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11. 已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +1$.
(1)若把它的图象向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度，求所得图象的函数表达式.
(2)若把它的图象绕它的顶点旋转$180°$，求所得图象的函数表达式.
(3)若把它绕$x$轴翻折，求所得图象的表达式.
(1)若把它的图象向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度，求所得图象的函数表达式.
(2)若把它的图象绕它的顶点旋转$180°$，求所得图象的函数表达式.
(3)若把它绕$x$轴翻折，求所得图象的表达式.
答案
11.解:(1)$\because y=\frac{1}{2}x^2-3x+1=\frac{1}{2}(x^2-6x)+1=\frac{1}{2}(x-3)^2-\frac{7}{2}$,
$\therefore$ 把它的图象向右平移1个单位长度,向下平移3个单位长度得到的函数的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-3-1)^2-\frac{7}{2}-3$,即$y=\frac{1}{2}(x-4)^2-\frac{13}{2}=\frac{1}{2}x^2-4x+\frac{3}{2}$.
(2)$\because$ 图象绕它的顶点旋转$180°$后,其对称轴与顶点坐标均不变,只是图象开口向下,
$\therefore$ 所得图象的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^2+3x-8$.
(3)$\because y=\frac{1}{2}x^2-3x+1=\frac{1}{2}(x-3)^2-\frac{7}{2}$的图象绕x轴翻折,
$\therefore$ 顶点坐标为$(3,\frac{7}{2})$.
$\because$ 图象翻折后开口向下,
$\therefore$ 所求表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^2+3x-1$.
$\therefore$ 把它的图象向右平移1个单位长度,向下平移3个单位长度得到的函数的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-3-1)^2-\frac{7}{2}-3$,即$y=\frac{1}{2}(x-4)^2-\frac{13}{2}=\frac{1}{2}x^2-4x+\frac{3}{2}$.
(2)$\because$ 图象绕它的顶点旋转$180°$后,其对称轴与顶点坐标均不变,只是图象开口向下,
$\therefore$ 所得图象的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^2+3x-8$.
(3)$\because y=\frac{1}{2}x^2-3x+1=\frac{1}{2}(x-3)^2-\frac{7}{2}$的图象绕x轴翻折,
$\therefore$ 顶点坐标为$(3,\frac{7}{2})$.
$\because$ 图象翻折后开口向下,
$\therefore$ 所求表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^2+3x-1$.
12. 如图所示，直线$l$为二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（
A.$b$恒大于0
B.$a,b$同号
C.$a,b$异号
D.以上说法都不对
C
）A.$b$恒大于0
B.$a,b$同号
C.$a,b$异号
D.以上说法都不对
答案
12.C
13.（滨州邹平市月考）如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于点$A(-2,0),B(6,0)$，与y轴交于点C，小红同学得出了以下结论：①$4a+b=0$；②当$y＞0$时，$-2＜x＜6$；③$(a+c)^2 ＜ b^2$；④$3a+c＞0$。其中正确的个数为（
A.4
B.3
C.2
D.1
D
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
13.D
14.（娄底中考）已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，给出下列结论：
①$abc＜0$；
②$4a-2b+c＞0$；
③$a-b＞m(am+b)$（$m$为任意实数）；
④若点$(-3,y_1)$和点$(3,y_2)$在该图象上，则$y_1＞y_2$。
其中正确的结论是（
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
①$abc＜0$；
②$4a-2b+c＞0$；
③$a-b＞m(am+b)$（$m$为任意实数）；
④若点$(-3,y_1)$和点$(3,y_2)$在该图象上，则$y_1＞y_2$。
其中正确的结论是（
D
）A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
答案
14.D
15. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y = bx - a$($a,b$为常数,且$a≠0$)的图象与二次函数$y = ax^2 - bx$的图象可能是 (
A
B
C
D
C
)A
B
C
D
答案
15.C
16. 抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）如图所示，对称轴为直线$x=-2$。下列说法：①$abc ＞ 0$；②$4a-2b ≤ t(at+b)$（$t$为全体实数）；③$c ＞ 3a$；④若$A(m,y_1)$和$B(m+1,y_2)$为图象上两点，且$y_1 ＜ y_2$，则$m ＜ -\dfrac{5}{2}$。其中正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
16.B 解析:①$\because$ 二次函数的图象开口向下,
$\therefore a＜0$.
$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-2$,
$\therefore -\frac{b}{2a}=-2,\therefore b=4a$,
$\therefore a,b$同号,$\therefore b＜0$.
根据图象,可得当$x=-4$时,$y＜0$.
$\because$ 对称轴为直线$x=-2$,
$\therefore$ 当$x=0$时,$y＜0$,
$\therefore c＜0,\therefore abc＜0$,故①错误.
②当$x=-2$时,$y_{\mathrm{max}}=4a-2b+c$,
当$x=t$时,$y=at^2+bt+c$,
$\therefore 4a-2b+c≥ at^2+bt+c$,
$\therefore 4a-2b≥ at^2+bt$,即$4a-2b≥ t(at+b)$,故②错误.
③$\because b=4a,\therefore y=ax^2+4ax+c$,
根据图象,可得当$x=-1$时,$y＞0$,
$\therefore a(-1)^2+4a(-1)+c＞0$,
$\therefore c-3a＞0$,即$c＞3a$,故③正确.
④根据图象可知,抛物线上的点到直线$x=-2$的距离越近,函数值越大.
$\because A(m,y_1)$和$B(m+1,y_2)$为图象上两点,且$y_1＜y_2$,
$\therefore |m-(-2)|＞|m+1-(-2)|$,
即$|m+2|＞|m+3|$,解得$m＜-\frac{5}{2}$,故④正确.
