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例1 (1)在同一平面直角坐标系内画出$y=x^2,y=(x-2)^2,y=(x+2)^2$的图象；
(2)写出以上三个抛物线的顶点坐标.
【思路导析】先画图,再写顶点坐标.
【请你解答】
(2)写出以上三个抛物线的顶点坐标.
【思路导析】先画图,再写顶点坐标.
【请你解答】
答案
解：
(1) 先填写函数对应值表：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
|-------------|---|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---|
| $y=x^2$ | … | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | … |
| $y=(x-2)^2$ | … | $25$ | $16$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | … |
| $y=(x+2)^2$ | … | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$| $25$| … |
在平面直角坐标系内描出表格对应的点，再分别用平滑曲线顺次连接对应函数的点，即可得到三个函数的图象。
(2) 三个抛物线的顶点坐标分别为：
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$，
抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
(1) 先填写函数对应值表：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
|-------------|---|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---|
| $y=x^2$ | … | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | … |
| $y=(x-2)^2$ | … | $25$ | $16$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | … |
| $y=(x+2)^2$ | … | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$| $25$| … |
在平面直角坐标系内描出表格对应的点，再分别用平滑曲线顺次连接对应函数的点，即可得到三个函数的图象。
(2) 三个抛物线的顶点坐标分别为：
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$，
抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
解析
【分析】
要解决本题，分两步梳理思路：
1. 画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的通用步骤，本题三个函数均为开口向上的二次函数顶点式，列表时优先选取顶点附近对称的x值计算对应y值，能更高效准确地画出图象；
2. 求顶点坐标有两种可互相验证的方法：一是从列表中找到y值最小的点（开口向上的抛物线顶点是最低点），二是直接利用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，其顶点坐标为$(h,0)$，对应每个函数的h值即可快速得到结果。
【解析】
(1) 按画函数图象的标准步骤操作：
第一步：列表，选取顶点附近对称的x值，计算三个函数对应的y值，结果如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
|-------------|---|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---|
| $y=x^2$ | … | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | … |
| $y=(x-2)^2$ | … | $25$ | $16$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | … |
| $y=(x+2)^2$ | … | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$| $25$| … |
第二步：描点，在平面直角坐标系中，将表格内每个函数对应的坐标点逐一标注；
第三步：连线，分别用平滑曲线按x从小到大的顺序，顺次连接每个函数对应的点，即可得到三个抛物线的图象。
(2) 结合顶点式性质或列表结果可得：
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
【答案】
(1) 按列表、描点、连线的步骤绘制图象（列表见解析）；
(2) 三个抛物线的顶点坐标依次为$\boldsymbol{(0,0)}$、$\boldsymbol{(2,0)}$、$\boldsymbol{(-2,0)}$。
【知识点】
1. 函数图象的画法
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数图象的绘制流程和顶点式的核心性质，熟练掌握顶点式的结构特征可以快速获取顶点坐标，为后续学习二次函数的平移、增减性等知识打下基础。
【难度系数】
0.85
要解决本题，分两步梳理思路：
1. 画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的通用步骤，本题三个函数均为开口向上的二次函数顶点式，列表时优先选取顶点附近对称的x值计算对应y值，能更高效准确地画出图象；
2. 求顶点坐标有两种可互相验证的方法：一是从列表中找到y值最小的点（开口向上的抛物线顶点是最低点），二是直接利用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，其顶点坐标为$(h,0)$，对应每个函数的h值即可快速得到结果。
【解析】
(1) 按画函数图象的标准步骤操作：
第一步：列表，选取顶点附近对称的x值，计算三个函数对应的y值，结果如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
|-------------|---|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---|
| $y=x^2$ | … | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | … |
| $y=(x-2)^2$ | … | $25$ | $16$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | … |
| $y=(x+2)^2$ | … | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$| $25$| … |
