9.已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等。如图，点M的坐标为$(\sqrt{3},3)$，P是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$上的一个动点，则△PMF周长的最小值是()

A.3
B.4
C.5
D.6

C

【分析】
要计算△PMF的周长最小值，首先明确周长由PM、PF、MF三条边组成，其中F和M都是定点，因此MF的长度是固定值，求周长最小值等价于求PM+PF的最小值。结合题目给出的抛物线性质：抛物线上任意一点P到F的距离等于到x轴的距离，可将PF转化为点P到x轴的垂线段长度，再根据“垂线段最短”的原理，找到PM+PF取最小值时P的位置，即可计算出最小周长。
【解析】
1. 分析周长构成：△PMF的周长$C=PM+PF+MF$，其中$F(0,2)$、$M(\sqrt{3},3)$为定点，故$MF$是定值，只需使$PM+PF$最小即可得到周长最小值。
2. 计算定长$MF$：根据两点间距离公式，$MF=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{3+1}=2$。
3. 求$PM+PF$的最小值：由题知抛物线上点$P$到$F$的距离等于到$x$轴的距离，即$PF$等于点$P$到$x$轴的垂线段长。过$M$作$x$轴的垂线，与抛物线交于点$P$，此时$PM+PF$等于点$M$到$x$轴的距离（垂线段最短），即最小值为$3$。
4. 计算最小周长：$C_{\mathrm{min}}=3+2=5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，最短路径问题，两点间距离计算
【点评】
本题结合二次函数性质考查最短路径问题，解题的关键是利用题给的抛物线距离性质，将动态线段和的最小值转化为定点到x轴的垂线段长度，体现了转化思想的应用，需要学生熟练掌握最短路径的基本模型。
【难度系数】
0.6

10.结合函数$y=3x^2$和$y=3x^2-1$的图象，回答下面的问题：
(1)将抛物线$y=3x^2-1$向平移个单位长度能得到抛物线$y=3x^2$；
(2)关于函数$y=3x^2-1$，当x时，y随x的增大而增大；当x时，函数y有最小值，最小值是。其图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是。

解：
(1) 根据二次函数图象上下平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=3x^2-1$向上平移1个单位长度能得到抛物线$y=3x^2$。
(2) 函数$y=3x^2-1$中$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$：
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x=0$时，函数$y$有最小值，最小值是$-1$。
令$x=0$，得$y=-1$，因此图象与$y$轴的交点坐标是$(0,-1)$；
令$y=0$，则$3x^2-1=0$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此图象与$x$轴的交点坐标是$(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$和$(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$。
答案依次为：(1) 上，1；(2) $＞0$，$=0$，$-1$，$(0,-1)$，$(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$和$(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$。

【分析】
(1) 解决第一问需用到二次函数图象上下平移的“上加下减”规律，对比两个函数的常数项差值，即可确定平移的方向和单位长度。
(2) 解决第二问先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴为直线$x=0$，就能确定函数的增减性和最值情况；求函数与坐标轴交点时，与y轴交点令$x=0$计算y值，与x轴交点令$y=0$解一元二次方程即可得到对应交点坐标。
【解析】
(1) 根据二次函数图象上下平移“上加下减”的规律，抛物线$y=3x^2$比$y=3x^2-1$的常数项多1，因此将抛物线$y=3x^2-1$向上平移1个单位长度能得到抛物线$y=3x^2$。
(2) 函数$y=3x^2-1$中$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$：
开口向上的抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，即当$x＞0$时，y随x的增大而增大；
开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$x=0$时，函数y有最小值，代入得最小值是$-1$；
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=-1$，因此图象与y轴的交点坐标是$(0,-1)$；
求与x轴交点：令$y=0$，得到方程$3x^2-1=0$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此图象与x轴的交点坐标是$(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$和$(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$。
【答案】
(1) 上，1；(2) $＞0$，$=0$，$-1$，$(0,-1)$，$(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$和$(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，侧重考察$y=ax^2+k$类二次函数的核心性质，题目难度低，只要熟练掌握相关基础规则，就能快速准确作答，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.85

11.已知抛物线的对称轴为$ y $轴，该函数的最大值为3，且经过点$(1,1)$。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与$ x $轴交于$ A,B $两点(点$ A $在点$ B $的左边)，与$ y $轴交于点$ C $，求$ S_{△ ABC} $。

