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13. 如果代数式$\sqrt{-m}+\frac{1}{\sqrt{mn}}$有意义，那么在平面直角坐标系中，点$P(m,n)$在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确代数式有意义的限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们先根据这两个要求列出关于m、n的不等式，求解得到m、n的正负性，再结合平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，就能判断出点P所在的象限。
【解析】
要使代数式$\sqrt{-m}+\frac{1}{\sqrt{mn}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{-m}$，被开方数非负：$-m ≥ 0$，解得$m ≤ 0$；
2. 对于分式$\frac{1}{\sqrt{mn}}$，分母$\sqrt{mn}$有意义且不为0：首先被开方数$mn ≥ 0$，同时$\sqrt{mn} ≠ 0$，因此$mn ＞ 0$，说明m和n同号，且均不为0。
结合上述两个结论：由$mn＞0$得m≠0，因此$m ＜ 0$，对应的$n ＜ 0$。
根据平面直角坐标系象限的坐标特征：第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负，因此点$P(m,n)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查学生对代数式有意义条件的掌握情况，以及对各象限点坐标符号的记忆，解题的关键是不要遗漏分母不为0的限制条件，准确判断m、n的正负性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确代数式有意义的限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们先根据这两个要求列出关于m、n的不等式，求解得到m、n的正负性，再结合平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，就能判断出点P所在的象限。
【解析】
要使代数式$\sqrt{-m}+\frac{1}{\sqrt{mn}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{-m}$，被开方数非负：$-m ≥ 0$，解得$m ≤ 0$；
2. 对于分式$\frac{1}{\sqrt{mn}}$，分母$\sqrt{mn}$有意义且不为0：首先被开方数$mn ≥ 0$，同时$\sqrt{mn} ≠ 0$，因此$mn ＞ 0$，说明m和n同号，且均不为0。
结合上述两个结论：由$mn＞0$得m≠0，因此$m ＜ 0$，对应的$n ＜ 0$。
根据平面直角坐标系象限的坐标特征：第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负，因此点$P(m,n)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查学生对代数式有意义条件的掌握情况，以及对各象限点坐标符号的记忆，解题的关键是不要遗漏分母不为0的限制条件，准确判断m、n的正负性。
【难度系数】
0.8
14.(新乡市原阳县期末)若$\sqrt{m-1}$有意义，则m能取的最小整数值是
$1$
.答案
$1$
解析
【分析】
要确定m能取的最小整数值，首先需明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。据此列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围后，再在取值范围内找出最小的整数即可。
【解析】
∵二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，
∴对于$\sqrt{m-1}$，需满足$m-1≥0$，
解这个不等式得：$m≥1$，
在$m≥1$的范围内，最小的整数是1。
【答案】
$1$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考查对二次根式有意义条件的理解，解题时只需紧扣被开方数非负的要求列不等式求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定m能取的最小整数值，首先需明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。据此列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围后，再在取值范围内找出最小的整数即可。
【解析】
∵二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，
∴对于$\sqrt{m-1}$，需满足$m-1≥0$，
解这个不等式得：$m≥1$，
在$m≥1$的范围内，最小的整数是1。
【答案】
$1$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考查对二次根式有意义条件的理解，解题时只需紧扣被开方数非负的要求列不等式求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
15.(齐齐哈尔市中考)若代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x - 2025)^0$有意义，则实数x的取值范围是
$x＞3$且$x≠2025$
。答案
$x＞3$且$x≠2025$