第二步：描点，在平面直角坐标系中，将表格内每个函数对应的坐标点逐一标注；
第三步：连线，分别用平滑曲线按x从小到大的顺序，顺次连接每个函数对应的点，即可得到三个抛物线的图象。
(2) 结合顶点式性质或列表结果可得：
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
【答案】
(1) 按列表、描点、连线的步骤绘制图象（列表见解析）；
(2) 三个抛物线的顶点坐标依次为$\boldsymbol{(0,0)}$、$\boldsymbol{(2,0)}$、$\boldsymbol{(-2,0)}$。
【知识点】
1. 函数图象的画法
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数图象的绘制流程和顶点式的核心性质，熟练掌握顶点式的结构特征可以快速获取顶点坐标，为后续学习二次函数的平移、增减性等知识打下基础。
【难度系数】
0.85
例2 关于二次函数$y=-3(x-1)^2$，
下列说法正确的有()
①因为$a=-3＜0$，所以开口向上；②顶点坐标为$(1,0)$；③对称轴为直线$x=1$；④将$y=-3x^2$的图象向右平移1个单位长度就能得到$y=-3(x-1)^2$的图象。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导析】结合图象并根据二次函数$y=a(x-h)^2$的性质进行解答。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数$y=a(x-h)^2$性质的应用
下列说法正确的有()
①因为$a=-3＜0$，所以开口向上；②顶点坐标为$(1,0)$；③对称轴为直线$x=1$；④将$y=-3x^2$的图象向右平移1个单位长度就能得到$y=-3(x-1)^2$的图象。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导析】结合图象并根据二次函数$y=a(x-h)^2$的性质进行解答。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数$y=a(x-h)^2$性质的应用
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题时先回忆该形式二次函数的相关性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$，图象平移遵循“左加右减（针对x）”的规律，再逐一判断4个说法的正误即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①对于二次函数，$a=-3＜0$，所以抛物线开口向下，故①错误；
②二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=1$，因此顶点坐标为$(1,0)$，故②正确；
③二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此本题对称轴为直线$x=1$，故③正确；
④根据函数图象平移“左加右减”的规律，将$y=-3x^2$的图象向右平移1个单位长度，就是把x替换为$x-1$，得到$y=-3(x-1)^2$，故④正确。
综上，正确的说法有②③④，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握$y=a(x-h)^2$中a、h对应的图象特征，以及平移规律，避免混淆开口方向和平移的加减规则。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题时先回忆该形式二次函数的相关性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$，图象平移遵循“左加右减（针对x）”的规律，再逐一判断4个说法的正误即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①对于二次函数，$a=-3＜0$，所以抛物线开口向下，故①错误；
②二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=1$，因此顶点坐标为$(1,0)$，故②正确；
③二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此本题对称轴为直线$x=1$，故③正确；
④根据函数图象平移“左加右减”的规律，将$y=-3x^2$的图象向右平移1个单位长度，就是把x替换为$x-1$，得到$y=-3(x-1)^2$，故④正确。
综上，正确的说法有②③④，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握$y=a(x-h)^2$中a、h对应的图象特征，以及平移规律，避免混淆开口方向和平移的加减规则。
【难度系数】
0.7
例3 已知抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=-2$，且过点$(1,-3)$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出该函数的图象；
(3)从图象上观察，当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$取何值时，函数有最大值（或最小值）？
【探究点拨】求出该抛物线的解析式后结合图象进行分析。
【规范解答】(1)抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=-2$，则$y=a(x+2)^2$。
把$(1,-3)$代入上式，得$-3=a(1+2)^2$，即$a=-\dfrac{1}{3}$。
故该抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$。
(2)图象如下：
(3)从图象可以看出当$x＜-2$时，$y$随$x$增大而增大；当$x=-2$时，函数有最大值，最大值为0。
变式探究
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出该函数的图象；
(3)从图象上观察，当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$取何值时，函数有最大值（或最小值）？
【探究点拨】求出该抛物线的解析式后结合图象进行分析。
【规范解答】(1)抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=-2$，则$y=a(x+2)^2$。
把$(1,-3)$代入上式，得$-3=a(1+2)^2$，即$a=-\dfrac{1}{3}$。
故该抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$。
(2)图象如下：
(3)从图象可以看出当$x＜-2$时，$y$随$x$增大而增大；当$x=-2$时，函数有最大值，最大值为0。
变式探究
答案
解：
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$。
