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2.已知二次函数$y=a(x-h)^2$图象的顶点坐标是$(-5,0)$，且过点$(0,-3)$。
(1)求二次函数的解析式；
(2)当$x$为何值时，函数值$y$随$x$的增大而增大？
(1)求二次函数的解析式；
(2)当$x$为何值时，函数值$y$随$x$的增大而增大？
答案
解：
(1) 由二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(-5,0)$，得$h=-5$，
则二次函数可写为$y=a(x+5)^2$。
将点$(0,-3)$代入解析式，得：
$-3 = a·(0+5)^2$
即$25a=-3$，解得$a=-\frac{3}{25}$。
所以二次函数的解析式为$y=-\frac{3}{25}(x+5)^2$。
(2) 因为$a=-\frac{3}{25}＜0$，抛物线开口向下，该函数的对称轴为直线$x=-5$，
所以当$x＜-5$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
(1) 由二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(-5,0)$，得$h=-5$，
则二次函数可写为$y=a(x+5)^2$。
将点$(0,-3)$代入解析式，得：
$-3 = a·(0+5)^2$
即$25a=-3$，解得$a=-\frac{3}{25}$。
所以二次函数的解析式为$y=-\frac{3}{25}(x+5)^2$。
(2) 因为$a=-\frac{3}{25}＜0$，抛物线开口向下，该函数的对称轴为直线$x=-5$，
所以当$x＜-5$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
(1) 求解二次函数解析式时，已知解析式为顶点式$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-5,0)$可直接求出$h$的值，此时解析式中仅含未知参数$a$，再将已知过的点$(0,-3)$代入解析式，解一元一次方程即可求出$a$的值，最终得到完整解析式。
(2) 判断二次函数的增减性，需先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，再结合对称轴位置分析：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小；开口向上时相反。本题先由$a$的符号确定开口向下，再结合对称轴为直线$x=-5$，即可得出对应的$x$取值范围。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(-5,0)$
∴$h=-5$，函数解析式可写为$y=a(x+5)^2$
将点$(0,-3)$代入上式，得：
$-3=a×(0+5)^2$
即$25a=-3$，解得$a=-\frac{3}{25}$
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{3}{25}(x+5)^2$
(2)
∵$a=-\frac{3}{25}＜0$，
∴抛物线开口向下
该函数的对称轴为直线$x=-5$
∴当$x＜-5$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{25}(x+5)^2$
(2) $x＜-5$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求解析式；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查顶点式中参数的对应意义，以及二次函数增减性的判断逻辑，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解二次函数解析式时，已知解析式为顶点式$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-5,0)$可直接求出$h$的值，此时解析式中仅含未知参数$a$，再将已知过的点$(0,-3)$代入解析式，解一元一次方程即可求出$a$的值，最终得到完整解析式。
(2) 判断二次函数的增减性，需先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，再结合对称轴位置分析：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小；开口向上时相反。本题先由$a$的符号确定开口向下，再结合对称轴为直线$x=-5$，即可得出对应的$x$取值范围。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(-5,0)$
∴$h=-5$，函数解析式可写为$y=a(x+5)^2$
将点$(0,-3)$代入上式，得：
$-3=a×(0+5)^2$
即$25a=-3$，解得$a=-\frac{3}{25}$
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{3}{25}(x+5)^2$
(2)
∵$a=-\frac{3}{25}＜0$，
∴抛物线开口向下
该函数的对称轴为直线$x=-5$
∴当$x＜-5$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{25}(x+5)^2$
(2) $x＜-5$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求解析式；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查顶点式中参数的对应意义，以及二次函数增减性的判断逻辑，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 抛物线 $y=-(x+1)^2$ 的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。
答案
解：
对于抛物线$y=a(x-h)^2$，
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下。
将$y=-(x+1)^2$整理为$y=-[x-(-1)]^2$，可得$h=-1$，
