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9.已知抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴是直线$x=-1$，与$y$轴交于点$(0,2)$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出抛物线的图象；
(3)当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小？
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出抛物线的图象；
(3)当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小？
答案
解：
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$。
由题意得对称轴为直线$x=-1$，因此$h=-1$，
抛物线可写为$y=a(x+1)^2$。
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$2=a·(0+1)^2$，
解得$a=2$。
因此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$。
(2) 画图步骤：
① 确定抛物线顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，由$a=2＞0$可知抛物线开口向上；
② 列表取对应函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
③ 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该抛物线的图象。
(3) $\because a=2＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=-1$，
$\therefore$ 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$。
由题意得对称轴为直线$x=-1$，因此$h=-1$，
抛物线可写为$y=a(x+1)^2$。
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$2=a·(0+1)^2$，
解得$a=2$。
因此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$。
(2) 画图步骤：
① 确定抛物线顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，由$a=2＞0$可知抛物线开口向上；
② 列表取对应函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
③ 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该抛物线的图象。
(3) $\because a=2＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=-1$，
$\therefore$ 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，首先明确顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，结合题干给出的对称轴$x=-1$可直接求出$h$的值，再将抛物线与$y$轴的交点$(0,2)$代入仅含参数$a$的解析式，求解得到$a$的值即可确定完整解析式。
(2) 绘制二次函数图象遵循标准步骤：先根据解析式确定顶点坐标、对称轴、开口方向，再围绕对称轴对称选取若干$x$的值计算对应$y$值，最后在坐标系中描点，用平滑曲线顺次连接各点即可。
(3) 判断二次函数的增减性需结合开口方向和对称轴：当$a＞0$时抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴$x=-1$即可得出对应$x$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$。
由题意得对称轴为直线$x=-1$，因此$h=-1$，
抛物线可写为$y=a(x+1)^2$。
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$2=a·(0+1)^2$，
解得$a=2$。
因此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$。
(2) 画图步骤：
① 确定抛物线顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，由$a=2＞0$可知抛物线开口向上；
② 列表取对应函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
③ 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该抛物线的图象。
(3) $\because a=2＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=-1$，
$\therefore$ 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) $y=2(x+1)^2$
(2) 按上述步骤可画出对应抛物线图象
(3) 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象画法；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考察题，涵盖了解析式求解、图象绘制、增减性判断三个核心考点，掌握顶点式的基本性质即可顺利解答，有助于巩固二次函数的基础认知。
【难度系数】
0.8
(1) 求解抛物线解析式时，首先明确顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，结合题干给出的对称轴$x=-1$可直接求出$h$的值，再将抛物线与$y$轴的交点$(0,2)$代入仅含参数$a$的解析式，求解得到$a$的值即可确定完整解析式。
(2) 绘制二次函数图象遵循标准步骤：先根据解析式确定顶点坐标、对称轴、开口方向，再围绕对称轴对称选取若干$x$的值计算对应$y$值，最后在坐标系中描点，用平滑曲线顺次连接各点即可。
(3) 判断二次函数的增减性需结合开口方向和对称轴：当$a＞0$时抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴$x=-1$即可得出对应$x$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$。
由题意得对称轴为直线$x=-1$，因此$h=-1$，
抛物线可写为$y=a(x+1)^2$。
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$2=a·(0+1)^2$，
解得$a=2$。
因此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$。
(2) 画图步骤：
① 确定抛物线顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，由$a=2＞0$可知抛物线开口向上；
② 列表取对应函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
③ 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该抛物线的图象。
(3) $\because a=2＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=-1$，
$\therefore$ 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) $y=2(x+1)^2$
(2) 按上述步骤可画出对应抛物线图象
(3) 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象画法；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考察题，涵盖了解析式求解、图象绘制、增减性判断三个核心考点，掌握顶点式的基本性质即可顺利解答，有助于巩固二次函数的基础认知。
【难度系数】
0.8
10.已知某二次函数图象的顶点与抛物线$y=(x-2)^2$的顶点相同，且其图象经过点$(-3,9)$，求这个二次函数的解析式.
