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二、拓展性作业
9. 阅读下面的材料：
我们知道面积是5的正方形边长是$\sqrt{5}$，因为$2＜\sqrt{5}＜3$，且更接近2，所以设$\sqrt{5}=2+x$，将正方形边长分为2与x两部分，如图2-2-1所示。由面积公式，可得$x^2+4x+4=5$。因为x较小，所以略去$x^2$，得方程$4x+4=5$，解得$x=0.25$。
（1）根据上述材料，可以得到$\sqrt{5}\approx$
（2）请类比所给方法，探究$\sqrt{10}$的近似值。（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数）
图2-2-1
9. 阅读下面的材料：
我们知道面积是5的正方形边长是$\sqrt{5}$，因为$2＜\sqrt{5}＜3$，且更接近2，所以设$\sqrt{5}=2+x$，将正方形边长分为2与x两部分，如图2-2-1所示。由面积公式，可得$x^2+4x+4=5$。因为x较小，所以略去$x^2$，得方程$4x+4=5$，解得$x=0.25$。
（1）根据上述材料，可以得到$\sqrt{5}\approx$
2.25
；（2）请类比所给方法，探究$\sqrt{10}$的近似值。（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数）
图2-2-1
答案
9. 解:(1)2.25
(2)
∵$3＜\sqrt{10}＜4$,且更接近3,
∴设$\sqrt{10}=3+x$。
如答图2-2-1,将正方形边长分为3与x两部分，
由面积公式,可得$x^2+6x+9=10$。
∵x较小，
∴略去$x^2$,得方程$6x+9=10$，
解得$x=\frac{1}{6}$，
∴$\sqrt{10}=3+x≈3.17$。
解析
【分析】
（1）第一问可直接沿用材料的推导结果，材料中已求得设$\sqrt{5}=2+x$时$x=0.25$，将x代入即可得到$\sqrt{5}$的近似值。
（2）第二问类比材料方法求解：①先确定$\sqrt{10}$的整数范围，因为$3^2=9$，$4^2=16$，10更接近9，所以$\sqrt{10}$介于3和4之间，设$\sqrt{10}=3+x$（x为很小的正数）；②根据正方形面积公式，边长为$3+x$的正方形面积为10，用完全平方公式展开得到方程；③由于x极小，$x^2$可忽略，将方程简化为一元一次方程求解，最后将x加上整数部分3，按要求保留两位小数即可得到结果。
【解析】
（1）由材料推导可知，设$\sqrt{5}=2+x$时，解得$x=0.25$，因此$\sqrt{5}\approx2+0.25=2.25$。
（2）首先估算$\sqrt{10}$的取值范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$，且10更接近9，因此设$\sqrt{10}=3+x$（x为较小的正数）。
如答图2-2-1，将边长为$\sqrt{10}$的正方形的边长分为3和x两部分，根据正方形面积公式可得：
$(3+x)^2=10$
展开完全平方式得：$x^2+6x+9=10$
$\because x$的值很小，$x^2$项可忽略不计，因此方程简化为：
$6x+9=10$
解得$x=\frac{1}{6}\approx0.17$
因此$\sqrt{10}=3+x\approx3+0.17=3.17$。
【答案】
(1) $\boxed{2.25}$
(2) $\sqrt{10}\approx\boxed{3.17}$
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式，近似计算
【点评】
本题为阅读类比类题型，侧重考查材料阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题核心是读懂材料中“忽略极小值$x^2$”的近似计算逻辑，再将该方法迁移到新的无理数估算场景中，解题时需注意结果的保留位数要求。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可直接沿用材料的推导结果，材料中已求得设$\sqrt{5}=2+x$时$x=0.25$，将x代入即可得到$\sqrt{5}$的近似值。
（2）第二问类比材料方法求解：①先确定$\sqrt{10}$的整数范围，因为$3^2=9$，$4^2=16$，10更接近9，所以$\sqrt{10}$介于3和4之间，设$\sqrt{10}=3+x$（x为很小的正数）；②根据正方形面积公式，边长为$3+x$的正方形面积为10，用完全平方公式展开得到方程；③由于x极小，$x^2$可忽略，将方程简化为一元一次方程求解，最后将x加上整数部分3，按要求保留两位小数即可得到结果。
【解析】
（1）由材料推导可知，设$\sqrt{5}=2+x$时，解得$x=0.25$，因此$\sqrt{5}\approx2+0.25=2.25$。