$\therefore$ 对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,0)$。
答案依次为：下；$x=-1$；$(-1,0)$。
对于抛物线$y=a(x-h)^2$，
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下。
将$y=-(x+1)^2$整理为$y=-[x-(-1)]^2$，可得$h=-1$，
$\therefore$ 对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,0)$。
答案依次为：下；$x=-1$；$(-1,0)$。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：①开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,0)$。解题时先从给定解析式中确定$a$的值判断开口方向，再将解析式变形为标准顶点式形式找到$h$的值，最后对应写出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2$：
1. 判断开口方向：已知解析式$y=-(x+1)^2$中$a=-1$，因为$-1＜0$，所以抛物线开口向下。
2. 确定参数$h$：将原式整理为标准顶点式$y=-[x-(-1)]^2$，可得$h=-1$。
3. 求对称轴和顶点坐标：根据顶点式性质，对称轴是直线$x=h=-1$，顶点坐标为$(h,0)$即$(-1,0)$。
【答案】
下；$x=-1$；$(-1,0)$
【知识点】
二次函数顶点式性质，开口方向判断，对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题属于基础题型，主要考察对二次函数顶点式各参数对应几何意义的掌握，牢记相关性质即可快速得出答案，是二次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：①开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,0)$。解题时先从给定解析式中确定$a$的值判断开口方向，再将解析式变形为标准顶点式形式找到$h$的值，最后对应写出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2$：
1. 判断开口方向：已知解析式$y=-(x+1)^2$中$a=-1$，因为$-1＜0$，所以抛物线开口向下。
2. 确定参数$h$：将原式整理为标准顶点式$y=-[x-(-1)]^2$，可得$h=-1$。
3. 求对称轴和顶点坐标：根据顶点式性质，对称轴是直线$x=h=-1$，顶点坐标为$(h,0)$即$(-1,0)$。
【答案】
下；$x=-1$；$(-1,0)$
【知识点】
二次函数顶点式性质，开口方向判断，对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题属于基础题型，主要考察对二次函数顶点式各参数对应几何意义的掌握，牢记相关性质即可快速得出答案，是二次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
2. 平行于$x$轴的直线与抛物线$y=a(x-1)^2$的一个交点坐标为$(-1,2)$，则另一个交点坐标是。
答案
解：
抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点纵坐标相等，且两点关于对称轴直线$x=1$对称。
设另一个交点的横坐标为$x$，由中点公式得：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得$x=3$，该点纵坐标为2。
所以另一个交点坐标是$\boldsymbol{(3,2)}$。
抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点纵坐标相等，且两点关于对称轴直线$x=1$对称。
设另一个交点的横坐标为$x$，由中点公式得：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得$x=3$，该点纵坐标为2。
所以另一个交点坐标是$\boldsymbol{(3,2)}$。
解析
【分析】
解题时首先观察抛物线解析式为顶点式，可直接确定其对称轴；再结合平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特征，可知直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此利用对称点的坐标性质即可求出另一个交点坐标，无需计算参数a的值，简化计算过程。
【解析】
1. 确定抛物线对称轴：抛物线$y=a(x-1)^2$是顶点式，其对称轴为直线$x=1$。
2. 分析交点特征：平行于$x$轴的直线上所有点纵坐标相等，因此该直线与抛物线的两个交点纵坐标均为2，且两点关于对称轴直线$x=1$对称。
3. 计算另一个交点横坐标：设另一个交点的横坐标为$x$，根据对称点的横坐标的中点在对称轴上，由中点公式得：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得$x=3$，纵坐标为2。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式性质；平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础常考题，解题核心是利用抛物线的轴对称性，避免了求解未知参数a的冗余步骤，能够很好地考查学生对二次函数基本性质的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察抛物线解析式为顶点式，可直接确定其对称轴；再结合平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特征，可知直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此利用对称点的坐标性质即可求出另一个交点坐标，无需计算参数a的值，简化计算过程。
【解析】
1. 确定抛物线对称轴：抛物线$y=a(x-1)^2$是顶点式，其对称轴为直线$x=1$。
2. 分析交点特征：平行于$x$轴的直线上所有点纵坐标相等，因此该直线与抛物线的两个交点纵坐标均为2，且两点关于对称轴直线$x=1$对称。