解：
(1) ∵抛物线的对称轴为y轴，且函数的最大值为3，
∴抛物线的顶点坐标为(0,3)，
设抛物线的解析式为$y=ax^2+3$（$a≠0$）。
将点$(1,1)$代入解析式得：
$1 = a·1^2 + 3$，
解得$a=-2$，
∴此抛物线的解析式为$y=-2x^2+3$。
(2) 令$y=0$，即$-2x^2+3=0$，
解得$x_1=-\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
∵点A在点B的左边，
∴$A(-\frac{\sqrt{6}}{2},0)$，$B(\frac{\sqrt{6}}{2},0)$，
∴$AB=\frac{\sqrt{6}}{2}-(-\frac{\sqrt{6}}{2})=\sqrt{6}$。
令$x=0$，得$y=3$，
∴点C的坐标为$(0,3)$，$OC=3$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· OC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3=\frac{3\sqrt{6}}{2}$。

【分析】
(1) 已知抛物线对称轴为y轴且最大值为3，可确定其顶点坐标为(0,3)，因此选择设顶点式解析式$y=ax^2+3(a≠0)$，再将已知点$(1,1)$代入解析式即可求出$a$的值，得到抛物线解析式。
(2) 求$△ ABC$的面积需先确定三点坐标：令$y=0$求解方程得到抛物线与x轴的交点A、B坐标，算出AB的长度；令$x=0$得到抛物线与y轴交点C的坐标，OC的长度即为AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵抛物线的对称轴为y轴，且函数的最大值为3，
∴抛物线的顶点坐标为$(0,3)$，
设抛物线的解析式为$y=ax^2+3$（$a≠0$）。
将点$(1,1)$代入解析式得：
$1 = a·1^2 + 3$，
解得$a=-2$，
∴此抛物线的解析式为$y=-2x^2+3$。
(2) 令$y=0$，即$-2x^2+3=0$，
解得$x_1=-\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
∵点A在点B的左边，
∴$A(-\frac{\sqrt{6}}{2},0)$，$B(\frac{\sqrt{6}}{2},0)$，
∴$AB=\frac{\sqrt{6}}{2}-(-\frac{\sqrt{6}}{2})=\sqrt{6}$。
令$x=0$，得$y=3$，
∴点C的坐标为$(0,3)$，$OC=3$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· OC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3=\frac{3\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $y=-2x^2+3$；(2) $\frac{3\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象性质；图形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是根据抛物线性质合理设出函数解析式，结合函数与坐标轴交点的求法和三角形面积公式求解，计算时需注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.75

12.如图,抛物线$y=-x^2+4$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,四边形ABCD为平行四边形.
(1)直接写出A,B,C三点的坐标;
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式.

解：
(1) 令$y=0$，则$-x^2+4=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
$\therefore A(-2,0)$，$B(2,0)$。
令$x=0$，则$y=4$，
$\therefore C(0,4)$。
(2) 由$A(-2,0)$，$B(2,0)$得$AB=4$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，且$CD=AB=4$，
结合点$C(0,4)$，可得点$D$的坐标为$(-4,4)$。
设向上平移后抛物线的解析式为$y=-x^2 + 4 + k$（$k＞0$），
将$D(-4,4)$代入解析式得：
$4 = -(-4)^2 + 4 + k$，
解得$k=16$，
$\therefore$ 平移后抛物线的解析式为$y=-x^2 + 20$。

【分析】
(1) 求抛物线与坐标轴交点坐标时，与x轴交点只需令y=0，解对应的一元二次方程即可得到交点横坐标；与y轴交点只需令x=0，代入解析式即可得到交点纵坐标，按这个思路就能求出A、B、C三点坐标。
(2) 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合A、B、C的坐标推导点D的坐标；抛物线向上平移时二次项系数不变，仅常数项增加，设出平移后的解析式，将D点坐标代入求解参数，就能得到平移后的解析式。
【解析】
(1) 求抛物线与x轴交点，令$y=0$，代入$y=-x^2+4$得：
$-x^2+4=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
$\therefore A(-2,0)$，$B(2,0)$。
求抛物线与y轴交点，令$x=0$，代入$y=-x^2+4$得：
$y=4$，
$\therefore C(0,4)$。
(2) 由$A(-2,0)$、$B(2,0)$可得$AB=2-(-2)=4$。
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，且$CD=AB=4$。
AB在x轴上，因此CD平行于x轴，即D点纵坐标与C点相同为4，D在C左侧，横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设向上平移后抛物线的解析式为$y=-x^2 + 4 + k$（$k＞0$），
将$D(-4,4)$代入解析式得：
$4 = -(-4)^2 + 4 + k$，
解得$k=16$，
$\therefore$ 平移后抛物线的解析式为$y=-x^2 + 20$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(0,4)$；
(2) $y=-x^2 + 20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；平行四边形的性质；二次函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数和几何的基础综合题，考查的都是核心基础知识点，熟练掌握坐标轴上点的特征、平行四边形性质和二次函数平移规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7

13.如图，抛物线$y=ax^2 -1$交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且$AB=4OC$。
(1)求a的值；
(2)过抛物线上的点P(不与点B重合)作y轴的平行线，交直线BC于点M，交x轴于点N，当$PM=2MN$时，求点P的坐标。

