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一、选择题
1. 已知点$(2,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象上，则这个反比例函数的图象大致是().
1. 已知点$(2,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象上，则这个反比例函数的图象大致是().
答案
C
解析
【分析】
要判断反比例函数的图象，首先需要确定系数$k$的正负。已知点在函数图象上，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点$(2,2)$代入解析式即可求出$k$的值；再结合反比例函数的图象性质：$k＞0$时图象是位于第一、三象限的双曲线，$k＜0$时图象是位于第二、四象限的双曲线，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
解：$\because$点$(2,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$将$x=2$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{2}$，
解得$k=2×2=4$，
$\because k=4＞0$，
$\therefore$该反比例函数的图象是双曲线，且位于第一、三象限。
观察选项：A、B为直线，属于正比例函数图象，不符合反比例函数图象特征，排除；D选项的双曲线位于第二、四象限，不符合$k＞0$的特征，排除；只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数系数
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的相关性质，解题关键是先通过图象上的点求出$k$的取值，再结合反比例函数的图象特征排除错误选项即可。
【难度系数】
0.8
要判断反比例函数的图象，首先需要确定系数$k$的正负。已知点在函数图象上，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点$(2,2)$代入解析式即可求出$k$的值；再结合反比例函数的图象性质：$k＞0$时图象是位于第一、三象限的双曲线，$k＜0$时图象是位于第二、四象限的双曲线，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
解：$\because$点$(2,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$将$x=2$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{2}$，
解得$k=2×2=4$，
$\because k=4＞0$，
$\therefore$该反比例函数的图象是双曲线，且位于第一、三象限。
观察选项：A、B为直线，属于正比例函数图象，不符合反比例函数图象特征，排除；D选项的双曲线位于第二、四象限，不符合$k＞0$的特征，排除；只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数系数
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的相关性质，解题关键是先通过图象上的点求出$k$的取值，再结合反比例函数的图象特征排除错误选项即可。
【难度系数】
0.8
2. 若双曲线$y=\frac{2k-1}{x}$的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是().
A.$k＞\frac{1}{2}$
B.$k＜\frac{1}{2}$
C.$k=\frac{1}{2}$
D.$k＜0$
A.$k＞\frac{1}{2}$
B.$k＜\frac{1}{2}$
C.$k=\frac{1}{2}$
D.$k＜0$
答案
B
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象性质，解题思路如下：第一步先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$）中，系数$a$的正负直接决定图象所在象限，当$a＞0$时图象在第一、三象限，当$a＜0$时图象在第二、四象限；第二步找到本题反比例函数的比例系数为$2k-1$，结合图象过第二、四象限的条件列出关于$k$的不等式；第三步解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的图象性质：
对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$），当$a＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
已知双曲线$y=\frac{2k-1}{x}$经过第二、四象限，因此其比例系数满足：
$2k-1＜0$
解不等式：
移项得$2k＜1$
两边同时除以2得$k＜\frac{1}{2}$
因此符合条件的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用题，只要熟记反比例函数比例系数符号与图象所在象限的对应规律，就能快速求解，得分难度低。
【难度系数】
0.85
本题考查反比例函数的图象性质，解题思路如下：第一步先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$）中，系数$a$的正负直接决定图象所在象限，当$a＞0$时图象在第一、三象限，当$a＜0$时图象在第二、四象限；第二步找到本题反比例函数的比例系数为$2k-1$，结合图象过第二、四象限的条件列出关于$k$的不等式；第三步解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的图象性质：
对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$），当$a＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
已知双曲线$y=\frac{2k-1}{x}$经过第二、四象限，因此其比例系数满足：
$2k-1＜0$
解不等式：
移项得$2k＜1$
两边同时除以2得$k＜\frac{1}{2}$
因此符合条件的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用题，只要熟记反比例函数比例系数符号与图象所在象限的对应规律，就能快速求解，得分难度低。
【难度系数】
0.85
3. 一台机器每年可生产的产品数量$y$与它的使用时间$x$成反比例关系，当$x=2$时，$y=20$. 则$y$与$x$之间的函数图象大致是( 
).