3. 计算另一个交点横坐标：设另一个交点的横坐标为$x$，根据对称点的横坐标的中点在对称轴上，由中点公式得：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得$x=3$，纵坐标为2。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式性质；平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础常考题，解题核心是利用抛物线的轴对称性，避免了求解未知参数a的冗余步骤，能够很好地考查学生对二次函数基本性质的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
3.已知抛物线$y=3(x-1)^2$，当x时，y随x的增大而减小；当x=时，$y_{最小值}=$；当x时，y随x的增大而增大。
答案
解：对于抛物线$y=3(x-1)^2$，
可知$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∴ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=0$；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
答案依次为：$＜1$；$1$；$0$；$＞1$。
可知$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∴ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=0$；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
答案依次为：$＜1$；$1$；$0$；$＞1$。
解析
【分析】
解题时先观察函数形式，本题给出的是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2$，可按以下步骤思考：①先确定二次项系数$a$的符号，判断抛物线开口方向；②根据顶点式直接确定抛物线的对称轴为直线$x=h$；③结合开口方向判断增减性和最值：开口向上时，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，顶点处取最小值；开口向下时规律相反，最后代入对称轴的x值计算最小值即可。
【解析】
对于抛物线$y=3(x-1)^2$，
可知二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∴ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=1$时，$y$取得最小值，代入得$y_{\mathrm{最小值}}=3×(1-1)^2=0$；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
$＜1$；$1$；$0$；$＞1$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的基本性质，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性、最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先观察函数形式，本题给出的是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2$，可按以下步骤思考：①先确定二次项系数$a$的符号，判断抛物线开口方向；②根据顶点式直接确定抛物线的对称轴为直线$x=h$；③结合开口方向判断增减性和最值：开口向上时，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，顶点处取最小值；开口向下时规律相反，最后代入对称轴的x值计算最小值即可。
【解析】
对于抛物线$y=3(x-1)^2$，
可知二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∴ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=1$时，$y$取得最小值，代入得$y_{\mathrm{最小值}}=3×(1-1)^2=0$；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
$＜1$；$1$；$0$；$＞1$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的基本性质，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性、最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.下列说法不正确的是()
A.抛物线 $y=2x^2$ 向左平移1个单位长度得到抛物线 $y=2(x+1)^2$
B.抛物线 $y=-(x-3)^2$ 向左平移3个单位长度得到抛物线 $y=-x^2$
C.抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
D.抛物线 $y=-2(x-1)^2$ 向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=-2(x+1)^2$
A.抛物线 $y=2x^2$ 向左平移1个单位长度得到抛物线 $y=2(x+1)^2$
B.抛物线 $y=-(x-3)^2$ 向左平移3个单位长度得到抛物线 $y=-x^2$
C.抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
D.抛物线 $y=-2(x-1)^2$ 向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=-2(x+1)^2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的左右平移规律，解题思路如下：首先牢记二次函数左右平移的核心规则“左加右减”，即图象左右平移时，仅对自变量x进行操作：向左平移m个单位，x替换为x+m；向右平移m个单位，x替换为x-m。接下来逐一计算每个选项平移后的解析式，与选项给出的结果对比，找出说法错误的选项即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-h)^2$左右平移遵循“左加右减”的规律（平移规则仅作用于自变量$x$）：
