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1. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=2，则AB的长是（）
A.2
B.4
C.8
D.10
A.2
B.4
C.8
D.10
答案
B
解析
【分析】首先提取题目关键信息：△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，CD为斜边AB上的中线。解题核心是运用直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，已知中线CD的长度，代入性质公式即可求出AB的长度。
【解析】解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得：AB=2CD，
∵CD=2，
∴AB=2×2=4。
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边中线性质
【点评】本题属于基础题，考查对直角三角形斜边中线性质的直接应用，熟练掌握对应性质即可快速得出答案。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得：AB=2CD，
∵CD=2，
∴AB=2×2=4。
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边中线性质
【点评】本题属于基础题，考查对直角三角形斜边中线性质的直接应用，熟练掌握对应性质即可快速得出答案。
【难度系数】0.9
2.(2024·南通)如图，直线$a// b$，矩形$ABCD$的顶点$A$在直线$b$上，若$∠ 2=41°$，则$∠ 1$的度数为（）
A.$41°$
B.$51°$
C.$49°$
D.$59°$
A.$41°$
B.$51°$
C.$49°$
D.$59°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先回忆矩形的核心性质：矩形的四个内角均为直角，相邻边互相垂直；再结合直线a//b的平行线条件，利用平行线的内错角相等的性质，可将已知的∠2转化为与∠1互余的角，最后通过互余角的和为90°即可计算出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形相邻边互相垂直，可得与∠1、∠2相关的两个角之和为90°，
又
∵ 直线$a// b$，根据两直线平行，内错角相等，可得∠2与和∠1互余的角度数相等，
∴ $∠ 1 = 90° - ∠ 2 = 90° - 41° = 49°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行线的性质；余角的计算
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查矩形和平行线的基础性质，解题的关键是通过平行线完成角度的转化，找到角之间的互余关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先回忆矩形的核心性质：矩形的四个内角均为直角，相邻边互相垂直；再结合直线a//b的平行线条件，利用平行线的内错角相等的性质，可将已知的∠2转化为与∠1互余的角，最后通过互余角的和为90°即可计算出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形相邻边互相垂直，可得与∠1、∠2相关的两个角之和为90°，
又
∵ 直线$a// b$，根据两直线平行，内错角相等，可得∠2与和∠1互余的角度数相等，
∴ $∠ 1 = 90° - ∠ 2 = 90° - 41° = 49°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行线的性质；余角的计算
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查矩形和平行线的基础性质，解题的关键是通过平行线完成角度的转化，找到角之间的互余关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 如图3,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点C,D分别作BD,AC的平行线交于点E。若AB=3,∠ACB=30°,则四边形OCED的周长为 ()
A.6
B.12
C.18
D.24
A.6
B.12
C.18
D.24
答案
B
解析
【分析】
解题时可按三步推导：第一步，先根据两组对边分别平行的判定定理，判断四边形OCED是平行四边形；第二步，结合矩形对角线相等且互相平分的性质，推导得平行四边形OCED的邻边OC=OD，由此判定它是菱形，即周长等于4倍边长OC；第三步，利用矩形内角为直角的性质，在Rt△ABC中根据30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AC的长，进而得到OC的长，代入周长公式即可求解。
【解析】
∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，∠ABC=90°，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形，因此其周长为4OC。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2×3=6，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴四边形OCED的周长=4×3=12。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形的基础常考题，解题核心是先准确判断四边形OCED的形状，再结合特殊直角三角形的性质求出边长即可，解题时需熟练掌握各类特殊四边形的判定和性质。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步推导：第一步，先根据两组对边分别平行的判定定理，判断四边形OCED是平行四边形；第二步，结合矩形对角线相等且互相平分的性质，推导得平行四边形OCED的邻边OC=OD，由此判定它是菱形，即周长等于4倍边长OC；第三步，利用矩形内角为直角的性质，在Rt△ABC中根据30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AC的长，进而得到OC的长，代入周长公式即可求解。
【解析】
∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，∠ABC=90°，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形，因此其周长为4OC。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2×3=6，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴四边形OCED的周长=4×3=12。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形的基础常考题，解题核心是先准确判断四边形OCED的形状，再结合特殊直角三角形的性质求出边长即可，解题时需熟练掌握各类特殊四边形的判定和性质。
【难度系数】
0.7
4. (2024·山东)如图4,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN。若∠ABN=120°,则n的值为 ()
A.12
B.10
C.8
D.6
A.12
B.10
C.8
D.6
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先求正n边形的内角度数，已知BC是正n边形和正方形的公共边，正方形内角为90°，点B处∠ABC（正n边形内角）、∠ABN、∠CBN（正方形内角）的和为周角360°，代入已知角度即可算出∠ABC的度数；第二步利用正n边形内角公式列方程，求解得到n的值。
【解析】
1. 求正n边形的内角∠ABC的度数
∵四边形BCMN是正方形，
∴∠CBN=90°。
根据周角定义，点B处三个角的和为360°，即$∠ ABC + ∠ ABN + ∠ CBN = 360°$，
代入已知$∠ ABN=120°$，得：
$∠ ABC = 360° - 120° - 90° = 150°$。
2. 列方程求解n
正n边形的每个内角度数公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，结合∠ABC=150°列方程：
$\frac{(n-2)×180}{n}=150$
两边同乘n得：$180(n-2)=150n$
展开整理得：$30n=360$
解得：$n=12$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算、正方形的性质、周角定义
