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1. 用配方法解方程$2x^2 -12x=5$时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（
A.4
B.9
C.25
D.36
B
）。A.4
B.9
C.25
D.36
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆配方法解一元二次方程的核心步骤：首先把二次项系数化为1，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式。本题先对原方程做二次项系数化1的处理，再按配方法规则计算需要添加的常数即可。
【解析】
解：原方程为$2x^2 -12x=5$
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，可得$x^2 - 6x = \frac{5}{2}$
2. 计算需添加的常数：此时一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，一次项系数一半的平方为$(-3)^2=9$，因此方程两边都应加上9。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础操作，解题关键是牢记配方法的核心规则：二次项系数化为1后，添加的常数为一次项系数一半的平方，属于必须熟练掌握的基础运算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需回忆配方法解一元二次方程的核心步骤：首先把二次项系数化为1，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式。本题先对原方程做二次项系数化1的处理，再按配方法规则计算需要添加的常数即可。
【解析】
解：原方程为$2x^2 -12x=5$
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，可得$x^2 - 6x = \frac{5}{2}$
2. 计算需添加的常数：此时一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，一次项系数一半的平方为$(-3)^2=9$，因此方程两边都应加上9。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础操作，解题关键是牢记配方法的核心规则：二次项系数化为1后，添加的常数为一次项系数一半的平方，属于必须熟练掌握的基础运算。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解一元二次方程 $2x^2 - 4x - 1 = 0$ 时，原方程可变形为（
A.$2(x-2)^2 = 5$
B.$(x-1)^2 = 2$
C.$(x-2)^2 = 5$
D.$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
D
）。A.$2(x-2)^2 = 5$
B.$(x-1)^2 = 2$
C.$(x-2)^2 = 5$
D.$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
解决本题需按照配方法的标准步骤思考：配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，要先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，右侧化简为常数后即可匹配选项得到答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$按步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，等式两边同时加1，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$；
4. 整理得$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，重点考查配方法的操作步骤，需注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边要同时加同一个数保证等式仍然成立，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需按照配方法的标准步骤思考：配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，要先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，右侧化简为常数后即可匹配选项得到答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$按步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，等式两边同时加1，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$；
4. 整理得$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，重点考查配方法的操作步骤，需注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边要同时加同一个数保证等式仍然成立，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 一元二次方程$2x^2 - 8x + a = 0$配方为$2(x - 2)^2 = 4$，则$a$的值为
4
。答案
3.4
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，将已知配方后的式子展开整理为一元二次方程的一般形式，与题干给出的原式对比常数项即可求出a的值；思路二，对题干中的一元二次方程自行配方，再与已知的配方结果对比，也可求出a的值。两种方法中，展开配方后的式子对比系数的方法更加简便，优先选择该方法。
【解析】
方法1：将配方后的等式$2(x - 2)^2 = 4$展开整理：
1. 计算完全平方：$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 去括号：$2(x^2-4x+4)=2x^2-8x+8$
3. 等式变为$2x^2-8x+8=4$，移项整理为一般式：$2x^2-8x+8-4=0$，即$2x^2-8x+4=0$
将该式与题干给出的一元二次方程$2x^2 - 8x + a = 0$对比，可得$a=4$。
方法2：对原式$2x^2 - 8x + a = 0$配方：
1. 提取二次项系数：$2(x^2-4x)+a=0$
2. 括号内配方，加上一次项系数一半的平方4，同时括号外减去$2×4=8$保证等式成立：$2(x^2-4x+4-4)+a=0$
3. 整理得$2(x-2)^2 -8 +a=0$，即$2(x-2)^2=8-a$
已知配方结果为$2(x - 2)^2 = 4$，因此$8-a=4$，解得$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程配方法
2. 整式乘法运算
