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二、拓展性作业
9. 阅读下列材料：
材料一:下面的等式能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号:
$\sqrt{(\sqrt{1})^2+(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{1}×\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{1}-\sqrt{2})^2}=|\sqrt{1}-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
材料二:配方法是初中数学的一种重要的解题方法,它的应用非常广泛,在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到。
如:$x^2 + 2\sqrt{2}\ x + 3 = x^2 + 2·\sqrt{2}· x + (\sqrt{2})^2 +1=(x+\sqrt{2})^2 +1$。
$\because (x+\sqrt{2})^2≥0$,
$\therefore (x+\sqrt{2})^2 +1≥1$,即$x^2 +2\sqrt{2}x +3≥1$,
$\therefore x^2 +2\sqrt{2}x +3$的最小值为1。
解决下列问题:
(1)$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_$,$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\_\_\_\_\_\_$;
(2)求$x^2 +4\sqrt{3}x +11$的最小值;
(3)比较大小:$\sqrt{6}-2\_\_\_\_\_\_\sqrt{7}-\sqrt{3}$。
9. 阅读下列材料：
材料一:下面的等式能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号:
$\sqrt{(\sqrt{1})^2+(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{1}×\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{1}-\sqrt{2})^2}=|\sqrt{1}-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
材料二:配方法是初中数学的一种重要的解题方法,它的应用非常广泛,在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到。
如:$x^2 + 2\sqrt{2}\ x + 3 = x^2 + 2·\sqrt{2}· x + (\sqrt{2})^2 +1=(x+\sqrt{2})^2 +1$。
$\because (x+\sqrt{2})^2≥0$,
$\therefore (x+\sqrt{2})^2 +1≥1$,即$x^2 +2\sqrt{2}x +3≥1$,
$\therefore x^2 +2\sqrt{2}x +3$的最小值为1。
解决下列问题:
(1)$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_$,$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\_\_\_\_\_\_$;
(2)求$x^2 +4\sqrt{3}x +11$的最小值;
(3)比较大小:$\sqrt{6}-2\_\_\_\_\_\_\sqrt{7}-\sqrt{3}$。
答案
9. 解:(1)$\sqrt{3}-1$ $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
(2)原式$=x^2 +4\sqrt{3}x +12-1=(x+2\sqrt{3})^2 -1$,
$\because (x+2\sqrt{3})^2≥0$,
$\therefore$ 当$x=-2\sqrt{3}$时,$(x+2\sqrt{3})^2$取最小值0,
$\therefore x^2 +4\sqrt{3}x +11$的最小值为$0-1=-1$。
(3)＜
(2)原式$=x^2 +4\sqrt{3}x +12-1=(x+2\sqrt{3})^2 -1$,
$\because (x+2\sqrt{3})^2≥0$,
$\therefore$ 当$x=-2\sqrt{3}$时,$(x+2\sqrt{3})^2$取最小值0,
$\therefore x^2 +4\sqrt{3}x +11$的最小值为$0-1=-1$。
(3)＜
解析
【分析】
（1）双重根号化简可参考材料一的思路，将根号内的式子拆成完全平方式，再利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$去根号即可；（2）求二次三项式的最小值参考材料二的配方法，将代数式配方为“完全平方式+常数”的形式，结合完全平方的非负性即可求出最小值；（3）比较两个带根号的差式大小，可采用分子有理化的方法，将两个式子转化为分子相同的正分数，通过比较分母大小判断原数的大小。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$：
根号内$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2+1^2-2×\sqrt{3}×1=(\sqrt{3}-1)^2$，
故$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$；
化简$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$：
根号内$5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$，
故$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
(2) 对$x^2 +4\sqrt{3}x +11$配方：
原式$=x^2 + 2· x·2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2 + 11=(x+2\sqrt{3})^2 -1$，