选项A：抛物线$y=2x^2$向左平移1个单位，将$x$替换为$x+1$，得$y=2(x+1)^2$，说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线$y=-(x-3)^2$向左平移3个单位，将$x$替换为$x+3$，得$y=-[(x+3)-3]^2=-x^2$，说法正确，不符合题意；
选项C：抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向右平移2个单位，将$x$替换为$x-2$，得$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，说法正确，不符合题意；
选项D：抛物线$y=-2(x-1)^2$向右平移2个单位，将$x$替换为$x-2$，得$y=-2[(x-2)-1]^2=-2(x-3)^2$，与选项给出的$y=-2(x+1)^2$不符，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数$y=a(x-h)^2$的图象变换
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解“左加右减”的平移规则，注意平移的加减操作是直接作用于自变量$x$，不要和括号内的常数直接合并，避免搞反平移方向导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的左右平移规律，解题思路如下：首先牢记二次函数左右平移的核心规则“左加右减”，即图象左右平移时，仅对自变量x进行操作：向左平移m个单位，x替换为x+m；向右平移m个单位，x替换为x-m。接下来逐一计算每个选项平移后的解析式，与选项给出的结果对比，找出说法错误的选项即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-h)^2$左右平移遵循“左加右减”的规律（平移规则仅作用于自变量$x$）：
选项A：抛物线$y=2x^2$向左平移1个单位，将$x$替换为$x+1$，得$y=2(x+1)^2$，说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线$y=-(x-3)^2$向左平移3个单位，将$x$替换为$x+3$，得$y=-[(x+3)-3]^2=-x^2$，说法正确，不符合题意；
选项C：抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向右平移2个单位，将$x$替换为$x-2$，得$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，说法正确，不符合题意；
选项D：抛物线$y=-2(x-1)^2$向右平移2个单位，将$x$替换为$x-2$，得$y=-2[(x-2)-1]^2=-2(x-3)^2$，与选项给出的$y=-2(x+1)^2$不符，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数$y=a(x-h)^2$的图象变换
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解“左加右减”的平移规则，注意平移的加减操作是直接作用于自变量$x$，不要和括号内的常数直接合并，避免搞反平移方向导致错误。
【难度系数】
0.8
5.若抛物线$y=2(x-1)^2$经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，则$n$的值为（）
A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$
A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
已知抛物线过两个纵坐标相同的点，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点。解题时首先根据二次函数顶点式确定抛物线的对称轴，再利用对称点的横坐标的中点等于对称轴对应的横坐标，求出参数m的值，最后将点坐标代入抛物线解析式即可求出n的值。
【解析】
1. 确定抛物线对称轴：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
2. 求m的值：
∵点$(m,n)$和$(m+3,n)$的纵坐标相同，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{m+(m+3)}{2}=1$
解方程：$2m+3=2$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
3. 求n的值：
将$m=-\frac{1}{2}$代入点$(m,n)$，再代入抛物线解析式得：
$n=2×(-\frac{1}{2}-1)^2=2×(-\frac{3}{2})^2=2×\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数顶点式的性质
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心考查利用二次函数的对称性求解参数，需要熟练掌握顶点式二次函数对称轴的求法，以及对称点的坐标特征，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
已知抛物线过两个纵坐标相同的点，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点。解题时首先根据二次函数顶点式确定抛物线的对称轴，再利用对称点的横坐标的中点等于对称轴对应的横坐标，求出参数m的值，最后将点坐标代入抛物线解析式即可求出n的值。
【解析】
1. 确定抛物线对称轴：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
2. 求m的值：
∵点$(m,n)$和$(m+3,n)$的纵坐标相同，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{m+(m+3)}{2}=1$
