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12.如图,抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若C是该抛物线上A,B两点之间的一点,求$△ ABC$面积的最大值.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若C是该抛物线上A,B两点之间的一点,求$△ ABC$面积的最大值.
答案
解：
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点$A$的坐标为$(-1,0)$，
$\therefore OA=1$。
由$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}× 1× OB=\frac{1}{2}$，解得$OB=1$。
$\because$ 点$B$在$y$轴负半轴，
$\therefore B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a·(0+1)^2$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=0\\b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x-1$。
设点$C$的横坐标为$x$（$-1＜x＜0$），则$C(x,-(x+1)^2)$。
过点$C$作$CD// y$轴，交直线$AB$于点$D$，则$D(x,-x-1)$。
$\therefore CD=-(x+1)^2-(-x-1)=-x^2-x$。
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· CD· (x+1)+\frac{1}{2}· CD· (0-x)=\frac{1}{2}CD$，
即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(-x^2-x)=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{8}$。
$\because -\frac{1}{2}＜0$，且$-1＜-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时，$△ ABC$的面积取得最大值，最大值为$\frac{1}{8}$。
答：(1) 抛物线解析式为$y=-(x+1)^2$；(2) $△ ABC$面积的最大值为$\frac{1}{8}$。
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点$A$的坐标为$(-1,0)$，
$\therefore OA=1$。
由$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}× 1× OB=\frac{1}{2}$，解得$OB=1$。
$\because$ 点$B$在$y$轴负半轴，
$\therefore B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a·(0+1)^2$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=0\\b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x-1$。
设点$C$的横坐标为$x$（$-1＜x＜0$），则$C(x,-(x+1)^2)$。
过点$C$作$CD// y$轴，交直线$AB$于点$D$，则$D(x,-x-1)$。
$\therefore CD=-(x+1)^2-(-x-1)=-x^2-x$。
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· CD· (x+1)+\frac{1}{2}· CD· (0-x)=\frac{1}{2}CD$，
即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(-x^2-x)=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{8}$。
$\because -\frac{1}{2}＜0$，且$-1＜-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时，$△ ABC$的面积取得最大值，最大值为$\frac{1}{8}$。
答：(1) 抛物线解析式为$y=-(x+1)^2$；(2) $△ ABC$面积的最大值为$\frac{1}{8}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据抛物线顶点式的特征直接得到顶点A的坐标，可得OA的长度，再结合△AOB的面积求出OB的长度，结合点B在y轴负半轴确定B点坐标，最后将B点坐标代入抛物线解析式求解a的值，即可得到抛物线解析式。
(2) 求△ABC的最大面积，先用待定系数法求出直线AB的解析式，设C点横坐标为x（取值在A、B横坐标之间），表示出C点坐标，过C作CD平行于y轴交AB于D，用D和C的纵坐标差表示出CD的长度，将△ABC的面积拆分为△ACD和△BCD的面积和，化简得到面积关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最值。
【解析】
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点$A$的坐标为$(-1,0)$，
$\therefore OA=1$。
由$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}× 1× OB=\frac{1}{2}$，解得$OB=1$。
$\because$ 点$B$在$y$轴负半轴，
$\therefore B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a·(0+1)^2$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=0\\b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x-1$。
设点$C$的横坐标为$x$（$-1＜x＜0$），则$C(x,-(x+1)^2)$。
过点$C$作$CD// y$轴，交直线$AB$于点$D$，则$D(x,-x-1)$。
$\therefore CD=-(x+1)^2-(-x-1)=-x^2-x$。
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· CD· (x+1)+\frac{1}{2}· CD· (0-x)=\frac{1}{2}CD$，
即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(-x^2-x)=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{8}$。
$\because -\frac{1}{2}＜0$，且$-1＜-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时，$△ ABC$的面积取得最大值，最大值为$\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）；
(2) $\frac{1}{8}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问侧重考查二次函数顶点式的基础性质，难度较低；第二问用到的铅垂法是求解二次函数相关面积最值的常用技巧，熟练掌握该方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据抛物线顶点式的特征直接得到顶点A的坐标，可得OA的长度，再结合△AOB的面积求出OB的长度，结合点B在y轴负半轴确定B点坐标，最后将B点坐标代入抛物线解析式求解a的值，即可得到抛物线解析式。
(2) 求△ABC的最大面积，先用待定系数法求出直线AB的解析式，设C点横坐标为x（取值在A、B横坐标之间），表示出C点坐标，过C作CD平行于y轴交AB于D，用D和C的纵坐标差表示出CD的长度，将△ABC的面积拆分为△ACD和△BCD的面积和，化简得到面积关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最值。
【解析】
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点$A$的坐标为$(-1,0)$，
$\therefore OA=1$。
由$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}× 1× OB=\frac{1}{2}$，解得$OB=1$。
$\because$ 点$B$在$y$轴负半轴，
$\therefore B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a·(0+1)^2$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=0\\b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x-1$。
设点$C$的横坐标为$x$（$-1＜x＜0$），则$C(x,-(x+1)^2)$。
过点$C$作$CD// y$轴，交直线$AB$于点$D$，则$D(x,-x-1)$。
$\therefore CD=-(x+1)^2-(-x-1)=-x^2-x$。
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· CD· (x+1)+\frac{1}{2}· CD· (0-x)=\frac{1}{2}CD$，
即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(-x^2-x)=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{8}$。
$\because -\frac{1}{2}＜0$，且$-1＜-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时，$△ ABC$的面积取得最大值，最大值为$\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2$（或$y=-x^2-2x-1$）；
(2) $\frac{1}{8}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问侧重考查二次函数顶点式的基础性质，难度较低；第二问用到的铅垂法是求解二次函数相关面积最值的常用技巧，熟练掌握该方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
13.【探究】已知抛物线$y=-x^2+4$.
