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1 [2025连云港]《九章算术》中有一个问题:今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢? 凫:野鸭. 所提问题即野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞,经过多少天能够相遇? 设经过$x$天能够相遇,根据题意,可列方程为 (
A.$\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=1$
B.$\frac{1}{7}x-\frac{1}{9}x=1$
C.$7x+9x=1$
D.$9x-7x=1$
A
)A.$\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=1$
B.$\frac{1}{7}x-\frac{1}{9}x=1$
C.$7x+9x=1$
D.$9x-7x=1$
答案
1.A
解析
【分析】这是行程类的相向相遇问题，解题时我们可以先把南海到北海的总路程看作单位“1”，先分别求出野鸭和大雁的飞行速度，再根据“相遇时两者飞行的路程之和等于总路程”的核心等量关系列方程。首先推导速度：野鸭7天飞完全程，每天飞全程的$\frac{1}{7}$；大雁9天飞完全程，每天飞全程的$\frac{1}{9}$，再结合飞行时间x天，代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】将南海到北海的总路程看作单位“1”：
1. 计算两者的飞行速度和对应x天的路程：
野鸭的每日飞行速度为总路程的$\frac{1}{7}$，x天的飞行路程为$\frac{1}{7}x$；
大雁的每日飞行速度为总路程的$\frac{1}{9}$，x天的飞行路程为$\frac{1}{9}x$。
2. 根据相遇等量关系列方程：
相向飞行相遇时，两者的路程和等于总路程1，因此可列方程：$\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元一次方程应用；相遇问题；单位“1”运用
【点评】本题结合我国古代数学名著内容出题，既考查行程相遇问题的核心等量关系，也能引导学生感受传统数学文化的魅力，解题关键是合理将总路程设为单位“1”表示出两者的速度。
【难度系数】0.8
【解析】将南海到北海的总路程看作单位“1”：
1. 计算两者的飞行速度和对应x天的路程：
野鸭的每日飞行速度为总路程的$\frac{1}{7}$，x天的飞行路程为$\frac{1}{7}x$；
大雁的每日飞行速度为总路程的$\frac{1}{9}$，x天的飞行路程为$\frac{1}{9}x$。
2. 根据相遇等量关系列方程：
相向飞行相遇时，两者的路程和等于总路程1，因此可列方程：$\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元一次方程应用；相遇问题；单位“1”运用
【点评】本题结合我国古代数学名著内容出题，既考查行程相遇问题的核心等量关系，也能引导学生感受传统数学文化的魅力，解题关键是合理将总路程设为单位“1”表示出两者的速度。
【难度系数】0.8
2 [2026杭州段测]在如图所示的月历中，任意框出月历中竖列上或者横行上相邻的三个数，请你运用整体思想来研究，发现这三个数的和不可能是（
A.40
B.60
C.72
D.27
A
）A.40
B.60
C.72
D.27
答案
2.A
解析
【分析】
首先观察月历的数字特征：横行相邻两个数相差1，竖列相邻两个数相差7。我们可以设相邻三个数的中间数为x，分别表示出横行、竖列情况下另外两个数，通过求和即可得出三个数的和的共性：一定是3的倍数，也就是和能被3整除，再结合选项判断，同时验证符合整除条件的中间数是否在月历中真实存在即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若框出的是横行相邻的三个数：设中间数为$x$，则左边数为$x-1$，右边数为$x+1$，三个数的和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$；
2. 若框出的是竖列相邻的三个数：设中间数为$x$，则上方数为$x-7$，下方数为$x+7$，三个数的和为$(x-7)+x+(x+7)=3x$。
综上，任意横行或竖列相邻三个数的和均为$3x$，即和是3的倍数，能被3整除。
对各选项判断：
A. $40÷3$不是整数，不符合和的特征，不可能；
B. $60÷3=20$，中间数为20，对应竖列三个数13、20、27，存在，和为60，可能；
C. $72÷3=24$，中间数为24，对应竖列三个数17、24、31，存在，和为72，可能；
D. $27÷3=9$，中间数为9，对应竖列三个数2、9、16，存在，和为27，可能。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程应用，整除性质