解方程：$2m+3=2$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
3. 求n的值：
将$m=-\frac{1}{2}$代入点$(m,n)$，再代入抛物线解析式得：
$n=2×(-\frac{1}{2}-1)^2=2×(-\frac{3}{2})^2=2×\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数顶点式的性质
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心考查利用二次函数的对称性求解参数，需要熟练掌握顶点式二次函数对称轴的求法，以及对称点的坐标特征，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
6.在平面直角坐标系中,函数$y=-x+1$与$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$的图象大致是()
答案
$\boldsymbol{D}$
解析
【分析】
解题时先分别分析两个函数的图象特征，先从一次函数的斜率和截距入手排除部分选项，再结合二次函数顶点式的开口方向、顶点坐标排除剩余错误选项，即可得到正确答案。第一步先分析一次函数$y=-x+1$：$k=-1＜0$说明直线从左上到右下下降，$b=1＞0$说明直线与$y$轴交于正半轴，且与$x$轴交点为$(1,0)$，据此可排除直线交$y$轴负半轴的选项；第二步分析二次函数$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$：$a=-\dfrac{3}{2}＜0$说明开口向下，顶点式对应顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为$x=1$，据此可排除顶点位置错误的选项。
【解析】
1. 分析一次函数$y=-x+1$的图象特征：
一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=1＞0$，因此该直线经过第一、二、四象限，与$y$轴交于正半轴的$(0,1)$，与$x$轴交于$(1,0)$。选项A、B中直线与$y$轴交于负半轴，不符合特征，排除A、B。
2. 分析二次函数$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$的图象特征：
该函数是顶点式，二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，即抛物线顶点在$x$轴正半轴的$(1,0)$处。选项C中抛物线顶点在$x$轴负半轴，不符合特征，排除C。
综上只有选项D符合两个函数的图象特征。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数顶点式性质，函数图象判断
【点评】
本题属于函数图象识别的基础题型，只需熟练掌握一次函数的斜率、截距与图象的对应关系，以及二次函数顶点式中参数和顶点、开口方向的对应关系，通过排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先分别分析两个函数的图象特征，先从一次函数的斜率和截距入手排除部分选项，再结合二次函数顶点式的开口方向、顶点坐标排除剩余错误选项，即可得到正确答案。第一步先分析一次函数$y=-x+1$：$k=-1＜0$说明直线从左上到右下下降，$b=1＞0$说明直线与$y$轴交于正半轴，且与$x$轴交点为$(1,0)$，据此可排除直线交$y$轴负半轴的选项；第二步分析二次函数$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$：$a=-\dfrac{3}{2}＜0$说明开口向下，顶点式对应顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为$x=1$，据此可排除顶点位置错误的选项。
【解析】
1. 分析一次函数$y=-x+1$的图象特征：
一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=1＞0$，因此该直线经过第一、二、四象限，与$y$轴交于正半轴的$(0,1)$，与$x$轴交于$(1,0)$。选项A、B中直线与$y$轴交于负半轴，不符合特征，排除A、B。
2. 分析二次函数$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$的图象特征：
该函数是顶点式，二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，即抛物线顶点在$x$轴正半轴的$(1,0)$处。选项C中抛物线顶点在$x$轴负半轴，不符合特征，排除C。
综上只有选项D符合两个函数的图象特征。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数顶点式性质，函数图象判断
【点评】
本题属于函数图象识别的基础题型，只需熟练掌握一次函数的斜率、截距与图象的对应关系，以及二次函数顶点式中参数和顶点、开口方向的对应关系，通过排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.已知点$A(-3,y_1),B(-2,y_2),C(1,y_3)$都在抛物线$y=a(x-1)^2(a＜0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是()
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
C
解析
【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，首先分析抛物线$y=a(x-1)^2(a＜0)$的基本性质：该抛物线是顶点式，开口方向由$a$决定，$a＜0$则开口向下，对称轴为直线$x=1$；开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。接下来只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=1$的距离，比较距离大小即可得出纵坐标的大小关系。
【解析】
第一步：确定抛物线的基本性质
抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，
