的切线的定义；再结合切线的性质，切线垂直于过切点的半径，即可判断三条线段构成的三角形类型。
【解析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高（即对称轴），可将等腰人字架对应的等腰三角形转化为两个全等的直角三角形，方便利用直角三角形的性质计算相关边长、角度，因此此处填底边上的高（即对称轴）。
（2）当空间站观测到地球最远点时，视线与地球表面仅有一个公共点，满足切线的定义，因此视线与地球是相切关系；根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知过切点的地球半径与视线垂直，因此视线、过切点的半径、地心到空间站的连线三条线段构成直角三角形，直角顶点为地心，即构成以地心为直角顶点的直角三角形。
【答案】
（1）底边上的高（即对称轴）
（2）相切，以地心为直角顶点的直角
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.切线的定义与性质
3.直角三角形的判定
【点评】
本题是几何知识在实际场景中的基础应用，考查学生对常见几何性质的掌握和转化思想的运用，需要学生能将实际问题抽象为对应的几何模型求解。
【难度系数】
0.8
如图,屋顶的人字架为等腰三角形,跨度
BC = 30 m, ∠B = 18°. 求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长(结果保留小数点后一位).
变式 如上图,已知AB = 16 m,∠B = 18°,求跨度BC.
探究学习
BC = 30 m, ∠B = 18°. 求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长(结果保留小数点后一位).
变式 如上图,已知AB = 16 m,∠B = 18°,求跨度BC.
探究学习
答案
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC的中线，
∴AD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC=15 m。
在Rt△ABD中，∠B=18°，
tanB=$\frac{AD}{BD}$，
∴AD=BD·tan18°≈15×0.3249≈4.9 m，
cosB=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{BD}{\cos18°}$≈$\frac{15}{0.9511}$≈15.8 m。
即中柱AD长约4.9 m，上弦AB长约15.8 m。
变式解：
∵AD⊥BC，
∴BD=AB·cos18°≈16×0.9511≈15.2 m，
又
∵BC=2BD，
∴BC≈30.4 m。
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC的中线，
∴AD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC=15 m。
在Rt△ABD中，∠B=18°，
tanB=$\frac{AD}{BD}$，
∴AD=BD·tan18°≈15×0.3249≈4.9 m，
cosB=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{BD}{\cos18°}$≈$\frac{15}{0.9511}$≈15.8 m。
即中柱AD长约4.9 m，上弦AB长约15.8 m。
变式解：
∵AD⊥BC，
∴BD=AB·cos18°≈16×0.9511≈15.2 m，
又
∵BC=2BD，
∴BC≈30.4 m。
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形"三线合一"的性质，得到AD⊥BC且D为BC中点，即可求出BD的长度，将问题转化为直角三角形ABD中的边长求解问题：
1. 求AD：AD是∠B的对边，BD是邻边，选择正切函数$\tan B=\frac{AD}{BD}$计算即可；
2. 求AB：AB是斜边，BD是∠B的邻边，选择余弦函数$\cos B=\frac{BD}{AB}$计算即可；
变式题同理，先在$Rt△ ABD$中利用余弦函数求出BD的长度，再根据$BC=2BD$即可求出跨度BC。
【解析】
原题解答：
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC的中线，
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=18°$：
由$\tan B=\frac{AD}{BD}$，得
$AD=BD·\tan18°\approx15×0.3249\approx4.9\ \mathrm{m}$；
由$\cos B=\frac{BD}{AB}$，得
$AB=\frac{BD}{\cos18°}\approx\frac{15}{0.9511}\approx15.8\ \mathrm{m}$。
变式解答：
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=18°$，$AB=16\ \mathrm{m}$，
由$\cos B=\frac{BD}{AB}$，得
$BD=AB·\cos18°\approx16×0.9511\approx15.2\ \mathrm{m}$，
∵D为BC中点，
∴$BC=2BD\approx2×15.2=30.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
原题：中柱AD长约4.9 m，上弦AB长约15.8 m；
变式：跨度BC约为30.4 m。
【知识点】
等腰三角形三线合一；锐角三角函数；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是通过等腰三角形的性质构造直角三角形，再根据已知边和角的位置选择合适的三角函数计算，能有效提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用等腰三角形"三线合一"的性质，得到AD⊥BC且D为BC中点，即可求出BD的长度，将问题转化为直角三角形ABD中的边长求解问题：
1. 求AD：AD是∠B的对边，BD是邻边，选择正切函数$\tan B=\frac{AD}{BD}$计算即可；
2. 求AB：AB是斜边，BD是∠B的邻边，选择余弦函数$\cos B=\frac{BD}{AB}$计算即可；
变式题同理，先在$Rt△ ABD$中利用余弦函数求出BD的长度，再根据$BC=2BD$即可求出跨度BC。
【解析】
原题解答：
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC的中线，
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=18°$：
由$\tan B=\frac{AD}{BD}$，得
$AD=BD·\tan18°\approx15×0.3249\approx4.9\ \mathrm{m}$；
由$\cos B=\frac{BD}{AB}$，得
$AB=\frac{BD}{\cos18°}\approx\frac{15}{0.9511}\approx15.8\ \mathrm{m}$。
变式解答：
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=18°$，$AB=16\ \mathrm{m}$，
由$\cos B=\frac{BD}{AB}$，得
$BD=AB·\cos18°\approx16×0.9511\approx15.2\ \mathrm{m}$，
∵D为BC中点，
∴$BC=2BD\approx2×15.2=30.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
原题：中柱AD长约4.9 m，上弦AB长约15.8 m；
变式：跨度BC约为30.4 m。
【知识点】
等腰三角形三线合一；锐角三角函数；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是通过等腰三角形的性质构造直角三角形，再根据已知边和角的位置选择合适的三角函数计算，能有效提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.75
天宫空间站在远地点高度约399 km、近地点高度约385.6 km的轨道上运行.如图,当空间站运行到远地点F时,从中能直接看到的地球表面最远点在什么位置?连接地球中心O与点F,交地球表面于点P,最远点与点P的表面距离是多少(地球半径约为6 400 km,π取3.142,结果取整数)?