3. 等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程配方法的正用与逆用，两种解题思路都围绕配方前后方程等价的特点设计，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，将已知配方后的式子展开整理为一元二次方程的一般形式，与题干给出的原式对比常数项即可求出a的值；思路二，对题干中的一元二次方程自行配方，再与已知的配方结果对比，也可求出a的值。两种方法中，展开配方后的式子对比系数的方法更加简便，优先选择该方法。
【解析】
方法1：将配方后的等式$2(x - 2)^2 = 4$展开整理：
1. 计算完全平方：$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 去括号：$2(x^2-4x+4)=2x^2-8x+8$
3. 等式变为$2x^2-8x+8=4$，移项整理为一般式：$2x^2-8x+8-4=0$，即$2x^2-8x+4=0$
将该式与题干给出的一元二次方程$2x^2 - 8x + a = 0$对比，可得$a=4$。
方法2：对原式$2x^2 - 8x + a = 0$配方：
1. 提取二次项系数：$2(x^2-4x)+a=0$
2. 括号内配方，加上一次项系数一半的平方4，同时括号外减去$2×4=8$保证等式成立：$2(x^2-4x+4-4)+a=0$
3. 整理得$2(x-2)^2 -8 +a=0$，即$2(x-2)^2=8-a$
已知配方结果为$2(x - 2)^2 = 4$，因此$8-a=4$，解得$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程配方法
2. 整式乘法运算
3. 等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程配方法的正用与逆用，两种解题思路都围绕配方前后方程等价的特点设计，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 把一元二次方程$2x^2 - x - 1 = 0$用配方法配成$2(x - h)^2 + k = 0$的形式，则$h$和$k$的值分别为
$\frac{1}{4},-\frac{9}{8}$
。答案
4.$\frac{1}{4},-\frac{9}{8}$
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程配成指定形式，解题思路如下：首先提取二次项系数2，将二次项和一次项放入括号内；再利用完全平方公式对括号内的二次式进行配方，配方时需注意保证代数式恒等；最后整理成$2(x - h)^2 + k = 0$的标准形式，对应系数即可得到h和k的值。
【解析】
对$2x^2 - x - 1 = 0$进行配方：
第一步：提取二次项系数2，将含$x$的项合并：
$2(x^2 - \dfrac{1}{2}x) - 1 = 0$
第二步：对括号内的式子配方，一次项系数为$-\dfrac{1}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，因此括号内可改写为完全平方形式与常数的差：
$2[(x - \dfrac{1}{4})^2 - \dfrac{1}{16}] - 1 = 0$
第三步：展开并整理常数项：
$2(x - \dfrac{1}{4})^2 - 2×\dfrac{1}{16} - 1 = 0$
计算得：$2(x - \dfrac{1}{4})^2 - \dfrac{9}{8} = 0$
将上式与$2(x - h)^2 + k = 0$对比，可得$h=\dfrac{1}{4}$，$k=-\dfrac{9}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4},-\dfrac{9}{8}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题关键是先提取二次项系数，再对含x的项配方，配方时要注意保证变形前后代数式的值不变，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要将给定的一元二次方程配成指定形式，解题思路如下：首先提取二次项系数2，将二次项和一次项放入括号内；再利用完全平方公式对括号内的二次式进行配方，配方时需注意保证代数式恒等；最后整理成$2(x - h)^2 + k = 0$的标准形式，对应系数即可得到h和k的值。
【解析】
对$2x^2 - x - 1 = 0$进行配方：
第一步：提取二次项系数2，将含$x$的项合并：
$2(x^2 - \dfrac{1}{2}x) - 1 = 0$
第二步：对括号内的式子配方，一次项系数为$-\dfrac{1}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，因此括号内可改写为完全平方形式与常数的差：
$2[(x - \dfrac{1}{4})^2 - \dfrac{1}{16}] - 1 = 0$
第三步：展开并整理常数项：
$2(x - \dfrac{1}{4})^2 - 2×\dfrac{1}{16} - 1 = 0$
计算得：$2(x - \dfrac{1}{4})^2 - \dfrac{9}{8} = 0$
将上式与$2(x - h)^2 + k = 0$对比，可得$h=\dfrac{1}{4}$，$k=-\dfrac{9}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4},-\dfrac{9}{8}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题关键是先提取二次项系数，再对含x的项配方，配方时要注意保证变形前后代数式的值不变，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5. 已知一元二次方程 $3(x-3)^2 -12=0$ 的两个根正好是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长是
11
。答案
5.11
解析
【分析】
本题是一元二次方程与等腰三角形性质结合的题型，解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步将两个根分别作为等腰三角形的底边长、腰长，分两种情况讨论边长组合；第三步利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程 $3(x-3)^2 -12=0$：
移项得：$3(x-3)^2=12$
两边同时除以3得：$(x-3)^2=4$
开平方得：$x-3=\pm2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$
2. 结合等腰三角形性质分情况讨论：
情况1：若底边长为1，腰长为5，此时三边长为1、5、5
验证三边关系：$1+5＞5$，$5+5＞1$，满足三角形构成条件，周长为$1+5+5=11$
情况2：若底边长为5，腰长为1，此时三边长为5、1、1
验证三边关系：$1+1=2＜5$，不满足三角形构成条件，该情况舍去
【答案】
11
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于代数几何综合基础题，易错点是求出方程的根后直接计算周长，忽略三角形三边关系的验证，解题时要养成求出边长后先判断是否能构成三角形的习惯。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程与等腰三角形性质结合的题型，解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步将两个根分别作为等腰三角形的底边长、腰长，分两种情况讨论边长组合；第三步利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程 $3(x-3)^2 -12=0$：
