例1 在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图象：$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$。
列表：

描点、连线画图象：

完成上述表格，画出 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$ 的图象，并写出各自的顶点坐标。
【思路导析】先画 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$ 的图象再写出顶点坐标。
【请你解答】
知识点二 二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的性质

解：
补全表格：
将$x=-2$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得$y=-\dfrac{1}{2}×(-2)^2=-2$；
将$x=3$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得$y=-\dfrac{1}{2}×3^2=-\dfrac{9}{2}$；
将$x=-2$代入$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$，得$y=-\dfrac{1}{2}×(-2-1)^2+1=-\dfrac{7}{2}$；
将$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$，得$y=-\dfrac{1}{2}×(2-1)^2+1=\dfrac{1}{2}$。
表格空缺处从左到右依次为：$-2$，$-\dfrac{9}{2}$，$-\dfrac{7}{2}$，$\dfrac{1}{2}$。
描点连线：在平面直角坐标系中，描出点$(-2,-\dfrac{7}{2})$、$(-1,-1)$、$(0,\dfrac{1}{2})$、$(1,1)$、$(2,\dfrac{1}{2})$、$(3,-1)$、$(4,-\dfrac{7}{2})$，用平滑曲线顺次连接各点，得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$的图象。
顶点坐标：
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$的顶点坐标为$(1,1)$。

【分析】
解题时按照三步推进：第一步补全表格，只需将给定的x值分别代入对应二次函数解析式，计算得出y值即可；第二步画函数图象，采用描点法，先根据表格坐标描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点；第三步求顶点坐标，直接利用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$的规律，分别确定两个函数的顶点坐标。
【解析】
1. 补全表格：
将$x=-2$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得$y=-\dfrac{1}{2}×(-2)^2=-2$；
将$x=3$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得$y=-\dfrac{1}{2}×3^2=-\dfrac{9}{2}$；
将$x=-2$代入$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$，得$y=-\dfrac{1}{2}×(-2-1)^2+1=-\dfrac{7}{2}$；
将$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$，得$y=-\dfrac{1}{2}×(2-1)^2+1=\dfrac{1}{2}$。
因此表格空缺处从左到右依次为$-2$，$-\dfrac{9}{2}$，$-\dfrac{7}{2}$，$\dfrac{1}{2}$。
2. 描点连线画图象：
在平面直角坐标系中，描出点$(-2,-\dfrac{7}{2})$、$(-1,-1)$、$(0,\dfrac{1}{2})$、$(1,1)$、$(2,\dfrac{1}{2})$、$(3,-1)$、$(4,-\dfrac{7}{2})$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$的图象。
3. 求顶点坐标：
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$是顶点式中$h=0$、$k=0$的特殊形式，顶点坐标为$(0,0)$；
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$对应顶点式中$h=1$、$k=1$，顶点坐标为$(1,1)$。
【答案】
表格空缺处从左到右依次为$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\dfrac{9}{2}}$，$\boldsymbol{-\dfrac{7}{2}}$，$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$；$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$；$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$的顶点坐标为$\boldsymbol{(1,1)}$；图象按描点法绘制即可。
【知识点】
描点法画函数图象，二次函数顶点式性质，二次函数顶点坐标确定
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础考查题，涵盖代入求值、描点作图、顶点式规律应用三个基础技能，掌握顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质是解题关键，也为后续学习二次函数平移、增减性等知识奠定基础。
【难度系数】
0.8

例2 已知抛物线 $y=-\dfrac{1}{3}(x+1)^2 -4$。
(1)写出其顶点坐标、对称轴和开口方向；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x=时，y的最值为。
【思路导析】根据二次函数 $y=a(x-h)^2 +k$ 的性质进行解答。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 确定 $y=a(x-h)^2 +k$ 的解析式

解：
(1) 对比二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=-\dfrac{1}{3}$，$h=-1$，$k=-4$。
因此顶点坐标为$(-1,-4)$，对称轴为直线$x=-1$。
因为$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，所以抛物线开口向下。
(2) 由于抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，
因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 当$x=\underline{-1}$时，$y$的最$\underline{大}$值为$\underline{-4}$。

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题核心是掌握二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，$a$的正负决定开口方向。（1）先对比给定解析式确定$a、h、k$的取值，直接推导顶点坐标、对称轴，再由$a$的正负判断开口方向；（2）结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向下的抛物线，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小；（3）开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，对应顶点的横、纵坐标即为最值的相关取值。
【解析】
(1) 对比二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，将给定解析式变形为$y=-\dfrac{1}{3}[x-(-1)]^2 + (-4)$，可得$a=-\dfrac{1}{3}$，$h=-1$，$k=-4$。
因此顶点坐标为$(-1,-4)$，对称轴为直线$x=-1$。
因为$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，所以抛物线开口向下。
(2) 由于抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 开口向下的抛物线顶点处$y$取最大值，因此当$x=-1$时，$y$的最大值为$-4$。
【答案】
(1) 顶点坐标$(-1,-4)$，对称轴为直线$x=-1$，开口向下；
(2) 当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
(3) $-1$，大，$-4$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要明确顶点式中各参数对应的几何意义，结合开口方向就能顺利求解，是后续解决二次函数综合问题的基础。
【难度系数】
0.85