解：
(1) 对于抛物线$y=ax^2-1$，令$x=0$，得$y=-1$，
$\therefore C(0,-1)$，则$OC=1$。
由$AB=4OC$，得$AB=4$。
$\because$ 抛物线$y=ax^2-1$的对称轴为$y$轴，A、B关于y轴对称，
$\therefore A(-2,0)$，$B(2,0)$。
将$B(2,0)$代入$y=ax^2-1$，得：
$0=4a-1$，
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-1$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，将$B(2,0)$、$C(0,-1)$代入得：
$\begin{cases} 2k+b=0 \\ b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=-1 \end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
设点$P$的横坐标为$t$，由$PM// y$轴，得$P(t,\frac{1}{4}t^2-1)$，$M(t,\frac{1}{2}t-1)$，$N(t,0)$。
则$PM=\left| (\frac{1}{4}t^2-1) - (\frac{1}{2}t-1) \right|=\left| \frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t \right|$，
$MN=\left| (\frac{1}{2}t-1) - 0 \right|=\left| \frac{1}{2}t-1 \right|$。
由$PM=2MN$，得：
$\left| \frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t \right|=2\left| \frac{1}{2}t-1 \right|$，
整理得$\frac{1}{4}|t|·|t-2|=|t-2|$。
$\because$ 点$P$不与点$B$重合，$\therefore t≠2$，即$|t-2|≠0$，
两边同时除以$|t-2|$，得$\frac{1}{4}|t|=1$，即$|t|=4$，
解得$t=4$或$t=-4$。
当$t=4$时，$y=\frac{1}{4}×4^2 -1=3$，得$P(4,3)$；
当$t=-4$时，$y=\frac{1}{4}×(-4)^2 -1=3$，得$P(-4,3)$。
综上，$a$的值为$\frac{1}{4}$，点$P$的坐标为$(4,3)$或$(-4,3)$。

【分析】
(1) 首先求抛物线与y轴交点C的坐标：令抛物线解析式中x=0，可得y=-1，即C(0,-1)，因此OC=1，结合AB=4OC可得AB=4；由于抛物线$y=ax^2-1$的对称轴为y轴，A、B两点关于y轴对称，因此OB=AB÷2=2，即B点坐标为(2,0)，将B点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
(2) 先利用B、C两点坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式；设点P的横坐标为t，因为PM平行y轴，所以M、N的横坐标均为t，分别用含t的代数式表示P、M、N三点的纵坐标，再用绝对值表示线段PM、MN的长度，根据PM=2MN列绝对值方程，注意点P不与B重合，即t≠2，约去不为0的$|t-2|$后求解得到t的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2-1$，令$x=0$，得$y=-1$，
$\therefore C(0,-1)$，则$OC=1$。
由$AB=4OC$，得$AB=4$。
$\because$ 抛物线$y=ax^2-1$的对称轴为$y$轴，A、B关于y轴对称，
$\therefore A(-2,0)$，$B(2,0)$。
将$B(2,0)$代入$y=ax^2-1$，得：
$0=4a-1$，
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-1$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，将$B(2,0)$、$C(0,-1)$代入得：
$\begin{cases} 2k+b=0 \\ b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=-1 \end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
设点$P$的横坐标为$t$，由$PM// y$轴，得$P(t,\frac{1}{4}t^2-1)$，$M(t,\frac{1}{2}t-1)$，$N(t,0)$。
则$PM=\left| (\frac{1}{4}t^2-1) - (\frac{1}{2}t-1) \right|=\left| \frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t \right|$，
$MN=\left| (\frac{1}{2}t-1) - 0 \right|=\left| \frac{1}{2}t-1 \right|$。
由$PM=2MN$，得：
$\left| \frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t \right|=2\left| \frac{1}{2}t-1 \right|$，
整理得$\frac{1}{4}|t|·|t-2|=|t-2|$。
$\because$ 点$P$不与点$B$重合，$\therefore t≠2$，即$|t-2|≠0$，
两边同时除以$|t-2|$，得$\frac{1}{4}|t|=1$，即$|t|=4$，
解得$t=4$或$t=-4$。
当$t=4$时，$y=\frac{1}{4}×4^2 -1=3$，得$P(4,3)$；
当$t=-4$时，$y=\frac{1}{4}×(-4)^2 -1=3$，得$P(-4,3)$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{4}$；(2) 点P的坐标为$(4,3)$或$(-4,3)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，解题核心是通过坐标表示线段长度，结合等量关系列方程求解，解题过程中要注意排除不符合题意的解，对学生的代数运算能力和细节把控能力有一定要求。
【难度系数】
0.6