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1. （襄阳中考）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下.每到傍晚,市内某网红烧烤店就食客如云,这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销,店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售,其中海鲜串的成本为$m$元/支,肉串的成本为$n$元/支;两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如表所示(成本包括进价和其他费用).
针对团购消费,店主决定每次消费海鲜串不超过200支时,每支售价5元;超过200支时,不超过200支的部分按原价,超过200支的部分打八折.每支肉串的售价为3.5元.
(1)求$m,n$的值;
(2)五一当天,一个旅游团去此店吃烧烤,一次性消费海鲜串和肉串共1 000支,且海鲜串不超过400支.在本次消费中,设该旅游团消费海鲜串$x$支,店主获得海鲜串的总利润为$y$元,求$y$与$x$的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围;
(3)在(2)的条件下,该旅游团消费的海鲜串超过了200支,店主决定给该旅游团更多优惠,对每支肉串降价$a(0＜a＜1)$元,但要确保本次消费肉串获得的总利润始终不低于海鲜串获得的总利润,求$a$的最大值.
针对团购消费,店主决定每次消费海鲜串不超过200支时,每支售价5元;超过200支时,不超过200支的部分按原价,超过200支的部分打八折.每支肉串的售价为3.5元.
(1)求$m,n$的值;
(2)五一当天,一个旅游团去此店吃烧烤,一次性消费海鲜串和肉串共1 000支,且海鲜串不超过400支.在本次消费中,设该旅游团消费海鲜串$x$支,店主获得海鲜串的总利润为$y$元,求$y$与$x$的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围;
(3)在(2)的条件下,该旅游团消费的海鲜串超过了200支,店主决定给该旅游团更多优惠,对每支肉串降价$a(0＜a＜1)$元,但要确保本次消费肉串获得的总利润始终不低于海鲜串获得的总利润,求$a$的最大值.
答案
(1) 根据表格可得$\begin{cases}3\ 000m+4\ 000n=17\ 000,\\4\ 000m+3\ 000n=18\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3,\\n=2,\end{cases}$
$\therefore m$的值为3,$n$的值为2.
(2) 当$0＜x≤200$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)x=2x$;当$200＜x≤400$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)×200+(5×0.8-3)(x-200)=x+200$.$\therefore y=\begin{cases}2x(0＜x≤200),\\x+200(200＜x≤400).\end{cases}$
(3) 设降价后肉串获得的总利润为$z$元,令$W=z-y$.$\because 200＜x≤400$,$\therefore z=(3.5-a-2)(1\ 000-x)=(a-1.5)x+1\ 500-1\ 000a$,$\therefore W=z-y=(a-2.5)x+1\ 300-1\ 000a$.$\because 0＜a＜1$,$\therefore a-2.5＜0$,$\therefore W$随$x$的增大而减小,当$x=400$时,$W$的值最小,由题意可得$z≥ y$,$\therefore W≥0$,即$(a-2.5)×400+1\ 300-1\ 000a≥0$,解得$a≤0.5$,$\therefore a$的最大值是0.5.
$\therefore m$的值为3,$n$的值为2.
(2) 当$0＜x≤200$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)x=2x$;当$200＜x≤400$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)×200+(5×0.8-3)(x-200)=x+200$.$\therefore y=\begin{cases}2x(0＜x≤200),\\x+200(200＜x≤400).\end{cases}$
(3) 设降价后肉串获得的总利润为$z$元,令$W=z-y$.$\because 200＜x≤400$,$\therefore z=(3.5-a-2)(1\ 000-x)=(a-1.5)x+1\ 500-1\ 000a$,$\therefore W=z-y=(a-2.5)x+1\ 300-1\ 000a$.$\because 0＜a＜1$,$\therefore a-2.5＜0$,$\therefore W$随$x$的增大而减小,当$x=400$时,$W$的值最小,由题意可得$z≥ y$,$\therefore W≥0$,即$(a-2.5)×400+1\ 300-1\ 000a≥0$,解得$a≤0.5$,$\therefore a$的最大值是0.5.
2. （南通中考）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)之间的关系如图所示.