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需要分别分析代数式中每一部分有意义的条件，再取所有条件的公共部分即可：①对于含二次根式的分式，分母中的二次根式既要满足被开方数非负，又要满足分母不为0，因此被开方数需大于0；②对于零指数幂，需满足底数不为0，最后联立两个条件求解即可。
【解析】
要使代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x - 2025)^0$有意义，需同时满足两个条件：
1. 对于分式$\frac{x}{\sqrt{x-3}}$：分母为二次根式，因此被开方数$x-3＞0$，解得$x＞3$；
2. 对于零指数幂$(x-2025)^0$：底数不能为0，因此$x-2025≠0$，解得$x≠2025$。
综合两个条件，可得x的取值范围是$x＞3$且$x≠2025$。
【答案】
$x＞3$且$x≠2025$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂的性质
【点评】
本题考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需注意不要遗漏任意一个限制条件，尤其要区分二次根式单独存在和作为分母时的不同要求，零指数幂的底数限制也是常见易错点。
【难度系数】
0.7
要确定代数式有意义时x的取值范围，需要分别分析代数式中每一部分有意义的条件，再取所有条件的公共部分即可：①对于含二次根式的分式，分母中的二次根式既要满足被开方数非负，又要满足分母不为0，因此被开方数需大于0；②对于零指数幂，需满足底数不为0，最后联立两个条件求解即可。
【解析】
要使代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x - 2025)^0$有意义，需同时满足两个条件：
1. 对于分式$\frac{x}{\sqrt{x-3}}$：分母为二次根式，因此被开方数$x-3＞0$，解得$x＞3$；
2. 对于零指数幂$(x-2025)^0$：底数不能为0，因此$x-2025≠0$，解得$x≠2025$。
综合两个条件，可得x的取值范围是$x＞3$且$x≠2025$。
【答案】
$x＞3$且$x≠2025$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂的性质
【点评】
本题考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需注意不要遗漏任意一个限制条件，尤其要区分二次根式单独存在和作为分母时的不同要求，零指数幂的底数限制也是常见易错点。
【难度系数】
0.7
16. 计算：
(1) $\sqrt{5^2} - (-\sqrt{6})^2$；
(2) $(-2\sqrt{5})^2 - 3\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}$。
(1) $\sqrt{5^2} - (-\sqrt{6})^2$；
(2) $(-2\sqrt{5})^2 - 3\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}$。
答案
(1)解:原式$=5-6=-1$。
(2)解:原式$=20-3×\dfrac{2}{3}=18$。
(2)解:原式$=20-3×\dfrac{2}{3}=18$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时结合二次根式的性质分步计算即可：首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，以及积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$；再对每一小问的各项分别利用上述性质化简，最后按照有理数的加减法则计算结果即可。
【解析】
(1) 分别化简各项：
根据$\sqrt{a^2}=a\ (a≥0)$，可得$\sqrt{5^2}=5$；
根据乘方的符号性质和$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，可得$(-\sqrt{6})^2=(\sqrt{6})^2=6$；
代入原式计算：
原式$=5-6=-1$
(2) 分别化简各项：
根据积的乘方法则，可得$(-2\sqrt{5})^2=(-2)^2×(\sqrt{5})^2=4×5=20$；
根据$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}=\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$，因此$3\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}=3×\frac{2}{3}=2$；
代入原式计算：
原式$=20-2=18$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
二次根式的性质，积的乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式相关性质的应用，运算时注意先化简再计算，同时注意符号处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的相关运算，解题时结合二次根式的性质分步计算即可：首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，以及积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$；再对每一小问的各项分别利用上述性质化简，最后按照有理数的加减法则计算结果即可。
【解析】
(1) 分别化简各项：
根据$\sqrt{a^2}=a\ (a≥0)$，可得$\sqrt{5^2}=5$；
根据乘方的符号性质和$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，可得$(-\sqrt{6})^2=(\sqrt{6})^2=6$；