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，结合生活常见的月历设题，解题核心是通过设未知数推导三个数和的共性，不需要逐一列举所有情况，简化了解题过程，也体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察月历的数字特征：横行相邻两个数相差1，竖列相邻两个数相差7。我们可以设相邻三个数的中间数为x，分别表示出横行、竖列情况下另外两个数，通过求和即可得出三个数的和的共性：一定是3的倍数，也就是和能被3整除，再结合选项判断，同时验证符合整除条件的中间数是否在月历中真实存在即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若框出的是横行相邻的三个数：设中间数为$x$，则左边数为$x-1$，右边数为$x+1$，三个数的和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$；
2. 若框出的是竖列相邻的三个数：设中间数为$x$，则上方数为$x-7$，下方数为$x+7$，三个数的和为$(x-7)+x+(x+7)=3x$。
综上，任意横行或竖列相邻三个数的和均为$3x$，即和是3的倍数，能被3整除。
对各选项判断：
A. $40÷3$不是整数，不符合和的特征，不可能；
B. $60÷3=20$，中间数为20，对应竖列三个数13、20、27，存在，和为60，可能；
C. $72÷3=24$，中间数为24，对应竖列三个数17、24、31，存在，和为72，可能；
D. $27÷3=9$，中间数为9，对应竖列三个数2、9、16，存在，和为27，可能。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程应用，整除性质
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，结合生活常见的月历设题，解题核心是通过设未知数推导三个数和的共性，不需要逐一列举所有情况，简化了解题过程，也体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
3 如图所示为2026年7月的月历，小明用长方形按图示方向从中任意框出4个数，若这4个数的和为68，则C处的数是多少？
答案
设C处的数是x.根据题意,得x+6+x+x-6+x-12=68,解得x=20.所以C处的数是20
解析
【分析】
首先观察月历的排列特点：每行有7个数字，按图示方向斜框出的4个数字，相邻的两个数字相差6（右下的数比左上的数大6）。我们可以设C处的数为x，根据数字差的规律表示出其余3个数字，再利用4个数的和为68的等量关系列一元一次方程，求解即可得到C处的数。
【解析】
解：设C处的数是$ x $。
根据月历中斜向数字的规律，其余三个数分别为$ x+6 $、$ x-6 $、$ x-12 $。
由4个数的和为68，列方程得：
$(x+6) + x + (x-6) + (x-12) = 68$
合并同类项，得：
$4x - 12 = 68$
移项、系数化为1，得：
$4x = 80 \quad ⇒ \quad x = 20$
【答案】
20
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 月历数字规律探究
【点评】
本题以月历为背景考查一元一次方程的实际应用，解题的核心是先观察总结出斜向框选数字的差值规律，再根据和的等量关系建立方程求解，属于规律应用类的基础题，只要掌握数字规律和一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先观察月历的排列特点：每行有7个数字，按图示方向斜框出的4个数字，相邻的两个数字相差6（右下的数比左上的数大6）。我们可以设C处的数为x，根据数字差的规律表示出其余3个数字，再利用4个数的和为68的等量关系列一元一次方程，求解即可得到C处的数。
【解析】
解：设C处的数是$ x $。
根据月历中斜向数字的规律，其余三个数分别为$ x+6 $、$ x-6 $、$ x-12 $。
由4个数的和为68，列方程得：
$(x+6) + x + (x-6) + (x-12) = 68$
合并同类项，得：
$4x - 12 = 68$
移项、系数化为1，得：
$4x = 80 \quad ⇒ \quad x = 20$
【答案】
20
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 月历数字规律探究
【点评】
本题以月历为背景考查一元一次方程的实际应用，解题的核心是先观察总结出斜向框选数字的差值规律，再根据和的等量关系建立方程求解，属于规律应用类的基础题，只要掌握数字规律和一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
4（易错题）如图，在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字.若设“”内的数字为x，则可列方程为（
