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1.（兰州市中考）计算：$\sqrt{3} × \sqrt{2} =$ （
A.6
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5}$
D.1
B
）A.6
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5}$
D.1
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题时首先回忆二次根式的乘法法则：两个非负二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。本题中$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$都是有意义的二次根式，被开方数3、2均为非负数，满足乘法法则的使用条件，直接套用法则计算后对应选项即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3 × 2} = \sqrt{6}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对二次根式乘法法则的掌握，运算时注意只有被开方数非负的二次根式才能直接套用该法则计算，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，解题时首先回忆二次根式的乘法法则：两个非负二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。本题中$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$都是有意义的二次根式，被开方数3、2均为非负数，满足乘法法则的使用条件，直接套用法则计算后对应选项即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3 × 2} = \sqrt{6}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对二次根式乘法法则的掌握，运算时注意只有被开方数非负的二次根式才能直接套用该法则计算，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 下列各等式成立的是 （
A.$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{8}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{14}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{8} = 16$
D.$\sqrt{-2} × \sqrt{-3} = \sqrt{6}$
B
）A.$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{8}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{14}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{8} = 16$
D.$\sqrt{-2} × \sqrt{-3} = \sqrt{6}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算及二次根式有意义的条件，解题思路为：首先明确二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，其中要求被开方数$a≥0$、$b≥0$，即参与乘法运算的二次根式首先要有意义，再按照法则计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断是否成立即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0, b≥0)$，逐一判断选项：
A选项：$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3×5} = \sqrt{15} ≠ \sqrt{8}$，等式不成立，排除；
B选项：$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{2×7} = \sqrt{14}$，等式成立；
C选项：$\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4 ≠ 16$，等式不成立，排除；
D选项：二次根式的被开方数需非负，$\sqrt{-2}$、$\sqrt{-3}$的被开方数为负数，无意义，等式不成立，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式有意义的条件，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础考查题，解题时要注意两点：一是参与运算的二次根式的被开方数必须为非负数，二是运算时是被开方数相乘，不要错算成被开方数相加或其他错误运算形式。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算及二次根式有意义的条件，解题思路为：首先明确二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，其中要求被开方数$a≥0$、$b≥0$，即参与乘法运算的二次根式首先要有意义，再按照法则计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断是否成立即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0, b≥0)$，逐一判断选项：
A选项：$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3×5} = \sqrt{15} ≠ \sqrt{8}$，等式不成立，排除；
B选项：$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{2×7} = \sqrt{14}$，等式成立；
C选项：$\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4 ≠ 16$，等式不成立，排除；
D选项：二次根式的被开方数需非负，$\sqrt{-2}$、$\sqrt{-3}$的被开方数为负数，无意义，等式不成立，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式有意义的条件，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础考查题，解题时要注意两点：一是参与运算的二次根式的被开方数必须为非负数，二是运算时是被开方数相乘，不要错算成被开方数相加或其他错误运算形式。
【难度系数】
0.8
3. 计算:
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_.$
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_.$
答案
3.(1)2 5 $\sqrt{10}$ (2)18 $\frac{1}{2}$ $\sqrt{9}$ 3
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。对于(1)，直接套用该法则，将两个被开方数2和5相乘放入同一根号下，计算得到结果即可；对于(2)，同样先套用法则，把被开方数18和$\frac{1}{2}$相乘放入同一根号下，先算出根号内的乘积，再化简得到最终结果。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2 × 5} = \sqrt{10}$
因此依次填入2，5，$\sqrt{10}$。
(2) 同理运用二次根式乘法法则：
$\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{18 × \frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$
因此依次填入18，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{9}$，3。
【答案】
(1)2，5，$\sqrt{10}$；(2)18，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{9}$，3
【知识点】
1. 二次根式乘法法则 2. 二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心是对二次根式乘法法则的直接应用，计算时注意先合并根号计算被开方数的乘积，再对所得的二次根式进行化简，熟练掌握法则即可快速正确解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。对于(1)，直接套用该法则，将两个被开方数2和5相乘放入同一根号下，计算得到结果即可；对于(2)，同样先套用法则，把被开方数18和$\frac{1}{2}$相乘放入同一根号下，先算出根号内的乘积，再化简得到最终结果。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2 × 5} = \sqrt{10}$
因此依次填入2，5，$\sqrt{10}$。
(2) 同理运用二次根式乘法法则：
$\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{18 × \frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$
因此依次填入18，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{9}$，3。
【答案】
(1)2，5，$\sqrt{10}$；(2)18，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{9}$，3
【知识点】
1. 二次根式乘法法则 2. 二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心是对二次根式乘法法则的直接应用，计算时注意先合并根号计算被开方数的乘积，再对所得的二次根式进行化简，熟练掌握法则即可快速正确解答。
【难度系数】
0.9
4.（新背景）蜀绣是中国刺绣传承时间最长的绣种之一.如图所示为蜀绣《双冠图》的局部图片，该图为长方形.若其长为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，宽为$\sqrt{\frac{1}{2}}\ \mathrm{m}$，则它的面积为
1
$\mathrm{m}^2$. 答案
4.1
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，面积等于长乘以宽，接着将题目给出的长和宽代入公式，再运用二次根式的乘法运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）进行计算，最后将结果化简即可得到答案。
【解析】
根据长方形的面积公式：$S = 长 × 宽$，
将长$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，宽$\sqrt{\frac{1}{2}}\ \mathrm{m}$代入得：
$S=\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}}$
根据二次根式的乘法法则，可得：
$S=\sqrt{2 × \frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1(\mathrm{m}^2)$
【答案】
1
【知识点】
长方形面积计算、二次根式的乘法、二次根式化简
【点评】
本题结合传统蜀绣的文化背景出题，既考查了基础的运算能力，也融入了传统文化常识，考查内容较为基础，核心是二次根式乘法法则的运用。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，面积等于长乘以宽，接着将题目给出的长和宽代入公式，再运用二次根式的乘法运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）进行计算，最后将结果化简即可得到答案。
【解析】
根据长方形的面积公式：$S = 长 × 宽$，
将长$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，宽$\sqrt{\frac{1}{2}}\ \mathrm{m}$代入得：
$S=\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}}$
根据二次根式的乘法法则，可得：
$S=\sqrt{2 × \frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1(\mathrm{m}^2)$
【答案】
1
【知识点】
长方形面积计算、二次根式的乘法、二次根式化简
【点评】
本题结合传统蜀绣的文化背景出题，既考查了基础的运算能力，也融入了传统文化常识，考查内容较为基础，核心是二次根式乘法法则的运用。
【难度系数】
0.9
5.(教材第5页例1变式)计算下列各题：
(1)$\sqrt{3} × \sqrt{5}$；
(2)$\sqrt{125} × \sqrt{\frac{1}{5}}$；
(3)$5\sqrt{\frac{5}{2}} × \sqrt{10}$；
(4)$\sqrt{2\frac{2}{3}} × \sqrt{\frac{3}{4}}$。
(1)$\sqrt{3} × \sqrt{5}$；
(2)$\sqrt{125} × \sqrt{\frac{1}{5}}$；
(3)$5\sqrt{\frac{5}{2}} × \sqrt{10}$；
(4)$\sqrt{2\frac{2}{3}} × \sqrt{\frac{3}{4}}$。