【归纳总结】解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时,要通过作辅助线构造直角三角形(作某边上的高是常用的辅助线).当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系.
学习检测
【归纳总结】解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时,要通过作辅助线构造直角三角形(作某边上的高是常用的辅助线).当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系.
学习检测
答案
解：设最远点为Q，FQ是⊙O的切线，连接OQ，则OQ⊥FQ。
由题意得OQ=6400 km，OF=OP+PF=6400+399=6799 km，
在Rt△OQF中，cos∠FOQ=$\frac{OQ}{OF}$=$\frac{6400}{6799}$≈0.9413，
∴∠FOQ≈19.7°，
∴弧PQ的长为$\frac{19.7×π×6400}{180}$≈$\frac{19.7×3.142×6400}{180}$≈2209 km。
答：最远点是视线与地球表面的切点位置，最远点与点P的表面距离约为2209 km。
由题意得OQ=6400 km，OF=OP+PF=6400+399=6799 km，
在Rt△OQF中，cos∠FOQ=$\frac{OQ}{OF}$=$\frac{6400}{6799}$≈0.9413，
∴∠FOQ≈19.7°，
∴弧PQ的长为$\frac{19.7×π×6400}{180}$≈$\frac{19.7×3.142×6400}{180}$≈2209 km。
答：最远点是视线与地球表面的切点位置，最远点与点P的表面距离约为2209 km。
解析
【分析】首先将实际问题转化为几何问题：从F点观测地球的最远点是过F作地球（看作圆O）切线的切点，因为视线与圆相切时刚好能观测到该点，切点内侧区域会被地球遮挡。首先利用切线性质构造直角三角形：连接切点Q与圆心O，可得OQ⊥FQ，得到Rt△OQF。接下来先计算OF的长度（地球半径+远地点高度），再在直角三角形中用余弦函数求出圆心角∠FOQ的度数，最后两点的表面距离是对应弧PQ的长度，用弧长公式计算即可。
【解析】设最远点为Q，可知FQ是⊙O的切线，连接OQ，根据切线的性质得OQ⊥FQ。
由题意得，地球半径$OQ=OP=6400\ \mathrm{km}$，远地点高度$PF=399\ \mathrm{km}$，
因此$OF=OP+PF=6400+399=6799\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ OQF$中，$\cos∠ FOQ=\frac{OQ}{OF}=\frac{6400}{6799}\approx0.9413$，
解得$∠ FOQ\approx19.7°$。
最远点与P点的表面距离为弧PQ的长度，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$l_{PQ}=\frac{19.7×3.142×6400}{180}\approx2209\ \mathrm{km}$。
【答案】最远点是从F向地球表面所作切线的切点位置，最远点与点P的表面距离约为2209 km。
【知识点】切线的性质；解直角三角形；弧长计算
【点评】本题结合航天实际背景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为几何模型，通过构造直角三角形，结合三角函数、弧长公式求解，解题时要注意区分线段长度和圆弧长度的不同含义，避免计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】设最远点为Q，可知FQ是⊙O的切线，连接OQ，根据切线的性质得OQ⊥FQ。
由题意得，地球半径$OQ=OP=6400\ \mathrm{km}$，远地点高度$PF=399\ \mathrm{km}$，
因此$OF=OP+PF=6400+399=6799\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ OQF$中，$\cos∠ FOQ=\frac{OQ}{OF}=\frac{6400}{6799}\approx0.9413$，
解得$∠ FOQ\approx19.7°$。
最远点与P点的表面距离为弧PQ的长度，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$l_{PQ}=\frac{19.7×3.142×6400}{180}\approx2209\ \mathrm{km}$。
【答案】最远点是从F向地球表面所作切线的切点位置，最远点与点P的表面距离约为2209 km。
【知识点】切线的性质；解直角三角形；弧长计算
【点评】本题结合航天实际背景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为几何模型，通过构造直角三角形，结合三角函数、弧长公式求解，解题时要注意区分线段长度和圆弧长度的不同含义，避免计算错误。
【难度系数】0.7