答案
解：
抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$。
由题意，设所求二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2\ (a≠0)$。
将点$(-3,9)$代入解析式，得：
$9=a·(-3-2)^2$
即$25a=9$，解得$a=\frac{9}{25}$。
∴这个二次函数的解析式为$y=\frac{9}{25}(x-2)^2$。
抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$。
由题意，设所求二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2\ (a≠0)$。
将点$(-3,9)$代入解析式，得：
$9=a·(-3-2)^2$
即$25a=9$，解得$a=\frac{9}{25}$。
∴这个二次函数的解析式为$y=\frac{9}{25}(x-2)^2$。
解析
【分析】
解题时先利用二次函数顶点式的性质梳理思路：首先，二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，我们先求出已知抛物线$y=(x-2)^2$的顶点，结合所求二次函数与它顶点相同的条件，就能确定所求函数顶点式中的$h$值，此时解析式仅参数$a$未知；再使用待定系数法，将已知的经过点代入设好的顶点式，求解出$a$的值，即可得到最终的二次函数解析式。
【解析】
1. 求已知抛物线的顶点：抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$。
2. 设所求二次函数解析式：因为所求二次函数顶点与上述抛物线顶点相同，故设解析式为$y=a(x-2)^2\ (a≠0)$。
3. 代入点求参数$a$：将点$(-3,9)$代入解析式，得：
$9=a·(-3-2)^2$
即$25a=9$，解得$a=\frac{9}{25}$。
4. 写出最终解析式：将$a=\frac{9}{25}$代入所设顶点式，即可得到所求二次函数解析式。
【答案】
$y=\frac{9}{25}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查顶点式的特征应用及待定系数法的运算，熟练掌握二次函数顶点式的结构是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时先利用二次函数顶点式的性质梳理思路：首先，二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，我们先求出已知抛物线$y=(x-2)^2$的顶点，结合所求二次函数与它顶点相同的条件，就能确定所求函数顶点式中的$h$值，此时解析式仅参数$a$未知；再使用待定系数法，将已知的经过点代入设好的顶点式，求解出$a$的值，即可得到最终的二次函数解析式。
【解析】
1. 求已知抛物线的顶点：抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$。
2. 设所求二次函数解析式：因为所求二次函数顶点与上述抛物线顶点相同，故设解析式为$y=a(x-2)^2\ (a≠0)$。
3. 代入点求参数$a$：将点$(-3,9)$代入解析式，得：
$9=a·(-3-2)^2$
即$25a=9$，解得$a=\frac{9}{25}$。
4. 写出最终解析式：将$a=\frac{9}{25}$代入所设顶点式，即可得到所求二次函数解析式。
【答案】
$y=\frac{9}{25}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查顶点式的特征应用及待定系数法的运算，熟练掌握二次函数顶点式的结构是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
11.已知抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)试判断$△ ABC$的形状并说明理由.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)试判断$△ ABC$的形状并说明理由.