移项得：$3(x-3)^2=12$
两边同时除以3得：$(x-3)^2=4$
开平方得：$x-3=\pm2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$
2. 结合等腰三角形性质分情况讨论：
情况1：若底边长为1，腰长为5，此时三边长为1、5、5
验证三边关系：$1+5＞5$，$5+5＞1$，满足三角形构成条件，周长为$1+5+5=11$
情况2：若底边长为5，腰长为1，此时三边长为5、1、1
验证三边关系：$1+1=2＜5$，不满足三角形构成条件，该情况舍去
【答案】
11
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于代数几何综合基础题，易错点是求出方程的根后直接计算周长，忽略三角形三边关系的验证，解题时要养成求出边长后先判断是否能构成三角形的习惯。
【难度系数】
0.7
6. 用配方法解下列方程：
(1)$2x^2 -4x -3=0$；
(2)$3x^2 -1=4x$。
(1)$2x^2 -4x -3=0$；
(2)$3x^2 -1=4x$。
答案
6.(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解。解题步骤可分为四步：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解，注意正数开平方有两个互为相反数的根，不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 -4x -3=0$
① 二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x - \frac{3}{2}=0$
② 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$
③ 配方，两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方$(-1)^2=1$：
$x^2 -2x +1 = \frac{3}{2} +1$
整理得：$(x-1)^2 = \frac{5}{2}$
④ 开平方，得：
$x-1 = ±\sqrt{\frac{5}{2}} = ±\frac{\sqrt{10}}{2}$
解得：$x=1 ±\frac{\sqrt{10}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 -1=4x$
① 移项整理得：$3x^2 -4x =1$
② 二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{1}{3}$
③ 配方，两边同时加上一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$：
$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{1}{3} + \frac{4}{9}$
整理得：$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{7}{9}$
④ 开平方，得：
$x - \frac{2}{3} = ±\frac{\sqrt{7}}{3}$
解得：$x = \frac{2}{3} ±\frac{\sqrt{7}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用，解题时要严格按照配方法的步骤操作，注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时左右两边需同时加相同的数，开平方时不要遗漏负根，计算过程中注意根式的化简。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解。解题步骤可分为四步：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解，注意正数开平方有两个互为相反数的根，不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 -4x -3=0$
① 二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x - \frac{3}{2}=0$
② 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$
③ 配方，两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方$(-1)^2=1$：
$x^2 -2x +1 = \frac{3}{2} +1$
整理得：$(x-1)^2 = \frac{5}{2}$
④ 开平方，得：
$x-1 = ±\sqrt{\frac{5}{2}} = ±\frac{\sqrt{10}}{2}$
解得：$x=1 ±\frac{\sqrt{10}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 -1=4x$
① 移项整理得：$3x^2 -4x =1$
② 二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{1}{3}$
③ 配方，两边同时加上一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$：
$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{1}{3} + \frac{4}{9}$
整理得：$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{7}{9}$
④ 开平方，得：
$x - \frac{2}{3} = ±\frac{\sqrt{7}}{3}$
解得：$x = \frac{2}{3} ±\frac{\sqrt{7}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用，解题时要严格按照配方法的步骤操作，注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时左右两边需同时加相同的数，开平方时不要遗漏负根，计算过程中注意根式的化简。
【难度系数】
0.8
7. 小颖在解方程 $2x^2 -8x +3=0$ 时出现了错误，解答过程如下：
解方程：$2x^2 -8x +3=0$。
解：$2x^2 -8x = -3$，……第一步
$x^2 -4x = -3$，……第二步
$x^2 -4x +4 = -3 +4$，……第三步
$(x-2)^2 =1$，……第四步
$x-2=\pm1$，……第五步
$x_1=3, x_2=1$。……第六步
(1)小颖的解答过程从第
(2)请你写出此题正确的解题过程。
解方程：$2x^2 -8x +3=0$。
解：$2x^2 -8x = -3$，……第一步
$x^2 -4x = -3$，……第二步
$x^2 -4x +4 = -3 +4$，……第三步
$(x-2)^2 =1$，……第四步