).答案
$\boldsymbol{C}$
解析
【分析】
首先根据题目中y与x成反比例关系，可确定函数类型为反比例函数，先排除不符合反比例函数图象特征的选项；再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，结合解析式验证特殊点的坐标，即可选出正确图象。解题步骤：1. 由反比例函数的图象性质，排除非反比例函数及增减性不符的选项；2. 代入已知x、y的值求出比例系数k，得到函数解析式；3. 验证特殊点坐标，匹配正确图象。
【解析】
解：
∵y与x成反比例关系，且x为使用时间、y为产量，均为正数，
∴设函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x＞0 $），图象为第一象限内递减的曲线，因此可排除直线型的选项A、递增的选项B。
将$ x=2, y=20 $代入解析式得：$ 20 = \frac{k}{2} $，解得$ k=2 × 20 = 40 $，
∴函数解析式为$ y = \frac{40}{x} (x＞0) $。
当$ x=1 $时，$ y = \frac{40}{1} = 40 $，即图象过点$ (1,40) $，符合选项C的特征；选项D中图象过点$ (2,40) $，与解析式不符，排除。
综上，选C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，先通过函数类型初步筛选选项，再通过特殊点验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中y与x成反比例关系，可确定函数类型为反比例函数，先排除不符合反比例函数图象特征的选项；再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，结合解析式验证特殊点的坐标，即可选出正确图象。解题步骤：1. 由反比例函数的图象性质，排除非反比例函数及增减性不符的选项；2. 代入已知x、y的值求出比例系数k，得到函数解析式；3. 验证特殊点坐标，匹配正确图象。
【解析】
解：
∵y与x成反比例关系，且x为使用时间、y为产量，均为正数，
∴设函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x＞0 $），图象为第一象限内递减的曲线，因此可排除直线型的选项A、递增的选项B。
将$ x=2, y=20 $代入解析式得：$ 20 = \frac{k}{2} $，解得$ k=2 × 20 = 40 $，
∴函数解析式为$ y = \frac{40}{x} (x＞0) $。
当$ x=1 $时，$ y = \frac{40}{1} = 40 $，即图象过点$ (1,40) $，符合选项C的特征；选项D中图象过点$ (2,40) $，与解析式不符，排除。
综上，选C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，先通过函数类型初步筛选选项，再通过特殊点验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 若点(2，m)在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，则m的值为。
答案
$\boldsymbol{-4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确核心性质：如果一个点在某函数的图象上，那么该点的横、纵坐标一定满足这个函数的解析式。本题已知点$(2,m)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，因此只需把点的横坐标$x=2$代入反比例函数解析式，就能计算出纵坐标$m$的值。
【解析】
∵点$(2,m)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，
∴将$x=2$，$y=m$代入函数解析式可得：
$m=-\dfrac{8}{2}=-4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 函数图象与解析式的关系
【点评】
本题是基础题型，主要考查点在函数图象上的性质，只要掌握“点在函数图象上则坐标满足对应函数解析式”这一规律，直接代入计算即可得到结果，计算难度很低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确核心性质：如果一个点在某函数的图象上，那么该点的横、纵坐标一定满足这个函数的解析式。本题已知点$(2,m)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，因此只需把点的横坐标$x=2$代入反比例函数解析式，就能计算出纵坐标$m$的值。
【解析】
∵点$(2,m)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，
∴将$x=2$，$y=m$代入函数解析式可得：
$m=-\dfrac{8}{2}=-4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 函数图象与解析式的关系
【点评】
本题是基础题型，主要考查点在函数图象上的性质，只要掌握“点在函数图象上则坐标满足对应函数解析式”这一规律，直接代入计算即可得到结果，计算难度很低。
【难度系数】
0.9
5. 已知反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$，当$1＜ x＜ 3$时，$y$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{2＜y＜6}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$k=6＞0$，且$1＜x＜3$的取值都在第一象限，因此$y$随$x$的增大而减小。接下来只需计算区间端点$x=1$、$x=3$对应的$y$值，再结合增减性和$x$取不到端点的条件，即可推出$y$的取值范围。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$中，$k=6＞0$，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$1＜x＜3$，此时$x$均为正数，对应第一象限的函数分支，
∴当$x=1$时，$y=\dfrac{6}{1}=6$；当$x=3$时，$y=\dfrac{6}{3}=2$。
又
∵$x$取不到1和3，
∴$y$的取值范围是$2＜y＜6$。
【答案】
$2＜y＜6$
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数值计算