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是结合周角定义求出正多边形的内角度数，再利用正多边形内角公式列方程求解，解题时要注意正方形在正n边形外部这个前提，避免角度关系判断错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步先求正n边形的内角度数，已知BC是正n边形和正方形的公共边，正方形内角为90°，点B处∠ABC（正n边形内角）、∠ABN、∠CBN（正方形内角）的和为周角360°，代入已知角度即可算出∠ABC的度数；第二步利用正n边形内角公式列方程，求解得到n的值。
【解析】
1. 求正n边形的内角∠ABC的度数
∵四边形BCMN是正方形，
∴∠CBN=90°。
根据周角定义，点B处三个角的和为360°，即$∠ ABC + ∠ ABN + ∠ CBN = 360°$，
代入已知$∠ ABN=120°$，得：
$∠ ABC = 360° - 120° - 90° = 150°$。
2. 列方程求解n
正n边形的每个内角度数公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，结合∠ABC=150°列方程：
$\frac{(n-2)×180}{n}=150$
两边同乘n得：$180(n-2)=150n$
展开整理得：$30n=360$
解得：$n=12$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算、正方形的性质、周角定义
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是结合周角定义求出正多边形的内角度数，再利用正多边形内角公式列方程求解，解题时要注意正方形在正n边形外部这个前提，避免角度关系判断错误。
【难度系数】
0.7
5.如图5,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分,请添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是 ()
A.$AC ⊥ BD$
B.$AB=AD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ABD=∠ CBD$
A.$AC ⊥ BD$
B.$AB=AD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ABD=∠ CBD$
答案
C
解析
【分析】
首先由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可确定四边形ABCD是平行四边形。接下来要判断哪个条件无法判定该平行四边形为菱形，只需结合菱形的判定定理逐一验证各选项即可：平行四边形判定为菱形的条件有三种，分别是①一组邻边相等；②对角线互相垂直；③一条对角线平分一组内角。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的两条对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
对各选项分析如下：
A. 若$AC⊥BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B. 若$AB=AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形，无法判定为菱形，符合题意；
D. 若$∠ABD=∠CBD$，
∵平行四边形中$AD// BC$，
∴$∠ADB=∠CBD$，
∴$∠ABD=∠ADB$，
∴$AB=AD$，即平行四边形有一组邻边相等，可判定为菱形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形判定，菱形的判定，矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是先根据已知条件确定四边形为平行四边形，再结合菱形、矩形的判定条件分析选项，要注意区分菱形和矩形的判定，避免混淆。
【难度系数】
0.7
首先由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可确定四边形ABCD是平行四边形。接下来要判断哪个条件无法判定该平行四边形为菱形，只需结合菱形的判定定理逐一验证各选项即可：平行四边形判定为菱形的条件有三种，分别是①一组邻边相等；②对角线互相垂直；③一条对角线平分一组内角。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的两条对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
对各选项分析如下：
A. 若$AC⊥BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B. 若$AB=AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形，无法判定为菱形，符合题意；
D. 若$∠ABD=∠CBD$，
∵平行四边形中$AD// BC$，
∴$∠ADB=∠CBD$，
∴$∠ABD=∠ADB$，
∴$AB=AD$，即平行四边形有一组邻边相等，可判定为菱形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形判定，菱形的判定，矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是先根据已知条件确定四边形为平行四边形，再结合菱形、矩形的判定条件分析选项，要注意区分菱形和矩形的判定，避免混淆。
【难度系数】
0.7
6. 要使矩形ABCD为正方形,需要添加的条件是 ()
A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$AB=CD$
D.$AC=BD$
A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$AB=CD$
D.$AC=BD$
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确已知图形是矩形，需结合矩形的固有性质和正方形的判定定理分析选项：首先回忆矩形的性质：对边相等、对角线相等，这些是矩形本身就具备的，不需要额外添加；再回忆矩形判定为正方形的定理：一组邻边相等的矩形是正方形，或对角线互相垂直的矩形是正方形。逐一核对每个选项，判断该条件是矩形固有性质还是能判定为正方形的额外条件即可。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，矩形的固有性质有：对边相等（AB=CD，AD=BC）、对角线相等（AC=BD）、四个角均为直角。
正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。
对各选项逐一分析：
A. AB和BC是矩形的一组邻边，添加AB=BC，符合“一组邻边相等的矩形是正方形”，可判定矩形ABCD为正方形，符合要求；
B. AD=BC是矩形对边相等的固有性质，无需添加，添加后仍为矩形，不符合要求；
C. AB=CD是矩形对边相等的固有性质，无需添加，添加后仍为矩形，不符合要求；
D. AC=BD是矩形对角线相等的固有性质，无需添加，添加后仍为矩形，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质与判定，解题关键是区分矩形本身的固有性质和判定正方形需要额外添加的条件，牢记矩形与正方形的判定关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确已知图形是矩形，需结合矩形的固有性质和正方形的判定定理分析选项：首先回忆矩形的性质：对边相等、对角线相等，这些是矩形本身就具备的，不需要额外添加；再回忆矩形判定为正方形的定理：一组邻边相等的矩形是正方形，或对角线互相垂直的矩形是正方形。逐一核对每个选项，判断该条件是矩形固有性质还是能判定为正方形的额外条件即可。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，矩形的固有性质有：对边相等（AB=CD，AD=BC）、对角线相等（AC=BD）、四个角均为直角。
正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。
对各选项逐一分析：
A. AB和BC是矩形的一组邻边，添加AB=BC，符合“一组邻边相等的矩形是正方形”，可判定矩形ABCD为正方形，符合要求；
B. AD=BC是矩形对边相等的固有性质，无需添加，添加后仍为矩形，不符合要求；
C. AB=CD是矩形对边相等的固有性质，无需添加，添加后仍为矩形，不符合要求；
D. AC=BD是矩形对角线相等的固有性质，无需添加，添加后仍为矩形，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质与判定，解题关键是区分矩形本身的固有性质和判定正方形需要额外添加的条件，牢记矩形与正方形的判定关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