答案
5.(1)解:原式$=\sqrt{15}.$
(2)解:原式$=5.$
(3)解:原式$=5 \sqrt{\dfrac{5}{2}×10}=5 \sqrt{25}=25.$
(4)解:原式$=\sqrt{\dfrac{8}{3}×\dfrac{3}{4}}=\sqrt{2}.$
(2)解:原式$=5.$
(3)解:原式$=5 \sqrt{\dfrac{5}{2}×10}=5 \sqrt{25}=25.$
(4)解:原式$=\sqrt{\dfrac{8}{3}×\dfrac{3}{4}}=\sqrt{2}.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），解题思路如下：
1. 若为两个最简二次根式直接相乘，直接套用乘法法则，将被开方数相乘后开方；
2. 若根式带有系数，先将系数相乘作为结果的系数，再对根式部分套用乘法法则计算；
3. 若根式内是带分数，先将带分数化为假分数再进行乘法运算，最后结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 直接套用二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{3×5}=\sqrt{15}$
(2) 先计算被开方数的乘积，再化简二次根式：
原式$=\sqrt{125×\frac{1}{5}}=\sqrt{25}=5$
(3) 系数保留，先计算根式部分的乘积再化简：
原式$=5\sqrt{\frac{5}{2}×10}=5\sqrt{25}=5×5=25$
(4) 先将带分数化为假分数，再计算被开方数的乘积后化简：
原式$=\sqrt{\frac{8}{3}×\frac{3}{4}}=\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{15}$；(2)$5$；(3)$25$；(4)$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式化简，带分数化假分数
【点评】
本题是二次根式乘法的基础练习题，重点考查二次根式乘法法则的应用，计算时注意带分数要先转化为假分数再参与运算，最终结果要化为最简二次根式，掌握好运算法则和运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），解题思路如下：
1. 若为两个最简二次根式直接相乘，直接套用乘法法则，将被开方数相乘后开方；
2. 若根式带有系数，先将系数相乘作为结果的系数，再对根式部分套用乘法法则计算；
3. 若根式内是带分数，先将带分数化为假分数再进行乘法运算，最后结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 直接套用二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{3×5}=\sqrt{15}$
(2) 先计算被开方数的乘积，再化简二次根式：
原式$=\sqrt{125×\frac{1}{5}}=\sqrt{25}=5$
(3) 系数保留，先计算根式部分的乘积再化简：
原式$=5\sqrt{\frac{5}{2}×10}=5\sqrt{25}=5×5=25$
(4) 先将带分数化为假分数，再计算被开方数的乘积后化简：
原式$=\sqrt{\frac{8}{3}×\frac{3}{4}}=\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{15}$；(2)$5$；(3)$25$；(4)$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式化简，带分数化假分数
【点评】
本题是二次根式乘法的基础练习题，重点考查二次根式乘法法则的应用，计算时注意带分数要先转化为假分数再参与运算，最终结果要化为最简二次根式，掌握好运算法则和运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
6.若$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$，则$x$的取值范围是（
A.$x≥0$
B.$x≥3$
C.$0≤ x≤3$
D.$x$为任意实数
B
）A.$x≥0$
B.$x≥3$
C.$0≤ x≤3$
D.$x$为任意实数
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查二次根式乘法公式的成立条件，解题思路如下：首先回忆二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$的适用前提是$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$都有意义，即被开方数均为非负数；因此只需分别列出等式左侧两个二次根式的被开方数非负的不等式，再求解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
要使等式$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$成立，需保证等式左侧的两个二次根式都有意义：
1. 对$\sqrt{x}$，被开方数非负，可得$x≥0$；
2. 对$\sqrt{x-3}$，被开方数非负，可得$x-3≥0$，解得$x≥3$。
两个条件需同时满足，取两个解集的公共部分，最终得$x≥3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式乘法的基础题型，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式的取值要求，解题时需注意所有出现的二次根式都要满足被开方数非负的条件。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式乘法公式的成立条件，解题思路如下：首先回忆二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$的适用前提是$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$都有意义，即被开方数均为非负数；因此只需分别列出等式左侧两个二次根式的被开方数非负的不等式，再求解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
要使等式$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$成立，需保证等式左侧的两个二次根式都有意义：
1. 对$\sqrt{x}$，被开方数非负，可得$x≥0$；
2. 对$\sqrt{x-3}$，被开方数非负，可得$x-3≥0$，解得$x≥3$。
两个条件需同时满足，取两个解集的公共部分，最终得$x≥3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式乘法的基础题型，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式的取值要求，解题时需注意所有出现的二次根式都要满足被开方数非负的条件。