（2）首先估算$\sqrt{10}$的取值范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$，且10更接近9，因此设$\sqrt{10}=3+x$（x为较小的正数）。
如答图2-2-1，将边长为$\sqrt{10}$的正方形的边长分为3和x两部分，根据正方形面积公式可得：
$(3+x)^2=10$
展开完全平方式得：$x^2+6x+9=10$
$\because x$的值很小，$x^2$项可忽略不计，因此方程简化为：
$6x+9=10$
解得$x=\frac{1}{6}\approx0.17$
因此$\sqrt{10}=3+x\approx3+0.17=3.17$。
【答案】
(1) $\boxed{2.25}$
(2) $\sqrt{10}\approx\boxed{3.17}$
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式，近似计算
【点评】
本题为阅读类比类题型，侧重考查材料阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题核心是读懂材料中“忽略极小值$x^2$”的近似计算逻辑，再将该方法迁移到新的无理数估算场景中，解题时需注意结果的保留位数要求。
【难度系数】
0.7
10. 形如 $x^2 + 2xy + y^2$，$x^2 - 2xy + y^2$ 的代数式叫作完全平方式，我们经常将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性求代数式的最大值或最小值，这种解题方法叫作配方法。
如：求 $a^2 - 4a$ 的最小值。
解：$a^2 - 4a = a^2 - 4a + 2^2 - 2^2 = (a - 2)^2 - 4$，
∵不论 $a$ 取何值，$(a - 2)^2$ 总是非负数，即 $(a - 2)^2 ≥ 0$，
∴$(a - 2)^2 - 4 ≥ -4$，即当 $a = 2$ 时，$a^2 - 4a$ 取最小值 $-4$。
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 若多项式 $x^2 - 6x + k$ 是一个完全平方式，则常数 $k = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 求代数式 $x^2 + 8x + 20$ 的最小值；
(3) 如图 2-2-2，在 $△ ABC$ 中，$BD$ 为 $AC$ 边上的高，$AC = a$，$BD = b$，$2a + b = 4$，求 $△ ABC$ 面积的最大值。
图 2-2-2
如：求 $a^2 - 4a$ 的最小值。
解：$a^2 - 4a = a^2 - 4a + 2^2 - 2^2 = (a - 2)^2 - 4$，
∵不论 $a$ 取何值，$(a - 2)^2$ 总是非负数，即 $(a - 2)^2 ≥ 0$，
∴$(a - 2)^2 - 4 ≥ -4$，即当 $a = 2$ 时，$a^2 - 4a$ 取最小值 $-4$。
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 若多项式 $x^2 - 6x + k$ 是一个完全平方式，则常数 $k = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 求代数式 $x^2 + 8x + 20$ 的最小值；
(3) 如图 2-2-2，在 $△ ABC$ 中，$BD$ 为 $AC$ 边上的高，$AC = a$，$BD = b$，$2a + b = 4$，求 $△ ABC$ 面积的最大值。
图 2-2-2
答案
10. 解:(1)9
(2)由题意得,$x^2+8x+20=(x+4)^2-16+20=(x+4)^2+4$。
∵对于任意实数x都有$(x+4)^2≥0$，
∴$x^2+8x+20=(x+4)^2+4≥4$。
∴当x=-4时,$x^2+8x+20$取最小值4。
∴代数式$x^2+8x+20$的最小值为4。
(3)由题意得,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BD=\frac{1}{2}ab$。
∵2a+b=4,
∴b=4-2a。
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}a(4-2a)=2a-a^2=-(a-1)^2+1$。
∴当a=1时,$S_{△ABC}$取最大值1。
∴△ABC面积的最大值为1。
(2)由题意得,$x^2+8x+20=(x+4)^2-16+20=(x+4)^2+4$。
∵对于任意实数x都有$(x+4)^2≥0$，
∴$x^2+8x+20=(x+4)^2+4≥4$。
∴当x=-4时,$x^2+8x+20$取最小值4。
∴代数式$x^2+8x+20$的最小值为4。
(3)由题意得,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BD=\frac{1}{2}ab$。