A.$3×2x +5=2x$
B.$3×20 +x +5=10x +2$
C.$3×20 +x +5=20x$
D.$3(20 +x)+5=10x +2$
D
）A.$3×2x +5=2x$
B.$3×20 +x +5=10x +2$
C.$3×20 +x +5=20x$
D.$3(20 +x)+5=10x +2$
答案
4. D 【易错分析】若混淆用字母表示具体的数与用字母表示数位,就会选择错误答案A.若不能正确表示含字母的数位运算顺序,就会选择错误答案B.
解析
【分析】
解题时首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。题目中两个方框内数字均为x，第一步先分别表示等式左右两边的两位数：左边的“2”是十位为2、个位为x的两位数，应表示为20+x；右边的“2”是十位为x、个位为2的两位数，应表示为10x+2。第二步根据等式的运算逻辑：3乘左边的两位数再加5等于右边的两位数，列方程时注意要给20+x加括号，保证运算顺序正确，同时避开将数位直接写成数字相乘的误区。
【解析】
设“”内的数字为x。
1. 表示左边的两位数“2”：十位数字是2，个位数字是x，因此该数为20+x；
2. 表示右边的两位数“2”：十位数字是x，个位数字是2，因此该数为10x+2；
3. 根据等式“3×2+5=2”，代入上述表示的数，可得方程：$3(20+x)+5=10x+2$，对应选项D。
错误选项辨析：A错误将“2”当作2x、“2”当作2x，混淆了数位含义和乘法运算；B未给20+x加括号，运算逻辑错误，不符合3乘整个两位数的要求；C右边两位数表示错误，左边运算逻辑也错误。
【答案】
D
【知识点】
用字母表示数位，列一元一次方程
【点评】
本题属于易错题，解题关键是掌握多位数的表示方法，不能直接将不同数位上的数字相乘，同时列方程时要注意运算顺序，合理添加括号，避免因概念混淆或运算顺序错误选错答案。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。题目中两个方框内数字均为x，第一步先分别表示等式左右两边的两位数：左边的“2”是十位为2、个位为x的两位数，应表示为20+x；右边的“2”是十位为x、个位为2的两位数，应表示为10x+2。第二步根据等式的运算逻辑：3乘左边的两位数再加5等于右边的两位数，列方程时注意要给20+x加括号，保证运算顺序正确，同时避开将数位直接写成数字相乘的误区。
【解析】
设“”内的数字为x。
1. 表示左边的两位数“2”：十位数字是2，个位数字是x，因此该数为20+x；
2. 表示右边的两位数“2”：十位数字是x，个位数字是2，因此该数为10x+2；
3. 根据等式“3×2+5=2”，代入上述表示的数，可得方程：$3(20+x)+5=10x+2$，对应选项D。
错误选项辨析：A错误将“2”当作2x、“2”当作2x，混淆了数位含义和乘法运算；B未给20+x加括号，运算逻辑错误，不符合3乘整个两位数的要求；C右边两位数表示错误，左边运算逻辑也错误。
【答案】
D
【知识点】
用字母表示数位，列一元一次方程
【点评】
本题属于易错题，解题关键是掌握多位数的表示方法，不能直接将不同数位上的数字相乘，同时列方程时要注意运算顺序，合理添加括号，避免因概念混淆或运算顺序错误选错答案。
【难度系数】
0.6
5 儿子今年12岁，父亲今年39岁.若x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍,则x的值为
（
A.5
B.9
C.12
D.15
（
D
）A.5
B.9
C.12
D.15
答案
5.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确年龄问题的核心规律：经过x年后，儿子和父亲的年龄均会增加x岁。我们先分别表示出x年后儿子和父亲的年龄，再根据“x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍”这一条件找到等量关系，列出一元一次方程，最后解方程求出x的值即可。
【解析】
解：x年后儿子的年龄为$\boldsymbol{(12+x)}$岁，父亲的年龄为$\boldsymbol{(39+x)}$岁。
根据题意可列方程：
$39 + x = 2(12 + x)$
展开括号得：$39 + x = 24 + 2x$
移项得：$x - 2x = 24 - 39$
合并同类项得：$-x = -15$
系数化为1得：$x = 15$
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的应用；年龄问题求解
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住年龄同步增长的规律，准确找到等量关系列方程，计算难度较低，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确年龄问题的核心规律：经过x年后，儿子和父亲的年龄均会增加x岁。我们先分别表示出x年后儿子和父亲的年龄，再根据“x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍”这一条件找到等量关系，列出一元一次方程，最后解方程求出x的值即可。
【解析】
解：x年后儿子的年龄为$\boldsymbol{(12+x)}$岁，父亲的年龄为$\boldsymbol{(39+x)}$岁。
根据题意可列方程：
$39 + x = 2(12 + x)$
展开括号得：$39 + x = 24 + 2x$
移项得：$x - 2x = 24 - 39$
合并同类项得：$-x = -15$
系数化为1得：$x = 15$
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的应用；年龄问题求解
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住年龄同步增长的规律，准确找到等量关系列方程，计算难度较低，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6 [2026温州瑞安期中改编]在一个$3× 3$的方格中填写了9个不同的数，且使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上的三个数之和（该和叫作“幻和”）均相等，则称这个$3× 3$的方格为“幻方”.