代入原式计算：
原式$=5-6=-1$
(2) 分别化简各项：
根据积的乘方法则，可得$(-2\sqrt{5})^2=(-2)^2×(\sqrt{5})^2=4×5=20$；
根据$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}=\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$，因此$3\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}=3×\frac{2}{3}=2$；
代入原式计算：
原式$=20-2=18$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
二次根式的性质，积的乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式相关性质的应用，运算时注意先化简再计算，同时注意符号处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
17.(教材第16页复习题B组第11题变式)若实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，请化简：$(\sqrt{1-b})^2 + |b - a| + \sqrt{(a + b)^2}$。
答案
解:由实数$a,b$在数轴上对应的点的位置可知,$0＜a＜1,-2＜b＜-1$,$\therefore 2＜1-b＜3$,$b-a＜0$,$a+b＜0$。$\therefore (\sqrt{1-b})^2 + |b - a| + \sqrt{(a+b)^2}=1-b-(b-a)-(a+b)=1-b-b+a-a-b=1-3b$。
解析
【分析】
首先从数轴上读取实数a、b的取值范围，再分别判断待化简式中每一部分的正负性：1. 对$(\sqrt{1-b})^2$，根据二次根式性质$(\sqrt{x})^2=x(x≥0)$，需先判断$1-b$的正负；2. 对$|b-a|$，根据绝对值的性质，需先判断$b-a$的正负，负数的绝对值是它的相反数；3. 对$\sqrt{(a+b)^2}$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先转化为绝对值形式，再判断$a+b$的正负去绝对值。最后将化简后的各项合并同类项即可得到结果。
【解析】
由实数$a,b$在数轴上对应的点的位置可知：$0＜a＜1,-2＜b＜-1$，
由此可得：$1-b＞0$，$b-a＜0$，$a+b＜0$。
根据二次根式和绝对值的性质化简：
$\begin{aligned}(\sqrt{1-b})^2 + |b - a| + \sqrt{(a+b)^2}&=1-b+[-(b-a)]+[-(a+b)]\\&=1-b -b +a -a -b\\&=1-3b\end{aligned}$
【答案】
$1-3b$
【知识点】
数轴的应用、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，解题核心是借助数轴确定字母的取值范围，准确判断各代数式的符号，再结合相关性质化简，解题时需注意符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
首先从数轴上读取实数a、b的取值范围，再分别判断待化简式中每一部分的正负性：1. 对$(\sqrt{1-b})^2$，根据二次根式性质$(\sqrt{x})^2=x(x≥0)$，需先判断$1-b$的正负；2. 对$|b-a|$，根据绝对值的性质，需先判断$b-a$的正负，负数的绝对值是它的相反数；3. 对$\sqrt{(a+b)^2}$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先转化为绝对值形式，再判断$a+b$的正负去绝对值。最后将化简后的各项合并同类项即可得到结果。
【解析】
由实数$a,b$在数轴上对应的点的位置可知：$0＜a＜1,-2＜b＜-1$，
由此可得：$1-b＞0$，$b-a＜0$，$a+b＜0$。
根据二次根式和绝对值的性质化简：
$\begin{aligned}(\sqrt{1-b})^2 + |b - a| + \sqrt{(a+b)^2}&=1-b+[-(b-a)]+[-(a+b)]\\&=1-b -b +a -a -b\\&=1-3b\end{aligned}$
【答案】
$1-3b$
【知识点】
数轴的应用、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，解题核心是借助数轴确定字母的取值范围，准确判断各代数式的符号，再结合相关性质化简，解题时需注意符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
18.（补全解题过程）小明在学习二次根式时，碰到这样一道题：若代数式$\sqrt{x^2} + \sqrt{x^2 -6x +9}$的值为3，求$x$的取值范围.
小明是这样计算的：
解：原式$=\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-3)^2}=|x| + |x-3|$，
∴可分三种情况进行讨论：
①当$x＜0$时，原式$=-x + (-x +3)= -2x +3=3$，解得$x=0$（舍去）；
②当$0≤x≤3$时，…
请你补全小明的计算过程.
小明是这样计算的：
解：原式$=\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-3)^2}=|x| + |x-3|$，
∴可分三种情况进行讨论：
①当$x＜0$时，原式$=-x + (-x +3)= -2x +3=3$，解得$x=0$（舍去）；
②当$0≤x≤3$时，…
请你补全小明的计算过程.
