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7. (2024·山西)在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH交于点O。若四边形ABCD的对角线相等,则线段EG与FH一定满足的关系为 ()
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
答案
A
解析
【分析】
解题时先从中点四边形的推导逻辑入手：首先利用三角形中位线定理，证明顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再结合原四边形对角线相等的条件，判定该平行四边形的特殊类型，最后根据对应特殊平行四边形的对角线性质，即可得到EG与FH的关系。
【解析】
连接四边形ABCD的对角线AC、BD：
1. 由E、F分别是AB、BC的中点，可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得：$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
2. 同理可证：$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$；$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
3. 由$EF// HG$且$EF=HG$，可得四边形EFGH是平行四边形。
4. 已知四边形ABCD的对角线相等，即$AC=BD$，因此$EF=EH$。
5. 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形EFGH是菱形。
6. EG、FH是菱形的两条对角线，由菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分，即EG与FH互相垂直平分。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定与性质，中点四边形的性质
【点评】
本题核心是中点四边形的判定与性质应用，解题关键是明确中点四边形的形状仅由原四边形的对角线关系决定，需要熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质，以及三角形中位线定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从中点四边形的推导逻辑入手：首先利用三角形中位线定理，证明顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再结合原四边形对角线相等的条件，判定该平行四边形的特殊类型，最后根据对应特殊平行四边形的对角线性质，即可得到EG与FH的关系。
【解析】
连接四边形ABCD的对角线AC、BD：
1. 由E、F分别是AB、BC的中点，可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得：$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
2. 同理可证：$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$；$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
3. 由$EF// HG$且$EF=HG$，可得四边形EFGH是平行四边形。
4. 已知四边形ABCD的对角线相等，即$AC=BD$，因此$EF=EH$。
5. 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形EFGH是菱形。
6. EG、FH是菱形的两条对角线，由菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分，即EG与FH互相垂直平分。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定与性质，中点四边形的性质
【点评】
本题核心是中点四边形的判定与性质应用，解题关键是明确中点四边形的形状仅由原四边形的对角线关系决定，需要熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质，以及三角形中位线定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
8.如图6,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AC,BD上的点,且OE=OF,连接AF,BE,EF。若∠AFE=25°,则∠CBE的度数为 ()
A.50°
B.55°
C.65°
D.70°
A.50°
B.55°
C.65°
D.70°
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆正方形的性质：正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线平分内角，可得∠AOB=90°、OA=OB、∠OBC=45°。再结合OE=OF可判定△OEF是等腰直角三角形，得到∠EFO=45°，结合已知∠AFE=25°即可求出∠AFO的度数，进而在Rt△AOF中算出∠OAF的度数。接着通过SAS证明△AOF和△BOE全等，得到∠OBE=∠OAF，最后将∠OBE与∠OBC相加即可得到∠CBE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB，BD平分∠ABC，即∠OBC=45°，∠AOF=∠BOE=90°
∵OE=OF，∠EOF=90°
∴△EOF是等腰直角三角形，$∠ EFO=45°$
∵$∠ AFE=25°$
∴$∠ AFO=∠ AFE+∠ EFO=25°+45°=70°$
在Rt△AOF中，$∠ OAF=90°-∠ AFO=90°-70°=20°$
在△AOF和△BOE中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOF=∠ BOE=90° \\OF=OE\end{cases}$
∴$△ AOF≌△ BOE(\mathrm{SAS})$
∴$∠ OBE=∠ OAF=20°$
