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19. 已知二次函数$y=-x^2+4x-3$的图象与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于C点,D为顶点.
(1)画出函数的图象(不需要列表,但要在图中标出A,B,C,D).
(2)当
(3)当$0＜x＜5$时,直接写出函数值y的取值范围:
(4)在抛物线的对称轴上有一点P,使$PA+PC$的值最小,则点P的坐标为
(1)画出函数的图象(不需要列表,但要在图中标出A,B,C,D).
(2)当
$x＜2$
时,y随x的增大而增大.(3)当$0＜x＜5$时,直接写出函数值y的取值范围:
$-8＜y≤1$
.(4)在抛物线的对称轴上有一点P,使$PA+PC$的值最小,则点P的坐标为
$(2,-1)$
.答案
19.解:(1)当$y=0$时,$-x^2+4x-3=0$,解得$x_1=1$,$x_2=3$,即$A(1,0)$,$B(3,0)$.
当$x=0$时,$y=-3$,即$C(0,-3)$,
$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,$\therefore$ 顶点$D$的坐标为$(2,1)$.
画出函数图象,如图所示.
(2)由图象可知,当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大.
答案:$x＜2$
(3)二次函数$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
当$x=2$时,函数有最大值,此时$y=1$,
当$x=0$时,$y=-3$,当$x=5$时,$y=-8$,
$\therefore$ 当$0＜x＜5$时,函数值$y$的取值范围为$-8＜y≤1$.
答案:$-8＜y≤1$
(4)二次函数$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
则抛物线的对称轴为直线$x=2$,点$A$与点$B$关于直线$x=2$对称,
$\therefore PA=PB$,则$PA+PC=PC+PB$.
由两点之间线段最短可知,连接$BC$交直线$x=2$于点$P$(如图),此时$PB+PC$最小,即$PA+PC$最小.
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$,将$B(3,0)$,$C(0,-3)$的坐标分别代入,
得$\begin{cases}3k+b=0,\\b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC$的解析式为$y=x-3$.
当$x=2$时,$y=-1$,此时点$P$的坐标为$(2,-1)$.
答案:$(2,-1)$
20. 如图, 抛物线 $y=-x^2+bx+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$, $B(3,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1) 求抛物线的表达式.
(2) 如图1, 点 $Q$ 是 $x$ 轴上方抛物线上一点, 射线 $QM ⊥ x$ 轴于点 $N$, 若 $QM = BM$, 且 $\tan∠ MBN=\frac{4}{3}$, 请直接写出点 $Q$ 的坐标.
(3) 如图2, 点 $E$ 是第一象限内一点, 连接 $AE$ 交 $y$ 轴于点 $D$, $AE$ 的延长线交抛物线于点 $P$, 点 $F$ 在线段 $CD$ 上, 且 $CF = OD$, 连接 $FA, FE, BE, BP$, 若 $S_{△ AFE}=S_{△ ABE}$, 求 $△ PAB$ 的面积.
(1) 求抛物线的表达式.
(2) 如图1, 点 $Q$ 是 $x$ 轴上方抛物线上一点, 射线 $QM ⊥ x$ 轴于点 $N$, 若 $QM = BM$, 且 $\tan∠ MBN=\frac{4}{3}$, 请直接写出点 $Q$ 的坐标.
(3) 如图2, 点 $E$ 是第一象限内一点, 连接 $AE$ 交 $y$ 轴于点 $D$, $AE$ 的延长线交抛物线于点 $P$, 点 $F$ 在线段 $CD$ 上, 且 $CF = OD$, 连接 $FA, FE, BE, BP$, 若 $S_{△ AFE}=S_{△ ABE}$, 求 $△ PAB$ 的面积.
答案
20.解:(1)将$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+3$,得$-9+3b+3=0$,解得$b=2$,
故抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)点$Q$的坐标为$(2,3)$.[提示]:$\because \tan∠ MBN=\frac{4}{3}$,
故设$MN=4m$,$NB=3m$,则$BM=5m$,
则点$N$,$M$的坐标分别为$(3-3m,0)$,$(3-3m,4m)$,
当$x=3-3m$时,$y=-x^2+2x+3=-9m^2+12m$,
则点$Q(3-3m,-9m^2+12m)$.
$\because QM=BM$,
即$-9m^2+12m-4m=5m$,
解得$m=0$(舍去)或$m=\frac{1}{3}$,
则点$Q$的坐标为$(2,3)$.
(3)令$y=-x^2+2x+3=0$,得$x=-1$或$x=3$,
$\therefore A(-1,0)$.
令$x=0$得$y=3$,$\therefore C(0,3)$.
设点$P(m,-m^2+2m+3)$,
由点$A$,$P$的坐标得,
直线$AP$的表达式为$y=-(m-3)(x+1)$,
则点$D(0,3-m)$,
则$OD=CF=3-m$,
则$DF=3-OD-CF=2m-3$.
设点$E$的坐标为$(t,(3-m)(t+1))$,$t＞0$,
$\because S_{△ AFE}=S_{△ ABE}$,
即$\frac{1}{2}× DF×(x_E-x_A)=\frac{1}{2}× AB× y_E$,
即$(2m-3)(t+1)=4×(3-m)(t+1)$,
解得$m=\frac{5}{2}$,
即点$P$的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{7}{4})$,
$\therefore S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× y_P=\frac{1}{2}×4×\frac{7}{4}=\frac{7}{2}$.
故抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)点$Q$的坐标为$(2,3)$.[提示]:$\because \tan∠ MBN=\frac{4}{3}$,
故设$MN=4m$,$NB=3m$,则$BM=5m$,
则点$N$,$M$的坐标分别为$(3-3m,0)$,$(3-3m,4m)$,
当$x=3-3m$时,$y=-x^2+2x+3=-9m^2+12m$,
则点$Q(3-3m,-9m^2+12m)$.
$\because QM=BM$,
即$-9m^2+12m-4m=5m$,
解得$m=0$(舍去)或$m=\frac{1}{3}$,
则点$Q$的坐标为$(2,3)$.
(3)令$y=-x^2+2x+3=0$,得$x=-1$或$x=3$,
$\therefore A(-1,0)$.
令$x=0$得$y=3$,$\therefore C(0,3)$.
设点$P(m,-m^2+2m+3)$,
由点$A$,$P$的坐标得,
直线$AP$的表达式为$y=-(m-3)(x+1)$,
则点$D(0,3-m)$,
则$OD=CF=3-m$,
则$DF=3-OD-CF=2m-3$.
设点$E$的坐标为$(t,(3-m)(t+1))$,$t＞0$,
$\because S_{△ AFE}=S_{△ ABE}$,
即$\frac{1}{2}× DF×(x_E-x_A)=\frac{1}{2}× AB× y_E$,
即$(2m-3)(t+1)=4×(3-m)(t+1)$,
解得$m=\frac{5}{2}$,
即点$P$的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{7}{4})$,
$\therefore S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× y_P=\frac{1}{2}×4×\frac{7}{4}=\frac{7}{2}$.