答案
②当$0≤x≤3$时,原式$=x+(-x+3)=3$,③当$x＞3$时,原式$=x+x-3=2x-3=3$,解得$x=3$(舍去).综上所述,$x$的取值范围是$0≤x≤3$。
解析
【分析】
首先利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$已经将原式化简为$|x|+|x-3|$，绝对值化简的核心是根据绝对值内式子的正负性分段讨论，本题分界点为$x=0$和$x=3$，已知$x＜0$的讨论结果，接下来只需依次讨论$0≤x≤3$、$x＞3$两个区间：在每个区间内先去绝对值符号，再解方程，判断解是否符合当前区间的取值范围，舍去不符合的解，最后汇总所有符合条件的x的范围即可。
【解析】
②当$0≤x≤3$时，$x≥0$，$x-3≤0$，因此$|x|=x$，$|x-3|=-(x-3)=-x+3$，原式$=x+(-x+3)=3$，该式在区间内恒成立，所以$0≤x≤3$均符合要求；
③当$x＞3$时，$x＞0$，$x-3＞0$，因此$|x|=x$，$|x-3|=x-3$，原式$=x+x-3=2x-3=3$，解得$x=3$，不符合$x＞3$的前提，故舍去。
综上所述，$x$的取值范围是$0≤x≤3$。
【答案】
$0≤x≤3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题考查二次根式与绝对值运算的结合，解题关键是找准绝对值的分界点分段讨论，注意最终解必须符合对应分段的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
首先利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$已经将原式化简为$|x|+|x-3|$，绝对值化简的核心是根据绝对值内式子的正负性分段讨论，本题分界点为$x=0$和$x=3$，已知$x＜0$的讨论结果，接下来只需依次讨论$0≤x≤3$、$x＞3$两个区间：在每个区间内先去绝对值符号，再解方程，判断解是否符合当前区间的取值范围，舍去不符合的解，最后汇总所有符合条件的x的范围即可。
【解析】
②当$0≤x≤3$时，$x≥0$，$x-3≤0$，因此$|x|=x$，$|x-3|=-(x-3)=-x+3$，原式$=x+(-x+3)=3$，该式在区间内恒成立，所以$0≤x≤3$均符合要求；
③当$x＞3$时，$x＞0$，$x-3＞0$，因此$|x|=x$，$|x-3|=x-3$，原式$=x+x-3=2x-3=3$，解得$x=3$，不符合$x＞3$的前提，故舍去。
综上所述，$x$的取值范围是$0≤x≤3$。
【答案】
$0≤x≤3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题考查二次根式与绝对值运算的结合，解题关键是找准绝对值的分界点分段讨论，注意最终解必须符合对应分段的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
1.若$\sqrt{a-3}+\sqrt{2-b}=0$，则$a+b$的值为
（
A.－5
B.－1
C.1
D.5
（
D
）A.－5
B.－1
C.1
D.5
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：算术平方根具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。已知两个非负的二次根式相加结果为0，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，因此可以分别令两个根号内的式子等于0，求出a、b的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
根据二次根式的非负性可知：
$\sqrt{a-3}≥0$，$\sqrt{2-b}≥0$
∵$\sqrt{a-3}+\sqrt{2-b}=0$
∴只有当$\sqrt{a-3}=0$且$\sqrt{2-b}=0$时，等式才成立，即：
$\begin{cases}a-3=0\\2-b=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}$
∴$a+b=3+2=5$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的非负性与非负数性质的结合应用，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的性质：算术平方根具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。已知两个非负的二次根式相加结果为0，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，因此可以分别令两个根号内的式子等于0，求出a、b的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
根据二次根式的非负性可知：
$\sqrt{a-3}≥0$，$\sqrt{2-b}≥0$
∵$\sqrt{a-3}+\sqrt{2-b}=0$
∴只有当$\sqrt{a-3}=0$且$\sqrt{2-b}=0$时，等式才成立，即：
$\begin{cases}a-3=0\\2-b=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}$
∴$a+b=3+2=5$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的非负性与非负数性质的结合应用，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式】已知$a$、$b$都为实数，且$\sqrt{3a-6}$与$|-2b-8|$互为相反数，则$a^2 - 2ab + b^2$的值为
$36$
。答案
$36$
解析
【分析】