（1）如图①所示为一个“幻方”，则$a=$
（2）如图②所示为一个新的“幻方”，请根据图中给出的数据，推测并补全这个“幻方”.
（1）如图①所示为一个“幻方”，则$a=$
1
，$b=$-1
，$c=$5
；（2）如图②所示为一个新的“幻方”，请根据图中给出的数据，推测并补全这个“幻方”.
答案
6.（1）1 -1 5 解析:因为有一条斜对角线上的三个数之和为4+3+2=9,所以6+a+2=9,解得a=1;b+3+7=9,解得b=-1;4+c+0=9,解得c=5.
（2）设左下角方格内的数为x,则x+(-1)=2+(-3),解得x=0.因此,横行、竖列及斜对角线上的三个数之和为2+1+0=3.由此可一一推出“幻方”内的其他数据.补全的“幻方”如图所示
解析
【分析】
（1）幻方的核心特点是每行、每列、两条对角线的三个数之和（幻和）相等，解决本题首先找全为已知数的线计算出幻和，再根据幻和分别列方程求解a、b、c即可。
（2）补全幻方需要先找突破口，先设左下角的数为x，利用幻和相等的关系列方程求出x，再计算出幻和，最后根据幻和依次推导其余位置的数即可。
【解析】
（1）观察图①的斜对角线，三个已知数为2、3、4，因此幻和为$2+3+4=9$。
根据第一行和为幻和，列方程：$6+a+2=9$，解得$a=1$；
根据第二行和为幻和，列方程：$b+3+7=9$，解得$b=-1$；
根据第三行和为幻和，列方程：$4+c+0=9$，解得$c=5$。
（2）设图②左下角方格内的数为x，根据幻和相等的性质可得$x+(-1)=2+(-3)$，解得$x=0$。
此时可得幻和为$2+1+0=3$，根据幻和依次计算其余未知量：
第一行第一个数：$3-3-2=-2$；
第二行第一个数：$3-1-(-3)=5$；
第三行第三个数：$3-0-(-1)=4$，即可补全幻方。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{5}$
（2）补全的幻方如图所示：
【知识点】
幻方的性质，一元一次方程的应用，有理数加减运算
【点评】
本题考查幻方性质的应用，解题关键是先确定幻和，再利用幻和推导未知量，既考查了方程的应用能力，也锻炼了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）幻方的核心特点是每行、每列、两条对角线的三个数之和（幻和）相等，解决本题首先找全为已知数的线计算出幻和，再根据幻和分别列方程求解a、b、c即可。
（2）补全幻方需要先找突破口，先设左下角的数为x，利用幻和相等的关系列方程求出x，再计算出幻和，最后根据幻和依次推导其余位置的数即可。
【解析】
（1）观察图①的斜对角线，三个已知数为2、3、4，因此幻和为$2+3+4=9$。
根据第一行和为幻和，列方程：$6+a+2=9$，解得$a=1$；
根据第二行和为幻和，列方程：$b+3+7=9$，解得$b=-1$；
根据第三行和为幻和，列方程：$4+c+0=9$，解得$c=5$。
（2）设图②左下角方格内的数为x，根据幻和相等的性质可得$x+(-1)=2+(-3)$，解得$x=0$。
此时可得幻和为$2+1+0=3$，根据幻和依次计算其余未知量：
第一行第一个数：$3-3-2=-2$；
第二行第一个数：$3-1-(-3)=5$；
第三行第三个数：$3-0-(-1)=4$，即可补全幻方。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{5}$
（2）补全的幻方如图所示：
【知识点】
幻方的性质，一元一次方程的应用，有理数加减运算
【点评】
本题考查幻方性质的应用，解题关键是先确定幻和，再利用幻和推导未知量，既考查了方程的应用能力，也锻炼了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