$x-2=\pm1$，……第五步
$x_1=3, x_2=1$。……第六步
(1)小颖的解答过程从第
二
步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2
；(2)请你写出此题正确的解题过程。
答案
7. 解:(1)二 等式右边没有除以2
(2)$2x^2 -8x = -3$,
$x^2 -4x = -\frac{3}{2}$,
$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{2}+4$,
$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$,
$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
即 $x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
(2)$2x^2 -8x = -3$,
$x^2 -4x = -\frac{3}{2}$,
$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{2}+4$,
$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$,
$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
即 $x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕配方法解一元二次方程展开考查。解答第一问时，先回忆配方法的标准步骤：先移项，再将二次项系数化为1（依据等式的基本性质，等式两边需同时除以二次项系数），之后配方、开方求解。对照小颖的步骤，第一步移项操作正确，第二步将二次项系数化为1时，仅左边除以2，右边没有同步除以2，因此第二步出错。第二问只需严格按照配方法的规范步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 小颖第一步移项得$2x^2 -8x = -3$是正确的；第二步需要将二次项系数化为1，等式两边应同时除以2，左边变为$x^2-4x$，右边应为$-3÷2=-\frac{3}{2}$，但小颖没有将等式右边除以2，因此从第二步开始出错，错误原因为等式右边没有除以2。
(2) 正确解题过程：
移项，得$2x^2 -8x = -3$，
二次项系数化为1，得$x^2 -4x = -\frac{3}{2}$，
配方，等式两边同时加4，得$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{2}+4$，
整理得$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) 二；等式右边没有除以2
(2) $2x^2 -8x = -3$,
$x^2 -4x = -\frac{3}{2}$,
$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{2}+4$,
$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$,
$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
即 $x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的规范操作，解题的核心是注意系数化为1时等式两边要同时除以二次项系数，避免出现漏除的错误，属于一元二次方程解法中的基础题型，需熟练掌握配方法的操作流程。
【难度系数】
0.8
本题围绕配方法解一元二次方程展开考查。解答第一问时，先回忆配方法的标准步骤：先移项，再将二次项系数化为1（依据等式的基本性质，等式两边需同时除以二次项系数），之后配方、开方求解。对照小颖的步骤，第一步移项操作正确，第二步将二次项系数化为1时，仅左边除以2，右边没有同步除以2，因此第二步出错。第二问只需严格按照配方法的规范步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 小颖第一步移项得$2x^2 -8x = -3$是正确的；第二步需要将二次项系数化为1，等式两边应同时除以2，左边变为$x^2-4x$，右边应为$-3÷2=-\frac{3}{2}$，但小颖没有将等式右边除以2，因此从第二步开始出错，错误原因为等式右边没有除以2。
(2) 正确解题过程：
移项，得$2x^2 -8x = -3$，
二次项系数化为1，得$x^2 -4x = -\frac{3}{2}$，
配方，等式两边同时加4，得$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{2}+4$，
整理得$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) 二；等式右边没有除以2
(2) $2x^2 -8x = -3$,
$x^2 -4x = -\frac{3}{2}$,
$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{2}+4$,
$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$,
$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
即 $x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的规范操作，解题的核心是注意系数化为1时等式两边要同时除以二次项系数，避免出现漏除的错误，属于一元二次方程解法中的基础题型，需熟练掌握配方法的操作流程。
【难度系数】
0.8
8. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。
例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^2+2x+3$的最小值。
解:$x^2+2x+3=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2$,
∵无论x取何实数,都有$(x+1)^2≥0$,
∴$(x+1)^2+2≥2$,即$x^2+2x+3$的最小值为2。
试利用配方法解决下列问题:
(1)直接写出$x^2-6x+12$的最小值:
(2)比较代数式$3x^2 -x +2$与$2x^2 +3x -6$的大小,并说明理由。
(3)如图2-2-3,在四边形ABCD中,$AC⊥BD$。若$AC+BD=10$,求四边形ABCD面积的最大值。
图2-2-3
例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^2+2x+3$的最小值。
解:$x^2+2x+3=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2$,
∵无论x取何实数,都有$(x+1)^2≥0$,
∴$(x+1)^2+2≥2$,即$x^2+2x+3$的最小值为2。
试利用配方法解决下列问题:
(1)直接写出$x^2-6x+12$的最小值:
3
。(2)比较代数式$3x^2 -x +2$与$2x^2 +3x -6$的大小,并说明理由。
(3)如图2-2-3,在四边形ABCD中,$AC⊥BD$。若$AC+BD=10$,求四边形ABCD面积的最大值。
图2-2-3
答案
8. 解:(1)3