本题解题思路可分为三步：首先，根据互为相反数的两个数之和为0，列出等式；其次，结合二次根式的非负性和绝对值的非负性可知，两个非负数相加和为0时，每个非负数对应的内部表达式都为0，据此列方程求出a、b的值；最后，观察待求式符合完全平方公式的结构，先因式分解再代入数值计算，可简化运算。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{3a-6}$ 与 $|-2b-8|$ 互为相反数
∴ $\sqrt{3a-6} + |-2b - 8| = 0$
∵ 二次根式的结果为非负数，绝对值的结果也为非负数，即 $\sqrt{3a-6} ≥ 0$，$|-2b-8| ≥ 0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}3a - 6 = 0 \\ -2b - 8 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 2 \\ b = -4\end{cases}$
又
∵ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
将$a=2$，$b=-4$代入得：
原式$=(2 - (-4))^2 = 6^2 = 36$
【答案】
$36$
【知识点】
非负数的性质、二次根式的非负性、完全平方公式
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的核心是掌握非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0，结合代数变形可以快速求解。
【难度系数】
0.8
本题解题思路可分为三步：首先，根据互为相反数的两个数之和为0，列出等式；其次，结合二次根式的非负性和绝对值的非负性可知，两个非负数相加和为0时，每个非负数对应的内部表达式都为0，据此列方程求出a、b的值；最后，观察待求式符合完全平方公式的结构，先因式分解再代入数值计算，可简化运算。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{3a-6}$ 与 $|-2b-8|$ 互为相反数
∴ $\sqrt{3a-6} + |-2b - 8| = 0$
∵ 二次根式的结果为非负数，绝对值的结果也为非负数，即 $\sqrt{3a-6} ≥ 0$，$|-2b-8| ≥ 0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}3a - 6 = 0 \\ -2b - 8 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 2 \\ b = -4\end{cases}$
又
∵ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
将$a=2$，$b=-4$代入得：
原式$=(2 - (-4))^2 = 6^2 = 36$
【答案】
$36$
【知识点】
非负数的性质、二次根式的非负性、完全平方公式
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的核心是掌握非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0，结合代数变形可以快速求解。
【难度系数】
0.8
2.(洛阳市洛宁县月考)已知$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}+x-2$，则$\sqrt{10x+y}$的值为（
A.5
B.3
C.$-3$
D.$-5$
B
）A.5
B.3
C.$-3$
D.$-5$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。因此先根据两个根号内的式子列出不等式组，求出x的取值，再将x代入原式求出y的值，最后代入$\sqrt{10x+y}$计算即可。另外算术平方根的结果是非负的，可先直接排除选项C、D，缩小选择范围。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$有意义，需满足被开方数非负，列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 \\1-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$得$x≥1$，解不等式$1-x≥0$得$x≤1$，因此$x=1$。
将$x=1$代入$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}+x-2$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1-2=-1$
再将$x=1$，$y=-1$代入$\sqrt{10x+y}$：
$\sqrt{10×1+(-1)}=\sqrt{9}=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题核心是利用二次根式被开方数非负的性质确定未知量的取值，再代入求值，解题时也可利用算术平方根的非负性先排除负数选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。因此先根据两个根号内的式子列出不等式组，求出x的取值，再将x代入原式求出y的值，最后代入$\sqrt{10x+y}$计算即可。另外算术平方根的结果是非负的，可先直接排除选项C、D，缩小选择范围。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$有意义，需满足被开方数非负，列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 \\1-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$得$x≥1$，解不等式$1-x≥0$得$x≤1$，因此$x=1$。