$\because$ 完全平方具有非负性，即$(x+2\sqrt{3})^2≥0$，
$\therefore$ 当$x=-2\sqrt{3}$时，$(x+2\sqrt{3})^2$取最小值0，
此时原式的最小值为$0-1=-1$。
(3) 对两个式子分别分子有理化：
$\sqrt{6}-2=\frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{6}+2}=\frac{2}{\sqrt{6}+2}$，
$\sqrt{7}-\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}}$，
正分数中分子相同时，分母越大数值越小，$\sqrt{6}+2＞\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$，
故$\frac{2}{\sqrt{6}+2}＜\frac{2}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}}$，即$\sqrt{6}-2＜\sqrt{7}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}-1$；$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
(2) $-1$
(3) $＜$
【知识点】
双重根号化简，配方法的应用，无理数大小比较
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，解题核心是掌握配方法原理和二次根式的性质，能灵活将材料给出的方法应用到不同题型中，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
（1）双重根号化简可参考材料一的思路，将根号内的式子拆成完全平方式，再利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$去根号即可；（2）求二次三项式的最小值参考材料二的配方法，将代数式配方为“完全平方式+常数”的形式，结合完全平方的非负性即可求出最小值；（3）比较两个带根号的差式大小，可采用分子有理化的方法，将两个式子转化为分子相同的正分数，通过比较分母大小判断原数的大小。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$：
根号内$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2+1^2-2×\sqrt{3}×1=(\sqrt{3}-1)^2$，
故$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$；
化简$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$：
根号内$5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$，
故$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
(2) 对$x^2 +4\sqrt{3}x +11$配方：
原式$=x^2 + 2· x·2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2 + 11=(x+2\sqrt{3})^2 -1$，
$\because$ 完全平方具有非负性，即$(x+2\sqrt{3})^2≥0$，
$\therefore$ 当$x=-2\sqrt{3}$时，$(x+2\sqrt{3})^2$取最小值0，
此时原式的最小值为$0-1=-1$。
(3) 对两个式子分别分子有理化：
$\sqrt{6}-2=\frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{6}+2}=\frac{2}{\sqrt{6}+2}$，
$\sqrt{7}-\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}}$，
正分数中分子相同时，分母越大数值越小，$\sqrt{6}+2＞\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$，
故$\frac{2}{\sqrt{6}+2}＜\frac{2}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}}$，即$\sqrt{6}-2＜\sqrt{7}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}-1$；$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
(2) $-1$
(3) $＜$
【知识点】
双重根号化简，配方法的应用，无理数大小比较
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，解题核心是掌握配方法原理和二次根式的性质，能灵活将材料给出的方法应用到不同题型中，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
10. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
我们定义：一个整数能表示成$a^2 + b^2$（$a,b$是整数）的形式，则称这个数为“完全数”。例如，10是“完全数”。理由：$10 = 3^2 + 1^2$。再如，$M = x^2 + 2xy + 2y^2 = (x + y)^2 + y^2$（$x,y$是整数），所以$M$也是“完全数”。
【解决问题】
（1）请你再写一个小于10的“完全数”：
（2）若二次三项式$x^2 - 4x + 8$（$x$是整数）是“完全数”，可配方成$(x - m)^2 + n^2$（$m,n$为常数），则$mn$的值为
【探究问题】
（3）已知“完全数”$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5$（$x,y$是整数）的值为0，则$x + y$的值为
（4）已知$S = x^2 + 4y^2 + 2x - 12y + k$（$x,y$是整数，$k$是常数），要使$S$为“完全数”，试求出符合条件的$k$值。