∵$a＜0$，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越大，对应的$y$值越小。
第二步：计算各点到对称轴的距离
点A到对称轴的距离：$|-3 - 1|=4$
点B到对称轴的距离：$|-2 - 1|=3$
点C到对称轴的距离：$|1 - 1|=0$
第三步：比较距离大小，推导y值关系
距离大小为：$0＜3＜4$，因此对应的y值大小为$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的图象性质的应用，无需代入计算具体函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离比较函数值更简便，是二次函数性质的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的纵坐标大小，首先分析抛物线$y=a(x-1)^2(a＜0)$的基本性质：该抛物线是顶点式，开口方向由$a$决定，$a＜0$则开口向下，对称轴为直线$x=1$；开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。接下来只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=1$的距离，比较距离大小即可得出纵坐标的大小关系。
【解析】
第一步：确定抛物线的基本性质
抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，
∵$a＜0$，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越大，对应的$y$值越小。
第二步：计算各点到对称轴的距离
点A到对称轴的距离：$|-3 - 1|=4$
点B到对称轴的距离：$|-2 - 1|=3$
点C到对称轴的距离：$|1 - 1|=0$
第三步：比较距离大小，推导y值关系
距离大小为：$0＜3＜4$，因此对应的y值大小为$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的图象性质的应用，无需代入计算具体函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离比较函数值更简便，是二次函数性质的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
8.已知二次函数$y=-(x+h)^2$,当$x＜-3$时，y随x增大而增大；当$x＞0$时，y随x增大而减小，且h满足$h^2-2h-3=0$,则当$x=0$时，y的值为()
A.－1
B.1
C.－9
D.9
A.－1
B.1
C.－9
D.9
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，先回忆二次函数顶点式的性质，本题中二次项系数为-1＜0，函数开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，由此可根据题目给出的增减区间确定对称轴的取值范围；第二步，解关于h的一元二次方程，得到h的两个可能取值；第三步，结合对称轴的取值范围筛选出符合条件的h，再将x=0代入解析式计算y的值即可。
【解析】
1. 分析二次函数性质：
二次函数$y=-(x+h)^2$中，$a=-1＜0$，因此函数开口向下，对称轴为直线$x=-h$；
由开口向下的二次函数增减性可知：当$x＜-h$时，$y$随$x$增大而增大，当$x＞-h$时，$y$随$x$增大而减小。
2. 确定h的取值范围：
已知$x＜-3$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，因此对称轴需满足$-3≤ -h≤0$，化简得$0≤ h≤3$。
3. 解方程筛选h的值：
解$h^2-2h-3=0$，因式分解得$(h-3)(h+1)=0$，解得$h_1=3$，$h_2=-1$；
结合$0≤ h≤3$的范围，舍去$h=-1$，取$h=3$。
4. 计算x=0时的y值：
将$h=3$代入解析式得$y=-(x+3)^2$，当$x=0$时，$y=-(0+3)^2=-9$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、解一元二次方程、二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题核心是结合函数增减区间确定对称轴的取值范围，进而筛选出正确的参数值，易错点是容易忽略参数的取舍条件直接代入计算。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，先回忆二次函数顶点式的性质，本题中二次项系数为-1＜0，函数开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，由此可根据题目给出的增减区间确定对称轴的取值范围；第二步，解关于h的一元二次方程，得到h的两个可能取值；第三步，结合对称轴的取值范围筛选出符合条件的h，再将x=0代入解析式计算y的值即可。
【解析】
1. 分析二次函数性质：
二次函数$y=-(x+h)^2$中，$a=-1＜0$，因此函数开口向下，对称轴为直线$x=-h$；
由开口向下的二次函数增减性可知：当$x＜-h$时，$y$随$x$增大而增大，当$x＞-h$时，$y$随$x$增大而减小。
2. 确定h的取值范围：
已知$x＜-3$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，因此对称轴需满足$-3≤ -h≤0$，化简得$0≤ h≤3$。
3. 解方程筛选h的值：
解$h^2-2h-3=0$，因式分解得$(h-3)(h+1)=0$，解得$h_1=3$，$h_2=-1$；
结合$0≤ h≤3$的范围，舍去$h=-1$，取$h=3$。
4. 计算x=0时的y值：
将$h=3$代入解析式得$y=-(x+3)^2$，当$x=0$时，$y=-(0+3)^2=-9$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、解一元二次方程、二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题核心是结合函数增减区间确定对称轴的取值范围，进而筛选出正确的参数值，易错点是容易忽略参数的取舍条件直接代入计算。
【难度系数】
0.7