(1)在平面直角坐标系中画出此抛物线的大致图象(不要求列表)；
(2)当$-1≤x≤3$时,函数值$y$的取值范围是；
【应用】已知二次函数$y=-(x-h)^2$($h$是常数),且自变量$x$的取值范围是$2≤x≤5$.
(3)当$h=3$时,函数的最大值是；
(4)若函数的最大值为$-1$,求$h$的值.
(1)在平面直角坐标系中画出此抛物线的大致图象(不要求列表)；
(2)当$-1≤x≤3$时,函数值$y$的取值范围是；
【应用】已知二次函数$y=-(x-h)^2$($h$是常数),且自变量$x$的取值范围是$2≤x≤5$.
(3)当$h=3$时,函数的最大值是；
(4)若函数的最大值为$-1$,求$h$的值.
答案
解：
(1) 该抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,4)$，与x轴交于点$(-2,0)$和$(2,0)$，在坐标系中描出这三个关键点，画出开口向下的抛物线即可。
(2) ∵抛物线$y=-x^2+4$开口向下，对称轴为直线$x=0$，
∴在$-1≤x≤3$范围内，当$x=0$时，$y$取得最大值$4$；
当$x=3$时，$y=-3^2+4=-5$，为区间内的最小值，
∴函数值$y$的取值范围是$\boldsymbol{-5≤y≤4}$。
(3) 当$h=3$时，函数为$y=-(x-3)^2$，开口向下，对称轴为直线$x=3$，且$2≤3≤5$，
∴当$x=3$时，函数取得最大值为$0$。
故答案为$\boldsymbol{0}$。
(4) ∵二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，顶点处函数值为$0$，
又∵当$2≤x≤5$时，函数最大值为$-1$，
∴顶点横坐标$h$不在区间$2≤x≤5$内，分两种情况：
① 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而减小，
∴当$x=2$时，$y$取得最大值$-1$，代入得：
$-(2-h)^2=-1$，
解得$h_1=1$，$h_2=3$（不符合$h＜2$，舍去）；
② 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而增大，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值$-1$，代入得：
$-(5-h)^2=-1$，
解得$h_1=6$，$h_2=4$（不符合$h＞5$，舍去）。
综上，$h$的值为$1$或$6$。
(1) 该抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,4)$，与x轴交于点$(-2,0)$和$(2,0)$，在坐标系中描出这三个关键点，画出开口向下的抛物线即可。
(2) ∵抛物线$y=-x^2+4$开口向下，对称轴为直线$x=0$，
∴在$-1≤x≤3$范围内，当$x=0$时，$y$取得最大值$4$；
当$x=3$时，$y=-3^2+4=-5$，为区间内的最小值，
∴函数值$y$的取值范围是$\boldsymbol{-5≤y≤4}$。
(3) 当$h=3$时，函数为$y=-(x-3)^2$，开口向下，对称轴为直线$x=3$，且$2≤3≤5$，
∴当$x=3$时，函数取得最大值为$0$。
故答案为$\boldsymbol{0}$。
(4) ∵二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，顶点处函数值为$0$，
又∵当$2≤x≤5$时，函数最大值为$-1$，
∴顶点横坐标$h$不在区间$2≤x≤5$内，分两种情况：
① 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而减小，
∴当$x=2$时，$y$取得最大值$-1$，代入得：
$-(2-h)^2=-1$，
解得$h_1=1$，$h_2=3$（不符合$h＜2$，舍去）；
② 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而增大，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值$-1$，代入得：
$-(5-h)^2=-1$，
解得$h_1=6$，$h_2=4$（不符合$h＞5$，舍去）。
综上，$h$的值为$1$或$6$。
解析
【分析】
(1) 绘制抛物线时优先确定核心特征：先判断开口方向，再找顶点、与坐标轴的交点这几个关键点，描点后平滑连线即可得到大致图象。
(2) 求指定区间内函数值的范围，先明确抛物线的开口方向和对称轴，判断对称轴是否在区间内：若在，顶点为最值点之一，再比较区间两端点到对称轴的距离，得到另一个最值点，代入计算即可得到取值范围。
(3) 代入h=3得到函数解析式后，先判断对称轴是否落在给定的x区间内，开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值，直接计算即可。
(4) 该函数顶点处函数值为0，但给定区间内最大值为-1，说明对称轴不在区间内，分两种情况讨论：对称轴在区间左侧时，区间左端点取最大值；对称轴在区间右侧时，区间右端点取最大值，分别列方程求解后舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 抛物线$y=-x^2+4$开口向下，顶点坐标为$(0,4)$，令$y=0$，解得$x=\pm2$，即与x轴交于$(-2,0)$、$(2,0)$，在坐标系中描出以上三个点，平滑连接画出开口向下的抛物线即可。
(2) $\because$抛物线$y=-x^2+4$开口向下，对称轴为直线$x=0$，对称轴在$-1≤x≤3$范围内，