已知该抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此$h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入$y=a(x+2)^2$，得：
$-3=a·(1+2)^2$
解得$a=-\frac{1}{3}$。
因此该抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$。
(2) 该抛物线顶点坐标为$(-2,0)$，开口向下，对称轴为直线$x=-2$，通过取对称点描点连线，得到的函数图象如下：
图象顶点在$(-2,0)$，对称轴为虚线$x=-2$，经过点$(-5,-3)$、$(-4,-\frac{4}{3})$、$(-3,-\frac{1}{3})$、$(-1,-\frac{1}{3})$、$(0,-\frac{4}{3})$、$(1,-3)$，用平滑曲线连接各点即可。
(3) 观察图象可得：
当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；
该抛物线开口向下，当$x=-2$时，函数有最大值，最大值为0。
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$。
已知该抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此$h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入$y=a(x+2)^2$，得：
$-3=a·(1+2)^2$
解得$a=-\frac{1}{3}$。
因此该抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$。
(2) 该抛物线顶点坐标为$(-2,0)$，开口向下，对称轴为直线$x=-2$，通过取对称点描点连线，得到的函数图象如下：
图象顶点在$(-2,0)$，对称轴为虚线$x=-2$，经过点$(-5,-3)$、$(-4,-\frac{4}{3})$、$(-3,-\frac{1}{3})$、$(-1,-\frac{1}{3})$、$(0,-\frac{4}{3})$、$(1,-3)$，用平滑曲线连接各点即可。
(3) 观察图象可得：
当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；
该抛物线开口向下，当$x=-2$时，函数有最大值，最大值为0。
解析
【分析】
本题围绕二次函数顶点式展开考查，解题思路清晰：(1) 顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，结合已知对称轴$x=-2$可直接确定$h$的值，再将已知点代入仅含参数$a$的解析式，即可求出$a$得到完整解析式；(2) 画二次函数图象时，先明确顶点、对称轴、开口方向这几个核心特征，再在对称轴两侧取对称的点，描点后用平滑曲线连接即可；(3) 结合开口方向和对称轴判断增减性与最值：开口向下的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，顶点为最高点，对应函数最大值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，已知该抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此$h=-2$，解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入$y=a(x+2)^2$，得：
$-3=a·(1+2)^2$
即$9a=-3$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$。
(2) 画该函数图象的步骤：
① 确定核心特征：抛物线顶点坐标为$(-2,0)$，$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，故开口向下，对称轴为直线$x=-2$；
② 取对称点：分别计算$x=-5、-4、-3、-1、0、1$对应的$y$值，得到点$(-5,-3)$、$(-4,-\dfrac{4}{3})$、$(-3,-\dfrac{1}{3})$、$(-1,-\dfrac{1}{3})$、$(0,-\dfrac{4}{3})$、$(1,-3)$；
③ 在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连接各点即可得到函数图象。
(3) 结合图象与抛物线性质分析：
抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，因此在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大；抛物线顶点为最高点，顶点处函数取得最大值。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2}$；
(2) 图象顶点为$(-2,0)$，对称轴为直线$x=-2$，开口向下，经过$(-5,-3)$、$(-4,-\dfrac{4}{3})$、$(-3,-\dfrac{1}{3})$、$(-1,-\dfrac{1}{3})$、$(0,-\dfrac{4}{3})$、$(1,-3)$，用平滑曲线连接各点即可；
(3) 当$\boldsymbol{x＜-2}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$\boldsymbol{x=-2}$时，函数有最大值，最大值为$\boldsymbol{0}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质、待定系数法求解析式、二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查对顶点式参数意义的理解，以及结合图象分析函数性质的能力，熟练掌握二次函数的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.75
本题围绕二次函数顶点式展开考查，解题思路清晰：(1) 顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，结合已知对称轴$x=-2$可直接确定$h$的值，再将已知点代入仅含参数$a$的解析式，即可求出$a$得到完整解析式；(2) 画二次函数图象时，先明确顶点、对称轴、开口方向这几个核心特征，再在对称轴两侧取对称的点，描点后用平滑曲线连接即可；(3) 结合开口方向和对称轴判断增减性与最值：开口向下的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，顶点为最高点，对应函数最大值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，已知该抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此$h=-2$，解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入$y=a(x+2)^2$，得：
$-3=a·(1+2)^2$