【难度系数】
0.8
7. 已知$ m = (-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) $，则下列关于m的取值范围正确的是（
A.$5 ＜ m ＜ 6$
B.$4 ＜ m ＜ 5$
C.$-5 ＜ m ＜ -4$
D.$-6 ＜ m ＜ -5$
A
）A.$5 ＜ m ＜ 6$
B.$4 ＜ m ＜ 5$
C.$-5 ＜ m ＜ -4$
D.$-6 ＜ m ＜ -5$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时第一步先根据乘法符号法则确定m的正负，快速排除负数选项；第二步利用二次根式乘法法则计算化简m的表达式；第三步通过夹逼法估算化简后的无理数的取值范围，即可选出正确答案。
【解析】
1. 确定符号：两个负数相乘，积为正数，因此$m＞0$，可直接排除选项C、D；
2. 利用二次根式乘法法则计算化简：
$\begin{aligned}m &= (-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) \\&= \frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{21} \\&= \frac{2}{3}×\sqrt{3×21} \\&= \frac{2}{3}×\sqrt{63}\end{aligned}$
因为$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$，代入得：
$m = \frac{2}{3}×3\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$
3. 估算m的范围：将$2\sqrt{7}$变形为$\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$，
由于$25＜28＜36$，因此$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜m＜6$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法，无理数的估算
【点评】
本题可先通过符号判定快速缩小可选范围，再结合二次根式化简和无理数估算得到结果，估算无理数时可通过平方转化为有理数比较大小，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时第一步先根据乘法符号法则确定m的正负，快速排除负数选项；第二步利用二次根式乘法法则计算化简m的表达式；第三步通过夹逼法估算化简后的无理数的取值范围，即可选出正确答案。
【解析】
1. 确定符号：两个负数相乘，积为正数，因此$m＞0$，可直接排除选项C、D；
2. 利用二次根式乘法法则计算化简：
$\begin{aligned}m &= (-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) \\&= \frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{21} \\&= \frac{2}{3}×\sqrt{3×21} \\&= \frac{2}{3}×\sqrt{63}\end{aligned}$
因为$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$，代入得：
$m = \frac{2}{3}×3\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$
3. 估算m的范围：将$2\sqrt{7}$变形为$\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$，
由于$25＜28＜36$，因此$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜m＜6$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法，无理数的估算
【点评】
本题可先通过符号判定快速缩小可选范围，再结合二次根式化简和无理数估算得到结果，估算无理数时可通过平方转化为有理数比较大小，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
8.若计算$\sqrt{12} × m$的结果为正整数，则无理数$m$的值可以是
$\sqrt{3}$(答案不唯一)
（写出一个符合条件的即可）。答案
8.$\sqrt{3}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路如下：首先先化简二次根式$\sqrt{12}$，再结合二次根式的乘法法则，要使$\sqrt{12}×m$的结果为正整数，且$m$为无理数，只需让$m$与化简后$\sqrt{12}$的无理部分相乘后能消去根号，最终得到的乘积为正整数即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，若取$m=\sqrt{3}$，代入计算得：
$\sqrt{12}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$
6是正整数，且$\sqrt{3}$是无理数，符合题目要求。
【答案】
$\sqrt{3}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是开放性试题，主要考查二次根式的化简与乘法运算的应用，解题时灵活运用二次根式的运算性质即可，答案不唯一，满足条件即可得分。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先先化简二次根式$\sqrt{12}$，再结合二次根式的乘法法则，要使$\sqrt{12}×m$的结果为正整数，且$m$为无理数，只需让$m$与化简后$\sqrt{12}$的无理部分相乘后能消去根号，最终得到的乘积为正整数即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，若取$m=\sqrt{3}$，代入计算得：
$\sqrt{12}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$
6是正整数，且$\sqrt{3}$是无理数，符合题目要求。
【答案】
$\sqrt{3}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是开放性试题，主要考查二次根式的化简与乘法运算的应用，解题时灵活运用二次根式的运算性质即可，答案不唯一，满足条件即可得分。
【难度系数】
0.8
9. 计算:
(1) $\sqrt{1\dfrac{1}{7}} × \sqrt{14}$;
(2) $\dfrac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5})$;
(3) $-\sqrt{1\dfrac{3}{5}} × 2\sqrt{6} × \dfrac{3}{2}\sqrt{15}$.