【拓展结论】
（5）已知实数$x,y$满足$-x^2 + 3x + y - 2 = 0$，则$x + y$的最小值是
我们定义：一个整数能表示成$a^2 + b^2$（$a,b$是整数）的形式，则称这个数为“完全数”。例如，10是“完全数”。理由：$10 = 3^2 + 1^2$。再如，$M = x^2 + 2xy + 2y^2 = (x + y)^2 + y^2$（$x,y$是整数），所以$M$也是“完全数”。
【解决问题】
（1）请你再写一个小于10的“完全数”：
4(答案不唯一)
；并判断40是不是“完全数”。（2）若二次三项式$x^2 - 4x + 8$（$x$是整数）是“完全数”，可配方成$(x - m)^2 + n^2$（$m,n$为常数），则$mn$的值为
$\pm4$
。【探究问题】
（3）已知“完全数”$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5$（$x,y$是整数）的值为0，则$x + y$的值为
1
。（4）已知$S = x^2 + 4y^2 + 2x - 12y + k$（$x,y$是整数，$k$是常数），要使$S$为“完全数”，试求出符合条件的$k$值。
【拓展结论】
（5）已知实数$x,y$满足$-x^2 + 3x + y - 2 = 0$，则$x + y$的最小值是
1
。答案
10. 解:(1)4(答案不唯一) 40是“完全数”。
(2)$\pm4$ (3)1 (4)$k=10$。 (5)1
(2)$\pm4$ (3)1 (4)$k=10$。 (5)1
解析
【分析】
解题核心是先明确“完全数”的定义：一个整数可表示为两个整数的平方和，则该数为完全数。所有问题均围绕配方法构造完全平方式展开：（1）直接结合定义举例，再拆分40验证即可；（2）对二次三项式配方，对照形式求出m、n的值计算乘积；（3）对给定的完全数配方，利用平方的非负性求出x、y的值，再计算x+y；（4）对S配方，使常数项为0即可让S成为两个平方的和，进而求出k；（5）先将y用含x的代数式表示，代入x+y后配方求最小值。
【解析】
（1）根据定义，小于10的完全数可写为$4=2^2+0^2$（答案不唯一，如$2=1^2+1^2$、$5=2^2+1^2$均可）；
因为$40=6^2+2^2$，符合完全数的定义，所以40是“完全数”。
（2）对$x^2-4x+8$配方：
$x^2-4x+8=x^2-4x+4+4=(x-2)^2+2^2$，
对比$(x-m)^2+n^2$，得$m=2$，$n^2=4$，即$n=\pm2$，
因此$mn=2×(\pm2)=\pm4$。
（3）对$x^2+y^2-4x+2y+5$配方：
$x^2+y^2-4x+2y+5=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=(x-2)^2+(y+1)^2$，
已知该式值为0，由平方的非负性得：$x-2=0$，$y+1=0$，
解得$x=2$，$y=-1$，因此$x+y=2-1=1$。
（4）对$S=x^2+4y^2+2x-12y+k$分组配方：
$S=(x^2+2x+1)+(4y^2-12y+9)+k-1-9=(x+1)^2+(2y-3)^2+(k-10)$，
要使S为“完全数”，则剩余常数项需为0，即$k-10=0$，解得$k=10$。
（5）由$-x^2+3x+y-2=0$变形得：$y=x^2-3x+2$，
代入$x+y$得：$x+y=x+x^2-3x+2=x^2-2x+2$，
配方得：$x+y=(x-1)^2+1$，
因为$(x-1)^2≥0$，所以当$x=1$时，$x+y$取最小值$0+1=1$。
【答案】
（1）4（答案不唯一），40是“完全数”；（2）$\pm4$；（3）1；（4）$k=10$；（5）1
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题结合新定义考查配方法的灵活运用，需要准确理解新定义的内涵，熟练掌握配方技巧，同时结合完全平方的非负性求解相关问题，能有效考查代数变形能力。
【难度系数】
0.65
解题核心是先明确“完全数”的定义：一个整数可表示为两个整数的平方和，则该数为完全数。所有问题均围绕配方法构造完全平方式展开：（1）直接结合定义举例，再拆分40验证即可；（2）对二次三项式配方，对照形式求出m、n的值计算乘积；（3）对给定的完全数配方，利用平方的非负性求出x、y的值，再计算x+y；（4）对S配方，使常数项为0即可让S成为两个平方的和，进而求出k；（5）先将y用含x的代数式表示，代入x+y后配方求最小值。
【解析】
（1）根据定义，小于10的完全数可写为$4=2^2+0^2$（答案不唯一，如$2=1^2+1^2$、$5=2^2+1^2$均可）；
因为$40=6^2+2^2$，符合完全数的定义，所以40是“完全数”。
（2）对$x^2-4x+8$配方：
$x^2-4x+8=x^2-4x+4+4=(x-2)^2+2^2$，
对比$(x-m)^2+n^2$，得$m=2$，$n^2=4$，即$n=\pm2$，
因此$mn=2×(\pm2)=\pm4$。
（3）对$x^2+y^2-4x+2y+5$配方：
$x^2+y^2-4x+2y+5=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=(x-2)^2+(y+1)^2$，
已知该式值为0，由平方的非负性得：$x-2=0$，$y+1=0$，
解得$x=2$，$y=-1$，因此$x+y=2-1=1$。
（4）对$S=x^2+4y^2+2x-12y+k$分组配方：
$S=(x^2+2x+1)+(4y^2-12y+9)+k-1-9=(x+1)^2+(2y-3)^2+(k-10)$，
要使S为“完全数”，则剩余常数项需为0，即$k-10=0$，解得$k=10$。
（5）由$-x^2+3x+y-2=0$变形得：$y=x^2-3x+2$，
代入$x+y$得：$x+y=x+x^2-3x+2=x^2-2x+2$，
配方得：$x+y=(x-1)^2+1$，
因为$(x-1)^2≥0$，所以当$x=1$时，$x+y$取最小值$0+1=1$。
【答案】
（1）4（答案不唯一），40是“完全数”；（2）$\pm4$；（3）1；（4）$k=10$；（5）1
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题结合新定义考查配方法的灵活运用，需要准确理解新定义的内涵，熟练掌握配方技巧，同时结合完全平方的非负性求解相关问题，能有效考查代数变形能力。
【难度系数】
0.65