例3 已知二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象的顶点为$P(1,4)$，且过点$(2,2)$。
(1)试确定$y=a(x-h)^2+k$的解析式；
(2)求将(1)中的抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的抛物线的解析式；
(3)设(1)中的抛物线与$x$轴交于$A,B$两点，且点$A$在点$B$的右边，求$A,B$两点的坐标，并求$△ APB$的面积。
【探究点拨】(1)把$P(1,4)$和$(2,2)$代入$y=a(x-h)^2+k$可以确定解析式；(2)确定新抛物线的顶点；(3)先求点$A,B$的坐标，再求面积。
【规范解答】(1)把顶点$P(1,4)$和点$(2,2)$代入$y=a(x-h)^2+k$，得$2=a(2-1)^2+4$，解得$a=-2$。解析式为$y=-2(x-1)^2+4$。
(2)把$P(1,4)$向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得$(0,0)$，所以新抛物线的顶点为$(0,0)$，解析式为$y=-2x^2$。
(3)令$-2(x-1)^2+4=0$，
得$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$。
$\therefore A(1+\sqrt{2},0),B(1-\sqrt{2},0)$。
$\therefore S_{△ APB}=\frac{1}{2}×(1+\sqrt{2}-1+\sqrt{2})×4=4\sqrt{2}$。

解：
(1) 由二次函数图象的顶点为$P(1,4)$，得$h=1$，$k=4$，
将点$(2,2)$代入$y=a(x-1)^2+4$，得：
$2=a·(2-1)^2+4$，
解得$a=-2$，
因此该二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2+4$。
(2) 原抛物线顶点$P(1,4)$向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到新顶点坐标为$(0,0)$，
平移过程中二次项系数不变，因此新抛物线的解析式为$y=-2x^2$。
(3) 令$y=0$，即$-2(x-1)^2+4=0$，
整理得$(x-1)^2=2$，
解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，
因为点A在点B的右边，所以$A(1+\sqrt{2},0)$，$B(1-\sqrt{2},0)$。
$AB=|(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$，
$△ APB$中AB边上的高为点P到x轴的距离，等于顶点P的纵坐标4，
因此$S_{△ APB}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 4=4\sqrt{2}$。

【分析】
(1) 题中给出的是二次函数顶点式，已知顶点坐标可直接确定h和k的值，再将已知点代入含参数a的表达式，解方程求出a就能得到解析式。
(2) 抛物线平移时开口大小和方向不变，即二次项系数a不变，只需按平移规则计算得到新顶点坐标，代入顶点式即可得到平移后的解析式。
(3) 求抛物线与x轴交点只需令y=0，解一元二次方程得到交点横坐标，再根据A在B右侧的条件确定A、B坐标；△APB的底为AB的长度，高为顶点P到x轴的距离，代入三角形面积公式即可算出面积。
【解析】
(1) 由二次函数图象的顶点为$P(1,4)$，得$h=1$，$k=4$，函数可写为$y=a(x-1)^2+4$。将点$(2,2)$代入得：
$2=a·(2-1)^2+4$
解得$a=-2$，因此该二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2+4$。
(2) 抛物线平移时二次项系数不变，原顶点$P(1,4)$向左平移1个单位长度、向下平移4个单位长度后，新顶点横坐标为$1-1=0$，纵坐标为$4-4=0$，即新顶点为$(0,0)$，因此新抛物线的解析式为$y=-2x^2$。
(3) 令$y=0$，即$-2(x-1)^2+4=0$，整理得$(x-1)^2=2$，解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
因为点A在点B的右边，所以$A(1+\sqrt{2},0)$，$B(1-\sqrt{2},0)$。
AB的长度为$|(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$，△APB中AB边上的高为点P到x轴的距离，等于P点纵坐标的绝对值4，因此：
$S_{△APB}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 4=4\sqrt{2}$
【答案】
(1) $y=-2(x-1)^2+4$
(2) $y=-2x^2$
(3) $A(1+\sqrt{2},0)$，$B(1-\sqrt{2},0)$，$S_{△APB}=4\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数平移，抛物线与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数基础应用的典型习题，综合考察了二次函数解析式求解、图象平移规则、与坐标轴交点计算及三角形面积计算，对巩固二次函数核心基础性质有很大帮助。
【难度系数】
0.7