(1) $\sqrt{1\dfrac{1}{7}} × \sqrt{14}$;
(2) $\dfrac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5})$;
(3) $-\sqrt{1\dfrac{3}{5}} × 2\sqrt{6} × \dfrac{3}{2}\sqrt{15}$.
答案
9.(1)解:原式$=\sqrt{\dfrac{8}{7}×14}=\sqrt{16}=4.$
(2)解:原式$=-\dfrac{1}{3}×6×\sqrt{2}×\sqrt{5}=-2×\sqrt{2×5}=-2\sqrt{10}.$
(3)解:原式$=-2×\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{8}{5}×6×15}=-3×12=-36.$
(2)解:原式$=-\dfrac{1}{3}×6×\sqrt{2}×\sqrt{5}=-2×\sqrt{2×5}=-2\sqrt{10}.$
(3)解:原式$=-2×\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{8}{5}×6×15}=-3×12=-36.$
解析
【分析】
这三道题均为二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），解题思路如下：①先将算式中的带分数化为假分数，统一被开方数形式；②有理数（系数）部分先相乘，注意负号的确定；③二次根式部分按照乘法法则，将所有被开方数相乘；④最后将计算结果化简为最简二次根式或整式即可。
【解析】
(1) 先把带分数化为假分数，再用二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{\dfrac{8}{7}×14}=\sqrt{16}=4$
(2) 系数和二次根式分别运算，注意符号：
原式$=(-\dfrac{1}{3}×6)×(\sqrt{2}×\sqrt{5})=-2×\sqrt{2×5}=-2\sqrt{10}$
(3) 先转化带分数，再分别计算系数乘积和被开方数乘积，最后化简：
原式$=(-1×2×\dfrac{3}{2})×\sqrt{\dfrac{8}{5}×6×15}=-3×\sqrt{144}=-3×12=-36$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{-2\sqrt{10}}$；(3) $\boldsymbol{-36}$
【知识点】
二次根式的乘法、二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，解题时需注意先处理带分数，运算过程中系数和根式部分分开计算，尤其要注意符号的判断，最终结果要化为最简形式，熟练掌握运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这三道题均为二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），解题思路如下：①先将算式中的带分数化为假分数，统一被开方数形式；②有理数（系数）部分先相乘，注意负号的确定；③二次根式部分按照乘法法则，将所有被开方数相乘；④最后将计算结果化简为最简二次根式或整式即可。
【解析】
(1) 先把带分数化为假分数，再用二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{\dfrac{8}{7}×14}=\sqrt{16}=4$
(2) 系数和二次根式分别运算，注意符号：
原式$=(-\dfrac{1}{3}×6)×(\sqrt{2}×\sqrt{5})=-2×\sqrt{2×5}=-2\sqrt{10}$
(3) 先转化带分数，再分别计算系数乘积和被开方数乘积，最后化简：
原式$=(-1×2×\dfrac{3}{2})×\sqrt{\dfrac{8}{5}×6×15}=-3×\sqrt{144}=-3×12=-36$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{-2\sqrt{10}}$；(3) $\boldsymbol{-36}$
【知识点】
二次根式的乘法、二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，解题时需注意先处理带分数，运算过程中系数和根式部分分开计算，尤其要注意符号的判断，最终结果要化为最简形式，熟练掌握运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
