例1 已知一个三角形的第一条边长为$2a+3b$，第二条边比第一条边长$a-2b$，第三条边比第二条边短$2a$.
（1）则第二条边的边长为________，第三条边的边长为________；
（2）用含$a$，$b$的式子表示这个三角形的周长，并化简；
（3）若$a$，$b$满足$|a-4|+(b-3)^2=0$，求出这个三角形的周长.

解：
(1) 第二条边的边长为：
$(2a+3b)+(a-2b)=3a+b$
第三条边的边长为：
$(3a+b)-2a=a+b$
故答案为：$\boldsymbol{3a+b}$；$\boldsymbol{a+b}$。
(2) 三角形的周长为三条边长的和：
$\begin{aligned}&(2a+3b)+(3a+b)+(a+b)\\=&2a+3b+3a+b+a+b\\=&6a+5b\end{aligned}$
即该三角形的周长为$6a+5b$。
(3) $\because |a-4|≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$|a-4|+(b-3)^2=0$，
$\therefore a-4=0$，$b-3=0$，
解得$a=4$，$b=3$。
将$a=4$，$b=3$代入$6a+5b$，得：
$6×4 + 5×3=39$
$\therefore$ 这个三角形的周长为39。

例2 已知$x - y = 3$，求代数式$2(x - y)^2 + 6(x - y) - 5(y - x)^2 + 6(y - x)$的值。

解：
因为$y-x=-(x-y)$，所以$(y-x)^2=(x-y)^2$，
对代数式化简：
$\begin{aligned}&2(x-y)^2 + 6(x-y) - 5(y-x)^2 + 6(y-x)\\=&2(x-y)^2 + 6(x-y) -5(x-y)^2 -6(x-y)\\=&(2-5)(x-y)^2 + (6-6)(x-y)\\=&-3(x-y)^2\end{aligned}$
将$x-y=3$代入得：
原式$=-3× 3^2=-3×9=-27$

例3 如果整式A与整式B的和为有理数a，我们称A，B为数a的“关联整式”。例如$3ab+2$，$-3ab+4$为数6的“关联整式”。
（1）$5-2m+n$，$2m-n-3$为数的“关联整式”；
（2）若关于x的整式$x^2+kx-3$，$-x^2+2x+k-1$为数a的“关联整式”，求有理数a的值。

解：
(1)
$\begin{aligned}&(5-2m+n)+(2m-n-3)\\=&5-2m+n+2m-n-3\\=&2\end{aligned}$
故答案为$\boldsymbol{2}$。
(2) 由题意，将两个整式相加得：
$\begin{aligned}&(x^2+kx-3)+(-x^2+2x+k-1)\\=&x^2 - x^2 + kx + 2x - 3 + k - 1\\=&(k+2)x + k - 4\end{aligned}$
因为a是有理数，即运算结果不含字母x，因此x的一次项系数为0：
$k+2=0$
解得 $k=-2$。
将$k=-2$代入$k-4$，得：
$a=-2-4=-6$
答：有理数a的值为-6。

1. 当$x=-2$时,下列各式的值为7的是 （）

A.$x^2 + x - 3 - 2x^2 - x$
B.$3x^2 - x + 2 - x^2 + 2x$
C.$x^2 - 2x - x^2 + 3x - 1$
D.$-2x^2 - x + 3x^2 + 1$

D

先分别化简各选项的代数式，再将$x=-2$代入求值：
1. 化简A选项：$x^2 + x - 3 - 2x^2 - x = -x^2 - 3$，代入$x=-2$得：$-(-2)^2 -3 = -4-3=-7$，不符合要求；
2. 化简B选项：$3x^2 - x + 2 - x^2 + 2x = 2x^2 + x + 2$，代入$x=-2$得：$2×(-2)^2 + (-2) + 2 = 8-2+2=8$，不符合要求；
3. 化简C选项：$x^2 - 2x - x^2 + 3x - 1 = x - 1$，代入$x=-2$得：$-2 -1=-3$，不符合要求；
4. 化简D选项：$-2x^2 - x + 3x^2 + 1 = x^2 - x + 1$，代入$x=-2$得：$(-2)^2 - (-2) +1 =4+2+1=7$，符合要求。