答案
解：
(1) 对于抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，由二次函数顶点式的性质可得顶点A的坐标为$(5,0)$。
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此点B的坐标为$(0,5)$。
因为$BC// x$轴，所以点C的纵坐标为5，令$y=5$，代入解析式得：
$5=\frac{1}{5}(x-5)^2$
整理得$(x-5)^2=25$
解得$x_1=0$，$x_2=10$，其中$x=0$对应点B，因此点C的坐标为$(10,5)$。
(2) 由$B(0,5)$，$C(10,5)$可得$BC=10-0=10$，
BC边上的高为点A到直线$y=5$的竖直距离，即$5-0=5$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
可得$AB=AC$。
又$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，即$∠ BAC=90°$，
所以$△ ABC$是等腰直角三角形。
(1) 对于抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，由二次函数顶点式的性质可得顶点A的坐标为$(5,0)$。
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此点B的坐标为$(0,5)$。
因为$BC// x$轴，所以点C的纵坐标为5，令$y=5$，代入解析式得：
$5=\frac{1}{5}(x-5)^2$
整理得$(x-5)^2=25$
解得$x_1=0$，$x_2=10$，其中$x=0$对应点B，因此点C的坐标为$(10,5)$。
(2) 由$B(0,5)$，$C(10,5)$可得$BC=10-0=10$，
BC边上的高为点A到直线$y=5$的竖直距离，即$5-0=5$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
可得$AB=AC$。
又$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，即$∠ BAC=90°$，
所以$△ ABC$是等腰直角三角形。
解析
【分析】
解题思路分三步展开：(1)求三点坐标：首先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质直接得顶点A的坐标；再令x=0代入解析式求出y值，即得y轴交点B的坐标；因为BC平行x轴，所以B、C两点纵坐标相等，将y等于B点纵坐标代入解析式，解出除B点横坐标外的x值，即得C点坐标。(2)求三角形面积：BC是水平线段，长度为C、B两点横坐标的差，BC边上的高是点A到直线BC（即直线y=5）的竖直距离，代入三角形面积公式即可求解。(3)判断三角形形状：利用两点间距离公式分别计算AB、AC、BC的长度，先看是否有两边相等判断是否为等腰，再验证是否满足勾股定理判断是否为直角三角形，综合得出结论。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，可得顶点A的坐标为$(5,0)$。
求点B坐标：令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此点B的坐标为$(0,5)$。
求点C坐标：因为$BC// x$轴，所以点C的纵坐标与点B相同，均为5，令$y=5$，代入解析式得：
$5=\frac{1}{5}(x-5)^2$
整理得$(x-5)^2=25$
解得$x_1=0$，$x_2=10$，其中$x=0$对应点B，因此点C的坐标为$(10,5)$。
(2) 由$B(0,5)$，$C(10,5)$可得$BC$的长度为$10-0=10$，
BC边上的高为点A到直线$y=5$的竖直距离，即$5-0=5$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，计算三边长度：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
可得$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
又$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ BAC=90°$，
所以$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$；
(2) $25$；
(3) 等腰直角三角形。
【知识点】
二次函数顶点式性质，三角形面积计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，既考查了二次函数基本坐标的求解方法，也考查了利用坐标计算线段长度、判断三角形形状的能力，解题时注意结合图形性质简化计算，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步展开：(1)求三点坐标：首先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质直接得顶点A的坐标；再令x=0代入解析式求出y值，即得y轴交点B的坐标；因为BC平行x轴，所以B、C两点纵坐标相等，将y等于B点纵坐标代入解析式，解出除B点横坐标外的x值，即得C点坐标。(2)求三角形面积：BC是水平线段，长度为C、B两点横坐标的差，BC边上的高是点A到直线BC（即直线y=5）的竖直距离，代入三角形面积公式即可求解。(3)判断三角形形状：利用两点间距离公式分别计算AB、AC、BC的长度，先看是否有两边相等判断是否为等腰，再验证是否满足勾股定理判断是否为直角三角形，综合得出结论。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，可得顶点A的坐标为$(5,0)$。
求点B坐标：令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此点B的坐标为$(0,5)$。
求点C坐标：因为$BC// x$轴，所以点C的纵坐标与点B相同，均为5，令$y=5$，代入解析式得：
$5=\frac{1}{5}(x-5)^2$
整理得$(x-5)^2=25$
解得$x_1=0$，$x_2=10$，其中$x=0$对应点B，因此点C的坐标为$(10,5)$。
(2) 由$B(0,5)$，$C(10,5)$可得$BC$的长度为$10-0=10$，
BC边上的高为点A到直线$y=5$的竖直距离，即$5-0=5$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，计算三边长度：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
可得$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
又$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ BAC=90°$，
所以$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$；
(2) $25$；
(3) 等腰直角三角形。
【知识点】
二次函数顶点式性质，三角形面积计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，既考查了二次函数基本坐标的求解方法，也考查了利用坐标计算线段长度、判断三角形形状的能力，解题时注意结合图形性质简化计算，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