∴$∠ CBE=∠ OBE+∠ OBC=20°+45°=65°$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形的常考题型，解题的突破口是利用正方形对角线的性质构造全等三角形，实现角的等量转换，进而求出目标角的度数。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正方形的性质：正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线平分内角，可得∠AOB=90°、OA=OB、∠OBC=45°。再结合OE=OF可判定△OEF是等腰直角三角形，得到∠EFO=45°，结合已知∠AFE=25°即可求出∠AFO的度数，进而在Rt△AOF中算出∠OAF的度数。接着通过SAS证明△AOF和△BOE全等，得到∠OBE=∠OAF，最后将∠OBE与∠OBC相加即可得到∠CBE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB，BD平分∠ABC，即∠OBC=45°，∠AOF=∠BOE=90°
∵OE=OF，∠EOF=90°
∴△EOF是等腰直角三角形，$∠ EFO=45°$
∵$∠ AFE=25°$
∴$∠ AFO=∠ AFE+∠ EFO=25°+45°=70°$
在Rt△AOF中，$∠ OAF=90°-∠ AFO=90°-70°=20°$
在△AOF和△BOE中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOF=∠ BOE=90° \\OF=OE\end{cases}$
∴$△ AOF≌△ BOE(\mathrm{SAS})$
∴$∠ OBE=∠ OAF=20°$
∴$∠ CBE=∠ OBE+∠ OBC=20°+45°=65°$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形的常考题型，解题的突破口是利用正方形对角线的性质构造全等三角形，实现角的等量转换，进而求出目标角的度数。
【难度系数】
0.7
9. 如图7，E为矩形ABCD的边BC上的一点，作$DF ⊥ AE$于点F，且满足$DF = AB$。有下列结论：①$△ DEF ≌ △ DEC$；②$S_{△ ABE} = S_{△ ADF}$；③$AF = AB$；④$BE = AF$。其中正确的结论有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质，将已知DF=AB转化为DF=CD，结合DF⊥AE得到的直角，用HL判定定理先判断结论①对应的三角形全等；再根据AD//BC得到内错角相等，结合∠B、∠AFD均为直角，DF=AB，用AAS判定△ABE和△DFA全等，再结合全等三角形的性质逐一验证其余结论，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD//BC，∠B=∠C=90°，
又
∵DF=AB，
∴DF=CD。
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠DFA=90°。
1. 验证结论①：
在Rt△DEF和Rt△DEC中，$\{\begin{array}{l}DE=DE\\ DF=DC\end{array} $，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），故①正确。
2. 验证结论②：
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
在△ABE和△DFA中，$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ AFD=90°\\ ∠ AEB=∠ DAF\\ AB=DF\end{array} $，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ADF}$，故②正确。
3. 验证结论③：
由△ABE≌△DFA可得AF=BE，题目未给出△ABE是等腰直角三角形的条件，无法推出AF=AB，故③错误。
4. 验证结论④：
由△ABE≌△DFA直接可得BE=AF，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于四边形综合基础题，解题的核心是通过矩形的性质找到全等三角形的判定条件，要注意题目未给出的特殊条件不能自行默认成立，避免错判结论③。
【难度系数】
0.6
解题时先利用矩形的性质，将已知DF=AB转化为DF=CD，结合DF⊥AE得到的直角，用HL判定定理先判断结论①对应的三角形全等；再根据AD//BC得到内错角相等，结合∠B、∠AFD均为直角，DF=AB，用AAS判定△ABE和△DFA全等，再结合全等三角形的性质逐一验证其余结论，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD//BC，∠B=∠C=90°，
又
∵DF=AB，
∴DF=CD。
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠DFA=90°。
1. 验证结论①：
在Rt△DEF和Rt△DEC中，$\{\begin{array}{l}DE=DE\\ DF=DC\end{array} $，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），故①正确。
2. 验证结论②：
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
在△ABE和△DFA中，$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ AFD=90°\\ ∠ AEB=∠ DAF\\ AB=DF\end{array} $，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ADF}$，故②正确。
3. 验证结论③：
由△ABE≌△DFA可得AF=BE，题目未给出△ABE是等腰直角三角形的条件，无法推出AF=AB，故③错误。
4. 验证结论④：
由△ABE≌△DFA直接可得BE=AF，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于四边形综合基础题，解题的核心是通过矩形的性质找到全等三角形的判定条件，要注意题目未给出的特殊条件不能自行默认成立，避免错判结论③。
【难度系数】
0.6
10. 如图8，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE=1，∠DAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE。有下列结论：
①AB=BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的$\frac{1}{4}$；④BE=$\sqrt{2}+2$。其中结论正确的是（）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