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题核心是先根据$k$的正负判断函数增减性，再结合自变量的取值范围推导对应函数值的范围，注意要判断自变量所在的象限，同时明确端点是否可取。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$k=6＞0$，且$1＜x＜3$的取值都在第一象限，因此$y$随$x$的增大而减小。接下来只需计算区间端点$x=1$、$x=3$对应的$y$值，再结合增减性和$x$取不到端点的条件，即可推出$y$的取值范围。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$中，$k=6＞0$，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$1＜x＜3$，此时$x$均为正数，对应第一象限的函数分支，
∴当$x=1$时，$y=\dfrac{6}{1}=6$；当$x=3$时，$y=\dfrac{6}{3}=2$。
又
∵$x$取不到1和3，
∴$y$的取值范围是$2＜y＜6$。
【答案】
$2＜y＜6$
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数值计算
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题核心是先根据$k$的正负判断函数增减性，再结合自变量的取值范围推导对应函数值的范围，注意要判断自变量所在的象限，同时明确端点是否可取。
【难度系数】
0.8
6. 如图，反比例函数图象上一点A，过点A作$AB ⊥ x$轴于点B.若$S_{△ AOB}=3$，则反比例函数的表达式为________.(第6题)
答案
解：
设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点$A$的坐标为$(x,y)$。
$\because AB⊥ x$轴，
$\therefore OB=|x|$，$AB=|y|$。
$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OB· AB=\frac{1}{2}|xy|=3$，
$\therefore |xy|=6$。
又$\because xy=k$，由反比例函数图象位于第一象限可知$k＞0$，
$\therefore k=6$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点$A$的坐标为$(x,y)$。
$\because AB⊥ x$轴，
$\therefore OB=|x|$，$AB=|y|$。
$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OB· AB=\frac{1}{2}|xy|=3$，
$\therefore |xy|=6$。
又$\because xy=k$，由反比例函数图象位于第一象限可知$k＞0$，
$\therefore k=6$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
解析
【分析】
要确定反比例函数的表达式，核心是求出比例系数$k$的值。首先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴（或$y$轴）的垂线，该点、垂足、原点三点围成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题已知$△ AOB$的面积为3，我们可以先通过三角形面积公式建立与$k$相关的等式，再结合图象所在象限确定$k$的正负，最终求出$k$即可得到函数表达式。
【解析】
设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点$A$的坐标为$(x,y)$。
$\because AB⊥ x$轴，
$\therefore OB=|x|$，$AB=|y|$。
$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OB· AB=\frac{1}{2}|xy|=3$，
$\therefore |xy|=6$。
又$\because xy=k$，由反比例函数图象位于第一象限可知$k＞0$，
$\therefore k=6$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
$y=\frac{6}{x}$
【知识点】
1.反比例函数$k$的几何意义 2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题关键是熟练掌握反比例函数中$k$的几何意义，注意通过面积得到的是$|k|$，必须结合图象所在象限判断$k$的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要确定反比例函数的表达式，核心是求出比例系数$k$的值。首先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴（或$y$轴）的垂线，该点、垂足、原点三点围成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题已知$△ AOB$的面积为3，我们可以先通过三角形面积公式建立与$k$相关的等式，再结合图象所在象限确定$k$的正负，最终求出$k$即可得到函数表达式。
【解析】
设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点$A$的坐标为$(x,y)$。
$\because AB⊥ x$轴，
$\therefore OB=|x|$，$AB=|y|$。
$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OB· AB=\frac{1}{2}|xy|=3$，
$\therefore |xy|=6$。
又$\because xy=k$，由反比例函数图象位于第一象限可知$k＞0$，
$\therefore k=6$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
$y=\frac{6}{x}$
【知识点】
1.反比例函数$k$的几何意义 2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题关键是熟练掌握反比例函数中$k$的几何意义，注意通过面积得到的是$|k|$，必须结合图象所在象限判断$k$的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