∵2a+b=4,
∴b=4-2a。
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}a(4-2a)=2a-a^2=-(a-1)^2+1$。
∴当a=1时,$S_{△ABC}$取最大值1。
∴△ABC面积的最大值为1。
解析
【分析】
(1) 完全平方式的结构为$m^2\pm2mn+n^2$，对多项式$x^2-6x+k$，对比结构可得$m=x$，$2mn=6x$，由此求出$n$的值，即可计算常数项$k$。
(2) 求代数式最值遵循配方法步骤：先将二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，再减去多加的常数，将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，结合完全平方式的非负性即可求出最小值。
(3) 先根据三角形面积公式写出$△ ABC$的面积表达式，再结合已知条件$2a+b=4$，将面积表达式转化为仅含$a$的二次代数式，用配方法变形后，利用完全平方式的非负性即可求出面积最大值。
【解析】
(1) 已知$x^2-6x+k$是完全平方式，对照完全平方式$x^2-2· x·3 + 3^2$，可得$k=3^2=9$。
(2) 对$x^2+8x+20$配方：
$x^2+8x+20=x^2+8x+16 -16 +20=(x+4)^2+4$
∵无论$x$取任意实数，都有$(x+4)^2≥0$，
∴$(x+4)^2+4≥4$，即当$x=-4$时，代数式$x^2+8x+20$取得最小值4。
(3) 由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}ab$。
已知$2a+b=4$，则$b=4-2a$，代入面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}a(4-2a)=2a - a^2$
配方得：$S_{△ ABC}=-(a^2-2a)=-(a^2-2a+1 -1)=-(a-1)^2 +1$
∵$(a-1)^2≥0$，
∴$-(a-1)^2≤0$，因此$-(a-1)^2 +1≤1$，
即当$a=1$时，$△ ABC$的面积取得最大值1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
完全平方式，配方法求最值，三角形面积计算
【点评】
本题以阅读材料的形式考查配方法的应用，涵盖了完全平方式识别、代数最值求解、几何与代数的转化三类考点，需要熟练掌握配方法的操作步骤，理解完全平方式的非负性，是侧重方法应用的基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 完全平方式的结构为$m^2\pm2mn+n^2$，对多项式$x^2-6x+k$，对比结构可得$m=x$，$2mn=6x$，由此求出$n$的值，即可计算常数项$k$。
(2) 求代数式最值遵循配方法步骤：先将二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，再减去多加的常数，将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，结合完全平方式的非负性即可求出最小值。
(3) 先根据三角形面积公式写出$△ ABC$的面积表达式，再结合已知条件$2a+b=4$，将面积表达式转化为仅含$a$的二次代数式，用配方法变形后，利用完全平方式的非负性即可求出面积最大值。
【解析】
(1) 已知$x^2-6x+k$是完全平方式，对照完全平方式$x^2-2· x·3 + 3^2$，可得$k=3^2=9$。
(2) 对$x^2+8x+20$配方：
$x^2+8x+20=x^2+8x+16 -16 +20=(x+4)^2+4$
∵无论$x$取任意实数，都有$(x+4)^2≥0$，
∴$(x+4)^2+4≥4$，即当$x=-4$时，代数式$x^2+8x+20$取得最小值4。
(3) 由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}ab$。
已知$2a+b=4$，则$b=4-2a$，代入面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}a(4-2a)=2a - a^2$
配方得：$S_{△ ABC}=-(a^2-2a)=-(a^2-2a+1 -1)=-(a-1)^2 +1$
∵$(a-1)^2≥0$，
∴$-(a-1)^2≤0$，因此$-(a-1)^2 +1≤1$，
即当$a=1$时，$△ ABC$的面积取得最大值1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
完全平方式，配方法求最值，三角形面积计算
【点评】
本题以阅读材料的形式考查配方法的应用，涵盖了完全平方式识别、代数最值求解、几何与代数的转化三类考点，需要熟练掌握配方法的操作步骤，理解完全平方式的非负性，是侧重方法应用的基础综合题。
【难度系数】
0.7
