1. 如图①,已知直线$ l_1:y=ax-6a $交x轴于点A,交y轴于点B,直线$ l_2:y=bx-18a $交x轴于点C,交y轴于点D,交直线$ l_1 $于点E.
(1)求点A的坐标;
(2)若点B为线段AE的中点,求证:$ EC=EA $;
(3)如图②,已知$ P(0,m) $,将线段PA绕点P逆时针方向旋转$ 90° $至PF,连结OF,求证:点F在某条直线上运动.

(1)令$y=ax-6a=0$,解得$x=6$,则点A的坐标为$(6,0)$.
(2)对于$y=ax-6a$,令$x=0$,则$y=-6a$,则点B的坐标为$(0,-6a)$.
∵ 点B为线段AE的中点,则点E的坐标为$(-6,-12a)$,将点E的坐标代入$y=bx-18a$,得$-12a=-6b-18a$,解得$b=-a$,则直线$l_2:y=-ax-18a$,则点C的坐标为$(-18,0)$,由点A,C的坐标知,其中点坐标为$(-6,0)$,该点和点E的横坐标相同,即点E在AC的中垂线上,$\therefore EC=EA$.
(3)如图,过点F作$FT⊥ y$轴于点T,
∵ 线段PA绕点P逆时针方向旋转$90°$至PF,则$PA=PF$,$∠ FPA=90°$,$\therefore ∠ TPF+∠ TFP=90°$,$∠ TPF+∠ APO=90°$,$\therefore ∠ TFP=∠ APO$. 又$\because ∠ AOP=∠ PTF=90°$,$PA=PF$,$\therefore △ AOP≌ △ PTF(\mathrm{AAS})$,$\therefore PT=OA=6$,$FT=OP=m$,则点F的坐标为$(m,m+6)$,则点F在直线$y=x+6$上.

2. 如图,直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+2$和直线$l_2$与x轴分别相交于A,B两点,且两直线相交于点C,直线$l_2$与y轴相交于点$D(0,-4)$,$OA=2OB$.
(1)求出直线$l_2$的函数表达式;
(2)E是x轴上一点,若$S_{△ ABC}=2S_{△ BCE}$,求点E的坐标;
(3)若F是直线$l_1$上方且位于y轴上一点,$∠ ACF=2∠ CAO$,判断$△ BCF$的形状并说明理由.

(1)$y=\frac{1}{2}x+2$,令$y=0$,则$0=\frac{1}{2}x+2$,得$x=-4$,$\therefore$ 点A的坐标为$(-4,0)$,$\therefore OA=4$.$\because OA=2OB$,$\therefore OB=2$,$\therefore$ 点B的坐标为$(2,0)$,设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$,将点$D(0,-4)$,$B(2,0)$分别代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=0,\\b=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-4,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=2x-4$.
(2)$\because$ 点C是直线$l_1$和$l_2$的交点,$\therefore \begin{cases}y=\frac{1}{2}x+2,\\y=2x-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=4,\\y=4,\end{cases}$ $\therefore$ 点C的坐标为$(4,4)$.$\because A(-4,0)$,$B(2,0)$,$\therefore AB=6$,$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× y_C=\frac{1}{2}×6×4=12$.$\because S_{△ ABC}=2S_{△ BCE}$,$\therefore S_{△ BCE}=6$,设$E(m,0)$,$\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×4×|m-2|=6$,$\therefore m=-1$或5,$\therefore$ 点E的坐标为$(-1,0)$或$(5,0)$.
(3)$△ BCF$是等腰直角三角形.理由如下:
如图,设直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+2$与y轴相交于点N,过点C作$CM// x$轴,$\therefore ∠ MCA=∠ CAO$,$CM⊥ y$轴,$N(0,2)$.$\because ∠ ACF=2∠ CAO$,$\therefore ∠ MCA=∠ MCF=∠ CAO$.
$\because$ 点A的坐标为$(-4,0)$,点C的坐标为$(4,4)$,$\therefore OA=MC=4$.$\because ∠ CMF=∠ AON$,$\therefore △ AON≌ △ CMF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore MF=ON=2$,$\therefore$ 点F的坐标为$(0,6)$,$\therefore CF^2=4^2+2^2=20$,$CB^2=4^2+2^2=20$,$FB^2=2^2+6^2=40$,$\therefore CF^2+CB^2=FB^2$,$CF=CB$,$\therefore △ BCF$是等腰直角三角形.