将$x=1$代入$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}+x-2$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1-2=-1$
再将$x=1$，$y=-1$代入$\sqrt{10x+y}$：
$\sqrt{10×1+(-1)}=\sqrt{9}=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题核心是利用二次根式被开方数非负的性质确定未知量的取值，再代入求值，解题时也可利用算术平方根的非负性先排除负数选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
【变式】若$y=\sqrt{x-4}+\sqrt{4-x}+2$，则$xy^2$的平方根为
$\pm4$
。答案
$\pm4$
解析
【分析】
要计算$xy^2$的平方根，需先求出x、y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可列出关于x的不等式组，解得x的值后，代入原式求出y，再计算$xy^2$的值，最后求其平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，列不等式组：
$\begin{cases}x-4≥0 \\4-x≥0\end{cases}$
解不等式得$x≥4$且$x≤4$，因此$x=4$。
2. 将$x=4$代入原式求y：
$y=\sqrt{4-4}+\sqrt{4-4}+2=0+0+2=2$
3. 计算$xy^2$的值：
$xy^2=4×2^2=4×4=16$
4. 求16的平方根：因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根为$\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
二次根式有意义的条件、平方根的定义、代数式求值
【点评】
本题解题关键是利用二次根式被开方数的非负性确定x的唯一取值，再代入计算后续值，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
要计算$xy^2$的平方根，需先求出x、y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可列出关于x的不等式组，解得x的值后，代入原式求出y，再计算$xy^2$的值，最后求其平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，列不等式组：
$\begin{cases}x-4≥0 \\4-x≥0\end{cases}$
解不等式得$x≥4$且$x≤4$，因此$x=4$。
2. 将$x=4$代入原式求y：
$y=\sqrt{4-4}+\sqrt{4-4}+2=0+0+2=2$
3. 计算$xy^2$的值：
$xy^2=4×2^2=4×4=16$
4. 求16的平方根：因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根为$\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
二次根式有意义的条件、平方根的定义、代数式求值
【点评】
本题解题关键是利用二次根式被开方数的非负性确定x的唯一取值，再代入计算后续值，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
3. 当$x=$
$-\dfrac{1}{2}$
时，$\sqrt{2x+1}+6$有最小值，最小值为$6$
。答案
$-\dfrac{1}{2}$ $6$
解析
【分析】
要找$\sqrt{2x+1}+6$的最小值，需结合二次根式的性质思考：二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式的值也大于等于0。当二次根式取到最小值0时，整个代数式的取值最小，此时先求出对应x的值，再代入计算代数式的最小值即可。
【解析】
根据二次根式的性质，可得$\sqrt{2x+1} ≥ 0$，
因此当$\sqrt{2x+1}=0$时，$\sqrt{2x+1}+6$取得最小值。
令$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，
将$x=-\frac{1}{2}$代入$\sqrt{2x+1}+6$，可得最小值为$0+6=6$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$；$6$
【知识点】
二次根式的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是抓住二次根式的值恒为非负数的特点，找到使二次根式取0的未知数取值，进而求出代数式的最值，难度较低。
【难度系数】
0.9
要找$\sqrt{2x+1}+6$的最小值，需结合二次根式的性质思考：二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式的值也大于等于0。当二次根式取到最小值0时，整个代数式的取值最小，此时先求出对应x的值，再代入计算代数式的最小值即可。
【解析】
根据二次根式的性质，可得$\sqrt{2x+1} ≥ 0$，
因此当$\sqrt{2x+1}=0$时，$\sqrt{2x+1}+6$取得最小值。
令$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，
将$x=-\frac{1}{2}$代入$\sqrt{2x+1}+6$，可得最小值为$0+6=6$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$；$6$
【知识点】
二次根式的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是抓住二次根式的值恒为非负数的特点，找到使二次根式取0的未知数取值，进而求出代数式的最值，难度较低。
【难度系数】
0.9