综上所述,正确的有③④,共2个.
故选B.
$\therefore a＜0$.
$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-2$,
$\therefore -\frac{b}{2a}=-2,\therefore b=4a$,
$\therefore a,b$同号,$\therefore b＜0$.
根据图象,可得当$x=-4$时,$y＜0$.
$\because$ 对称轴为直线$x=-2$,
$\therefore$ 当$x=0$时,$y＜0$,
$\therefore c＜0,\therefore abc＜0$,故①错误.
②当$x=-2$时,$y_{\mathrm{max}}=4a-2b+c$,
当$x=t$时,$y=at^2+bt+c$,
$\therefore 4a-2b+c≥ at^2+bt+c$,
$\therefore 4a-2b≥ at^2+bt$,即$4a-2b≥ t(at+b)$,故②错误.
③$\because b=4a,\therefore y=ax^2+4ax+c$,
根据图象,可得当$x=-1$时,$y＞0$,
$\therefore a(-1)^2+4a(-1)+c＞0$,
$\therefore c-3a＞0$,即$c＞3a$,故③正确.
④根据图象可知,抛物线上的点到直线$x=-2$的距离越近,函数值越大.
$\because A(m,y_1)$和$B(m+1,y_2)$为图象上两点,且$y_1＜y_2$,
$\therefore |m-(-2)|＞|m+1-(-2)|$,
即$|m+2|＞|m+3|$,解得$m＜-\frac{5}{2}$,故④正确.
综上所述,正确的有③④,共2个.
故选B.
17. (泰安高新区阶段检测)已知二次函数$y=x^2 - x - 1$，其中$m ＜ x ＜ m + 2$（$m$为常数）。
(1)当$m=0$时，$y$的取值范围是
(2)若$y ＜ 5$恒成立，则$m$的取值范围是
(1)当$m=0$时，$y$的取值范围是
$-\dfrac{5}{4}≤y＜1$
。(2)若$y ＜ 5$恒成立，则$m$的取值范围是
$-2≤m≤1$
。答案
17.(1)$-\frac{5}{4}≤y＜1$ (2)$-2≤m≤1$
解析:(1)当$m=0$时,$0＜x＜2$.
$\because$ 函数$y=x^2-x-1=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$,$a=1＞0$,
$\therefore$ 抛物线开口向上,
$\therefore$ 当$x=\frac{1}{2}$时,$y$有最小值$-\frac{5}{4}$.
$\because$ 当$x=0$时,$y=0-0-1=-1$;当$x=2$时,$y=4-2-1=1$,
$\therefore$ 当$x=2$时,$y$有最大值1,
$\therefore y$的取值范围为$-\frac{5}{4}≤y＜1$.
(2)令$y=5$,得$x^2-x-1=5$,$\therefore x_1=-2$,$x_2=3$.
如图,结合函数图象知,$y＜5$时,$-2＜x＜3$.
$\because$ 当$m＜x＜m+2$时,$y＜5$恒成立,
$\therefore m≥-2$且$m+2≤3$,
$\therefore -2≤m≤1$.
18.如图,点$P(a,4)$在抛物线$C:y=5-(7-x)^2$上,且在抛物线$C$的对称轴右侧.
(1)请直接写出抛物线$C$的对称轴:________,并写出$a$的值:________.
(2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片,并在胶片上描画出点$P$及抛物线$C$的一段,分别记为点$P'$,抛物线$C'$.平移该胶片,使$C'$所在抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+8x-16$.求点$P'$移动的最短距离,并直接写出点$P'$的坐标.
(1)请直接写出抛物线$C$的对称轴:________,并写出$a$的值:________.
(2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片,并在胶片上描画出点$P$及抛物线$C$的一段,分别记为点$P'$,抛物线$C'$.平移该胶片,使$C'$所在抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+8x-16$.求点$P'$移动的最短距离,并直接写出点$P'$的坐标.
答案
18.解:(1)原解析式$y=5-(7-x)^2$变形为顶点式,得$y=-(x-7)^2+5$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(7,5)$,对称轴为直线$x=7$,最大值为5.
把$y=4$代入,得$4=-(x-7)^2+5$,
解得$x_1=8$,$x_2=6$(舍去).
$\therefore a=8$.
答案:$x=7$ 8
(2)$y=-x^2+8x-16$变形为顶点式,
得$y=-(x-4)^2$,$\therefore$ 顶点坐标为$(4,0)$.
根据平移规律,可知抛物线向左平移了3个单位长度,向下平移了5个单位长度.
$\because$ 点$P$的坐标为$(8,4)$,
$\therefore$ 点$P'$的坐标为$(8-3,4-5)$,即$(5,-1)$,
$\therefore PP'=\sqrt{(8-5)^2+(4+1)^2}=\sqrt{34}$,
$\therefore$ 点$P'$移动的最短距离为$\sqrt{34}$.
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(7,5)$,对称轴为直线$x=7$,最大值为5.
把$y=4$代入,得$4=-(x-7)^2+5$,
解得$x_1=8$,$x_2=6$(舍去).
$\therefore a=8$.
答案:$x=7$ 8
(2)$y=-x^2+8x-16$变形为顶点式,
得$y=-(x-4)^2$,$\therefore$ 顶点坐标为$(4,0)$.
根据平移规律,可知抛物线向左平移了3个单位长度,向下平移了5个单位长度.
$\because$ 点$P$的坐标为$(8,4)$,
$\therefore$ 点$P'$的坐标为$(8-3,4-5)$,即$(5,-1)$,
$\therefore PP'=\sqrt{(8-5)^2+(4+1)^2}=\sqrt{34}$,
$\therefore$ 点$P'$移动的最短距离为$\sqrt{34}$.