(2)$3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$。理由如下：
$\because 3x^2 -x +2-(2x^2 +3x -6)=(x-2)^2+4＞0$,
$\therefore 3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$。
(3)$\because S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}AC^2+5AC=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$,
$\therefore$ 四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$。
(2)$3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$。理由如下：
$\because 3x^2 -x +2-(2x^2 +3x -6)=(x-2)^2+4＞0$,
$\therefore 3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$。
(3)$\because S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}AC^2+5AC=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$,
$\therefore$ 四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求二次三项式的最小值，可通过配方法将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方式的非负性，常数就是所求最小值。
(2) 比较两个代数式大小优先用作差法，将两个代数式作差后配方，判断差的正负性即可确定二者的大小关系。
(3) 对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，先根据$AC+BD=10$将面积表示为关于$AC$的二次代数式，再用配方法求最大值即可。
【解析】
(1) 对$x^2-6x+12$配方：
$x^2-6x+12=x^2-6x+9+3=(x-3)^2+3$，
∵无论$x$取何实数，都有$(x-3)^2≥0$，
∴$(x-3)^2+3≥3$，即$x^2-6x+12$的最小值为3。
(2) $3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$，理由如下：
将两个代数式作差：
$3x^2 -x +2-(2x^2 +3x -6)=3x^2 -x +2-2x^2 -3x +6=x^2-4x+8$，
配方得：$x^2-4x+8=(x-2)^2+4$，
∵无论$x$取何实数，$(x-2)^2≥0$，
∴$(x-2)^2+4＞0$，即两个代数式的差为正数，
∴$3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$。
(3)
∵$AC⊥BD$，
∴四边形ABCD的面积$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD$，
已知$AC+BD=10$，则$BD=10-AC$，代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}AC^2+5AC$，
配方得：$S=-\frac{1}{2}(AC^2-10AC)=-\frac{1}{2}(AC^2-10AC+25-25)=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$，
∵$-\frac{1}{2}(AC-5)^2≤0$，
∴$S≤\frac{25}{2}$，即四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6}$
(3) $\boxed{\dfrac{25}{2}}$
【知识点】
配方法的应用；作差法比较大小；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题围绕配方法的拓展应用展开，结合了代数和几何的基础知识点，解题的核心是熟练掌握配方法的步骤，理解完全平方式的非负性，同时牢记对角线互相垂直的四边形面积公式，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次三项式的最小值，可通过配方法将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方式的非负性，常数就是所求最小值。
(2) 比较两个代数式大小优先用作差法，将两个代数式作差后配方，判断差的正负性即可确定二者的大小关系。
(3) 对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，先根据$AC+BD=10$将面积表示为关于$AC$的二次代数式，再用配方法求最大值即可。
【解析】
(1) 对$x^2-6x+12$配方：
$x^2-6x+12=x^2-6x+9+3=(x-3)^2+3$，
∵无论$x$取何实数，都有$(x-3)^2≥0$，
∴$(x-3)^2+3≥3$，即$x^2-6x+12$的最小值为3。
(2) $3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$，理由如下：
将两个代数式作差：
$3x^2 -x +2-(2x^2 +3x -6)=3x^2 -x +2-2x^2 -3x +6=x^2-4x+8$，
配方得：$x^2-4x+8=(x-2)^2+4$，
∵无论$x$取何实数，$(x-2)^2≥0$，
∴$(x-2)^2+4＞0$，即两个代数式的差为正数，
∴$3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6$。
(3)
∵$AC⊥BD$，
∴四边形ABCD的面积$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD$，
已知$AC+BD=10$，则$BD=10-AC$，代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}AC^2+5AC$，
配方得：$S=-\frac{1}{2}(AC^2-10AC)=-\frac{1}{2}(AC^2-10AC+25-25)=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$，
∵$-\frac{1}{2}(AC-5)^2≤0$，
∴$S≤\frac{25}{2}$，即四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{3x^2 -x +2＞2x^2 +3x -6}$
(3) $\boxed{\dfrac{25}{2}}$
【知识点】
配方法的应用；作差法比较大小；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题围绕配方法的拓展应用展开，结合了代数和几何的基础知识点，解题的核心是熟练掌握配方法的步骤，理解完全平方式的非负性，同时牢记对角线互相垂直的四边形面积公式，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