(1)写出图中B点表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)之间的函数表达式,并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素,当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时,它们的利润和为1 500元.求a的值.
(1)写出图中B点表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)之间的函数表达式,并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素,当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时,它们的利润和为1 500元.求a的值.
答案
(1) 由题图可知,B点表示的实际意义为当销售量为60 kg时,甲、乙两种苹果的销售额相等.
(2) 设甲种苹果销售额$y_\mathrm{甲}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{甲}=kx(k≠0)$,把$(60,1\ 200)$代入表达式得$1\ 200=60k$,解得$k=20$,$\therefore$ 甲种苹果销售额$y_\mathrm{甲}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{甲}=20x(0≤ x≤120)$;
当$0≤ x≤30$时,乙函数图象过点$(0,0)$,$(30,750)$,设乙种苹果销售额$y_\mathrm{乙}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{乙}=mx$,把$(30,750)$代入表达式得$750=30m$,解得$m=25$,$\therefore y_\mathrm{乙}=25x$;
当$30＜x≤120$时,乙函数图象过点$(60,1\ 200)$,$(30,750)$,设乙种苹果销售额$y_\mathrm{乙}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{乙}=bx+c$,把$(30,750)$,$(60,1\ 200)$代入得$\begin{cases}30b+c=750,\\60b+c=1\ 200,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=15,\\c=300,\end{cases}$$\therefore y_\mathrm{乙}=15x+300$,
综上,乙种苹果销售额$y_\mathrm{乙}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{乙}=\begin{cases}25x(0≤ x≤30),\\15x+300(30＜x≤120).\end{cases}$
(3) 甲的利润为$20x-8x=12x$,
乙的利润为$\begin{cases}25x-12x=13x(0≤ x≤30),\\15x+300-12x=3x+300(30＜x≤120),\end{cases}$
$\therefore$ 当$0≤ a≤30$时,甲、乙两种苹果的利润和为$12a+13a=1\ 500$,解得$a=60$(舍去);当$30＜a≤120$时,甲、乙两种苹果的利润和为$3a+300+12a=1\ 500$,解得$a=80$.$\therefore$ 当甲、乙两种苹果的销售量均为80 kg时,它们的利润和为1 500元.
(2) 设甲种苹果销售额$y_\mathrm{甲}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{甲}=kx(k≠0)$,把$(60,1\ 200)$代入表达式得$1\ 200=60k$,解得$k=20$,$\therefore$ 甲种苹果销售额$y_\mathrm{甲}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{甲}=20x(0≤ x≤120)$;
当$0≤ x≤30$时,乙函数图象过点$(0,0)$,$(30,750)$,设乙种苹果销售额$y_\mathrm{乙}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{乙}=mx$,把$(30,750)$代入表达式得$750=30m$,解得$m=25$,$\therefore y_\mathrm{乙}=25x$;
当$30＜x≤120$时,乙函数图象过点$(60,1\ 200)$,$(30,750)$,设乙种苹果销售额$y_\mathrm{乙}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{乙}=bx+c$,把$(30,750)$,$(60,1\ 200)$代入得$\begin{cases}30b+c=750,\\60b+c=1\ 200,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=15,\\c=300,\end{cases}$$\therefore y_\mathrm{乙}=15x+300$,
综上,乙种苹果销售额$y_\mathrm{乙}$(单位:元)与销售量$x$(单位:kg)之间的函数表达式为$y_\mathrm{乙}=\begin{cases}25x(0≤ x≤30),\\15x+300(30＜x≤120).\end{cases}$
(3) 甲的利润为$20x-8x=12x$,
乙的利润为$\begin{cases}25x-12x=13x(0≤ x≤30),\\15x+300-12x=3x+300(30＜x≤120),\end{cases}$
$\therefore$ 当$0≤ a≤30$时,甲、乙两种苹果的利润和为$12a+13a=1\ 500$,解得$a=60$(舍去);当$30＜a≤120$时,甲、乙两种苹果的利润和为$3a+300+12a=1\ 500$,解得$a=80$.$\therefore$ 当甲、乙两种苹果的销售量均为80 kg时,它们的利润和为1 500元.