即$9a=-3$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$。
(2) 画该函数图象的步骤：
① 确定核心特征：抛物线顶点坐标为$(-2,0)$，$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，故开口向下，对称轴为直线$x=-2$；
② 取对称点：分别计算$x=-5、-4、-3、-1、0、1$对应的$y$值，得到点$(-5,-3)$、$(-4,-\dfrac{4}{3})$、$(-3,-\dfrac{1}{3})$、$(-1,-\dfrac{1}{3})$、$(0,-\dfrac{4}{3})$、$(1,-3)$；
③ 在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连接各点即可得到函数图象。
(3) 结合图象与抛物线性质分析：
抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，因此在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大；抛物线顶点为最高点，顶点处函数取得最大值。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2}$；
(2) 图象顶点为$(-2,0)$，对称轴为直线$x=-2$，开口向下，经过$(-5,-3)$、$(-4,-\dfrac{4}{3})$、$(-3,-\dfrac{1}{3})$、$(-1,-\dfrac{1}{3})$、$(0,-\dfrac{4}{3})$、$(1,-3)$，用平滑曲线连接各点即可；
(3) 当$\boldsymbol{x＜-2}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$\boldsymbol{x=-2}$时，函数有最大值，最大值为$\boldsymbol{0}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质、待定系数法求解析式、二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查对顶点式参数意义的理解，以及结合图象分析函数性质的能力，熟练掌握二次函数的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.75
1.某抛物线的形状和抛物线$y=2x^2$的形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标是$(-1,0)$，则此抛物线的解析式为
.
.
答案
解：
设该抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$。
∵抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$，
∴$h=-1$，$k=0$，
则抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$。
∵抛物线的形状和$y=2x^2$的形状相同，
∴$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$。
∴此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$或$y=-2(x+1)^2$。
设该抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$。
∵抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$，
∴$h=-1$，$k=0$，
则抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$。
∵抛物线的形状和$y=2x^2$的形状相同，
∴$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$。
∴此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$或$y=-2(x+1)^2$。
解析
【分析】
本题已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式设解析式可以简化计算；抛物线形状相同说明二次项系数的绝对值相等，且开口方向可向上也可向下，因此a有两个取值，最后将顶点坐标代入所设解析式即可求出结果。
【解析】
设该抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）。
∵抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$，
∴$h=-1$，$k=0$，
则抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$。
∵抛物线的形状和$y=2x^2$的形状相同，
∴$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$。
∴此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$或$y=-2(x+1)^2$。
【答案】
$y=2(x+1)^2$；$y=-2(x+1)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象性质；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是根据已知顶点条件选择顶点式设解析式，易错点是容易忽略形状相同的抛物线开口方向有两种可能，导致漏解。
【难度系数】
0.7
本题已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式设解析式可以简化计算；抛物线形状相同说明二次项系数的绝对值相等，且开口方向可向上也可向下，因此a有两个取值，最后将顶点坐标代入所设解析式即可求出结果。
【解析】
设该抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）。
∵抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$，
∴$h=-1$，$k=0$，
则抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$。
∵抛物线的形状和$y=2x^2$的形状相同，
∴$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$。
∴此抛物线的解析式为$y=2(x+1)^2$或$y=-2(x+1)^2$。
【答案】
$y=2(x+1)^2$；$y=-2(x+1)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象性质；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是根据已知顶点条件选择顶点式设解析式，易错点是容易忽略形状相同的抛物线开口方向有两种可能，导致漏解。
【难度系数】
0.7