$\therefore$当$x=0$时，$y$取得最大值$4$；
分别代入区间端点计算：$x=-1$时，$y=-(-1)^2+4=3$；$x=3$时，$y=-3^2+4=-5$，因此最小值为$-5$，
$\therefore$函数值$y$的取值范围是$-5≤y≤4$。
(3) 当$h=3$时，函数解析式为$y=-(x-3)^2$，开口向下，对称轴为直线$x=3$，且$2≤3≤5$，
$\therefore$当$x=3$时，函数取得最大值$0$。
(4) $\because$二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，顶点处函数值为$0$，且$2≤x≤5$时函数最大值为$-1$，
$\therefore$顶点横坐标$h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
① 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而减小，因此$x=2$时$y$取最大值$-1$，代入得：
$-(2-h)^2=-1$，解得$h_1=1$，$h_2=3$（不符合$h＜2$，舍去）；
② 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而增大，因此$x=5$时$y$取最大值$-1$，代入得：
$-(5-h)^2=-1$，解得$h_1=6$，$h_2=4$（不符合$h＞5$，舍去）。
综上，$h$的值为$1$或$6$。
【答案】
(1) 略；(2) $\boldsymbol{-5≤y≤4}$；(3) $\boldsymbol{0}$；(4) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题围绕顶点式二次函数的性质设置问题，难度梯度合理，既考查了基础的图象绘制、最值计算能力，也要求结合对称轴与区间的位置关系分类分析，是二次函数性质应用的典型习题，能有效检验对二次函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.65
(1) 绘制抛物线时优先确定核心特征：先判断开口方向，再找顶点、与坐标轴的交点这几个关键点，描点后平滑连线即可得到大致图象。
(2) 求指定区间内函数值的范围，先明确抛物线的开口方向和对称轴，判断对称轴是否在区间内：若在，顶点为最值点之一，再比较区间两端点到对称轴的距离，得到另一个最值点，代入计算即可得到取值范围。
(3) 代入h=3得到函数解析式后，先判断对称轴是否落在给定的x区间内，开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值，直接计算即可。
(4) 该函数顶点处函数值为0，但给定区间内最大值为-1，说明对称轴不在区间内，分两种情况讨论：对称轴在区间左侧时，区间左端点取最大值；对称轴在区间右侧时，区间右端点取最大值，分别列方程求解后舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 抛物线$y=-x^2+4$开口向下，顶点坐标为$(0,4)$，令$y=0$，解得$x=\pm2$，即与x轴交于$(-2,0)$、$(2,0)$，在坐标系中描出以上三个点，平滑连接画出开口向下的抛物线即可。
(2) $\because$抛物线$y=-x^2+4$开口向下，对称轴为直线$x=0$，对称轴在$-1≤x≤3$范围内，
$\therefore$当$x=0$时，$y$取得最大值$4$；
分别代入区间端点计算：$x=-1$时，$y=-(-1)^2+4=3$；$x=3$时，$y=-3^2+4=-5$，因此最小值为$-5$，
$\therefore$函数值$y$的取值范围是$-5≤y≤4$。
(3) 当$h=3$时，函数解析式为$y=-(x-3)^2$，开口向下，对称轴为直线$x=3$，且$2≤3≤5$，
$\therefore$当$x=3$时，函数取得最大值$0$。
(4) $\because$二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，顶点处函数值为$0$，且$2≤x≤5$时函数最大值为$-1$，
$\therefore$顶点横坐标$h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
① 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而减小，因此$x=2$时$y$取最大值$-1$，代入得：
$-(2-h)^2=-1$，解得$h_1=1$，$h_2=3$（不符合$h＜2$，舍去）；
② 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$增大而增大，因此$x=5$时$y$取最大值$-1$，代入得：
$-(5-h)^2=-1$，解得$h_1=6$，$h_2=4$（不符合$h＞5$，舍去）。
综上，$h$的值为$1$或$6$。
【答案】
(1) 略；(2) $\boldsymbol{-5≤y≤4}$；(3) $\boldsymbol{0}$；(4) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题围绕顶点式二次函数的性质设置问题，难度梯度合理，既考查了基础的图象绘制、最值计算能力，也要求结合对称轴与区间的位置关系分类分析，是二次函数性质应用的典型习题，能有效检验对二次函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.65