①AB=BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的$\frac{1}{4}$；④BE=$\sqrt{2}+2$。其中结论正确的是（）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案
C
解析
【分析】
首先结合矩形性质和已知条件判断四边形ADEF为矩形，得到边和角的等量关系；再利用旋转的性质得到全等三角形，对应边、对应角相等，依次推导四个结论：通过角度计算证明△ABE两底角相等验证①；通过角的差值计算判断角平分线验证②；分别计算△BFG和四边形EFBC的面积对比验证③；结合AB长度和①的结论验证④，最终确定正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$EF⊥ AB$，
∴四边形ADEF是矩形，$\therefore AF=DE=1$，$∠ DAE=∠ AEF=22.5°$，$AD=EF$。
∵△AEF绕点F顺时针旋转得到△GBF，$\therefore △ AEF≌△ GBF$，
$\therefore AF=GF=1$，$EF=BF$，$∠ AFE=∠ BFG=90°$，$∠ AEF=∠ GBF=22.5°$。
1. 验证结论①：
∵$EF=BF$，$∠ EFB=90°$，
∴△EFB是等腰直角三角形，$∠ FEB=∠ FBE=45°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF+∠ FEB=22.5°+45°=67.5°$，
又$∠ EAB=90°-∠ DAE=90°-22.5°=67.5°$，
$\therefore ∠ EAB=∠ AEB$，$\therefore AB=BE$，①正确。
2. 验证结论②：
∵$∠ FBE=45°$，$∠ GBF=22.5°$，$\therefore ∠ EBG=∠ FBE-∠ GBF=22.5°=∠ GBF$，
∴BG平分$∠ EBF$，②正确。
3. 验证结论③：
在$Rt△ AEF$中，$∠ EAF=67.5°$，$\tan67.5°=\sqrt{2}+1$，
$\therefore EF=AF·\tan67.5°=\sqrt{2}+1$，$\therefore BF=EF=\sqrt{2}+1$，
四边形EFBC是矩形，面积$S_{EFBC}=EF· BF=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$，
$△ BFG$的面积$S_{△ BFG}=\frac{1}{2}· GF· BF=\frac{1}{2}×1×(\sqrt{2}+1)=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
显然$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}≠\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，③错误。
4. 验证结论④：
$AB=AF+BF=1+(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+2$，由①得$AB=BE$，$\therefore BE=\sqrt{2}+2$，④正确。
综上，正确结论为①②④，故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查几何图形的性质与计算，解题核心是利用旋转的全等性得到边、角的等量关系，结合角度推导和简单运算即可判断结论，需要学生具备基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
首先结合矩形性质和已知条件判断四边形ADEF为矩形，得到边和角的等量关系；再利用旋转的性质得到全等三角形，对应边、对应角相等，依次推导四个结论：通过角度计算证明△ABE两底角相等验证①；通过角的差值计算判断角平分线验证②；分别计算△BFG和四边形EFBC的面积对比验证③；结合AB长度和①的结论验证④，最终确定正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$EF⊥ AB$，
∴四边形ADEF是矩形，$\therefore AF=DE=1$，$∠ DAE=∠ AEF=22.5°$，$AD=EF$。
∵△AEF绕点F顺时针旋转得到△GBF，$\therefore △ AEF≌△ GBF$，
$\therefore AF=GF=1$，$EF=BF$，$∠ AFE=∠ BFG=90°$，$∠ AEF=∠ GBF=22.5°$。
1. 验证结论①：
∵$EF=BF$，$∠ EFB=90°$，
∴△EFB是等腰直角三角形，$∠ FEB=∠ FBE=45°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF+∠ FEB=22.5°+45°=67.5°$，
又$∠ EAB=90°-∠ DAE=90°-22.5°=67.5°$，
$\therefore ∠ EAB=∠ AEB$，$\therefore AB=BE$，①正确。
2. 验证结论②：
∵$∠ FBE=45°$，$∠ GBF=22.5°$，$\therefore ∠ EBG=∠ FBE-∠ GBF=22.5°=∠ GBF$，
∴BG平分$∠ EBF$，②正确。
3. 验证结论③：
在$Rt△ AEF$中，$∠ EAF=67.5°$，$\tan67.5°=\sqrt{2}+1$，
$\therefore EF=AF·\tan67.5°=\sqrt{2}+1$，$\therefore BF=EF=\sqrt{2}+1$，
四边形EFBC是矩形，面积$S_{EFBC}=EF· BF=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$，
$△ BFG$的面积$S_{△ BFG}=\frac{1}{2}· GF· BF=\frac{1}{2}×1×(\sqrt{2}+1)=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
显然$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}≠\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，③错误。
4. 验证结论④：
$AB=AF+BF=1+(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+2$，由①得$AB=BE$，$\therefore BE=\sqrt{2}+2$，④正确。
综上，正确结论为①②④，故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查几何图形的性质与计算，解题核心是利用旋转的全等性得到边、角的等量关系，结合角度推导和简单运算即可判断结论，需要学生具备基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2025·福建)如图9,菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F。若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为。
11.(2025·福建)如图9,菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F。若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时先回顾菱形的核心性质：对角线互相垂直平分、对边平行、对称中心为对角线交点。首先我们可以通过全等三角形将△AOE的面积转化为△COF的面积，把所求的两个三角形面积和转化为△COD的面积，再利用菱形对角线垂直的性质计算△COD的面积即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，OA=OC=2，AB//CD
∴ ∠OAE=∠OCF
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF（ASA）
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$
∴ $S_{△ AOE}+S_{△ DOF}=S_{△ COF}+S_{△ DOF}=S_{△ COD}$
又
∵ AC⊥BD，OC=2，OD=1
∴ $S_{△ COD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查菱形性质的灵活应用，解题的突破口是利用全等三角形实现面积的等价转化，结合直角三角形面积公式即可求解，是特殊平行四边形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先回顾菱形的核心性质：对角线互相垂直平分、对边平行、对称中心为对角线交点。首先我们可以通过全等三角形将△AOE的面积转化为△COF的面积，把所求的两个三角形面积和转化为△COD的面积，再利用菱形对角线垂直的性质计算△COD的面积即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，OA=OC=2，AB//CD
∴ ∠OAE=∠OCF
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF（ASA）
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$
∴ $S_{△ AOE}+S_{△ DOF}=S_{△ COF}+S_{△ DOF}=S_{△ COD}$
又
∵ AC⊥BD，OC=2，OD=1
∴ $S_{△ COD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查菱形性质的灵活应用，解题的突破口是利用全等三角形实现面积的等价转化，结合直角三角形面积公式即可求解，是特殊平行四边形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
12.(2025·内江)如图10,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH的最大值是。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先观察到G、H分别是BE、EF的中点，可联想到三角形中位线定理，将GH转化为与BF相关的线段：$GH=\frac{1}{2}BF$，因此求GH的最大值等价于求BF的最大值。由于B是矩形的定点，F在CD上运动，当F与点D重合时，BF的长度最大，即为矩形对角线BD的长度，最后利用勾股定理计算BD长度即可求出GH的最大值。
【解析】
解：连接BF，
∵ G为BE的中点，H为EF的中点，
∴ GH是△BEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$GH = \frac{1}{2}BF$，
因此当BF取得最大值时，GH取得最大值。
∵ 点F在边CD上运动，B为定点，
∴ 当点F与点D重合时，BF取得最大值，最大值为矩形对角线BD的长度。
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AB=8，AD=6，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$，
∴ GH的最大值为$\frac{1}{2} × 10 = 5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题核心是利用中位线定理进行线段转化，将未知线段的最值问题转化为已知定点到动点的线段最值问题，解题的关键是准确找到BF取最大值时F的位置，再结合相关性质定理计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到G、H分别是BE、EF的中点，可联想到三角形中位线定理，将GH转化为与BF相关的线段：$GH=\frac{1}{2}BF$，因此求GH的最大值等价于求BF的最大值。由于B是矩形的定点，F在CD上运动，当F与点D重合时，BF的长度最大，即为矩形对角线BD的长度，最后利用勾股定理计算BD长度即可求出GH的最大值。
【解析】
解：连接BF，
∵ G为BE的中点，H为EF的中点，
∴ GH是△BEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$GH = \frac{1}{2}BF$，
因此当BF取得最大值时，GH取得最大值。
∵ 点F在边CD上运动，B为定点，
∴ 当点F与点D重合时，BF取得最大值，最大值为矩形对角线BD的长度。
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AB=8，AD=6，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$，
∴ GH的最大值为$\frac{1}{2} × 10 = 5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题核心是利用中位线定理进行线段转化，将未知线段的最值问题转化为已知定点到动点的线段最值问题，解题的关键是准确找到BF取最大值时F的位置，再结合相关性质定理计算即可。
【难度系数】
0.7
