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1. 用公式法解方程$x^2 + 2x = 3$时，求根公式中的$a,b,c$的值分别是(
A.$1,2,3$
B.$1,-2,3$
C.$1,2,-3$
D.$1,-2,-3$
C
)。A.$1,2,3$
B.$1,-2,3$
C.$1,2,-3$
D.$1,-2,-3$
答案
1.C
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程时，首先要将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先对给定方程移项得到一般形式，再对应匹配$a、b、c$即可，注意移项时要变号，不能直接使用原式等号右侧的数作为常数项$c$。
【解析】
先将方程$x^2 + 2x = 3$移项，把等号右侧的$3$移到左侧，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2x - 3 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程系数的识别，易错点是未将方程转化为一般形式就直接确定系数，或移项时符号出错，掌握一元二次方程一般形式的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.9
使用公式法解一元二次方程时，首先要将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先对给定方程移项得到一般形式，再对应匹配$a、b、c$即可，注意移项时要变号，不能直接使用原式等号右侧的数作为常数项$c$。
【解析】
先将方程$x^2 + 2x = 3$移项，把等号右侧的$3$移到左侧，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2x - 3 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程系数的识别，易错点是未将方程转化为一般形式就直接确定系数，或移项时符号出错，掌握一元二次方程一般形式的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.9
2. 下列方程中没有实数根的是(
A.$2x + 3 = 0$
B.$3x^2 - 5x + 2 = 0$
C.$2x^2 + 3x - 1 = 0$
D.$x^2 + 2x + 2 = 0$
D
)。A.$2x + 3 = 0$
B.$3x^2 - 5x + 2 = 0$
C.$2x^2 + 3x - 1 = 0$
D.$x^2 + 2x + 2 = 0$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断方程是否有实数根，分两类情况处理：1. 一元一次方程：整式一元一次方程都存在唯一实数根，直接求解即可判断；2. 一元二次方程：用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，若$\Delta≥0$则有实数根，若$\Delta＜0$则没有实数根。解题时逐个分析选项，先区分方程类型，再对应方法判断即可。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 属于一元一次方程，解方程得$x=-\frac{3}{2}$，有实数根，不符合题意；
B. 属于一元二次方程，$a=3,b=-5,c=2$，判别式$\Delta=(-5)^2-4×3×2=25-24=1＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C. 属于一元二次方程，$a=2,b=3,c=-1$，判别式$\Delta=3^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
D. 属于一元二次方程，$a=1,b=2,c=2$，判别式$\Delta=2^2-4×1×2=4-8=-4＜0$，没有实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元一次方程的解
【点评】
本题考查不同类型方程实数根的判断，核心是掌握一元二次方程根的判别式的应用方法，属于基础概念应用类考题，掌握判别式规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断方程是否有实数根，分两类情况处理：1. 一元一次方程：整式一元一次方程都存在唯一实数根，直接求解即可判断；2. 一元二次方程：用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，若$\Delta≥0$则有实数根，若$\Delta＜0$则没有实数根。解题时逐个分析选项，先区分方程类型，再对应方法判断即可。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 属于一元一次方程，解方程得$x=-\frac{3}{2}$，有实数根，不符合题意；
B. 属于一元二次方程，$a=3,b=-5,c=2$，判别式$\Delta=(-5)^2-4×3×2=25-24=1＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C. 属于一元二次方程，$a=2,b=3,c=-1$，判别式$\Delta=3^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
D. 属于一元二次方程，$a=1,b=2,c=2$，判别式$\Delta=2^2-4×1×2=4-8=-4＜0$，没有实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元一次方程的解
【点评】
本题考查不同类型方程实数根的判断，核心是掌握一元二次方程根的判别式的应用方法，属于基础概念应用类考题，掌握判别式规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 如果一元二次方程$x^2 + px + q = 0$能用公式法求解，那么必须满足的条件是（
A.$p^2 - 4q ≥ 0$
B.$p^2 - 4q ≤ 0$
C.$p^2 - 4q ＞ 0$
D.$p^2 - 4q ＜ 0$
A
）。A.$p^2 - 4q ≥ 0$
B.$p^2 - 4q ≤ 0$
C.$p^2 - 4q ＞ 0$
D.$p^2 - 4q ＜ 0$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆公式法解一元二次方程的要求：求根公式中根号下的部分（即根的判别式）必须是非负数，否则根号无实数意义，无法求出实数根。接下来我们先确定给定方程的各项系数，代入判别式表达式，再根据非负要求判断即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，要使用公式法求解，需保证根号内的被开方数$b^2-4ac≥0$（即根的判别式$\Delta≥0$）。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应可得$a=1$，$b=p$，$c=q$，代入判别式得：
$\Delta = b^2-4ac = p^2 - 4×1× q = p^2-4q$
因此需满足$p^2 - 4q≥0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是理解公式法求根的前提是判别式非负，只要熟记判别式的意义和公式法的适用条件就能快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆公式法解一元二次方程的要求：求根公式中根号下的部分（即根的判别式）必须是非负数，否则根号无实数意义，无法求出实数根。接下来我们先确定给定方程的各项系数，代入判别式表达式，再根据非负要求判断即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，要使用公式法求解，需保证根号内的被开方数$b^2-4ac≥0$（即根的判别式$\Delta≥0$）。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应可得$a=1$，$b=p$，$c=q$，代入判别式得：
$\Delta = b^2-4ac = p^2 - 4×1× q = p^2-4q$
因此需满足$p^2 - 4q≥0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是理解公式法求根的前提是判别式非负，只要熟记判别式的意义和公式法的适用条件就能快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 已知一元二次方程$2x^2 - 3x = 1$，用求根公式
求解时$c$的值是
求解时$c$的值是-1
。答案
4.-1
解析
【分析】
要确定求根公式中c的值，首先需要明确求根公式是对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）推导而来的，因此解题第一步需要把给定的一元二次方程化为右边为0的一般形式，再对应找到常数项c的值，注意要保留系数的符号。
【解析】
首先将给定方程$2x^2 - 3x = 1$整理为一般形式：
将等号右侧的1移到左侧，得$2x^2 - 3x - 1 = 0$，
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），可得常数项$c=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的一般形式；求根公式的应用
【点评】
本题是基础题，解题的核心是明确使用求根公式前必须将方程化为一般形式，确定各项系数时要特别注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
要确定求根公式中c的值，首先需要明确求根公式是对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）推导而来的，因此解题第一步需要把给定的一元二次方程化为右边为0的一般形式，再对应找到常数项c的值，注意要保留系数的符号。
【解析】
首先将给定方程$2x^2 - 3x = 1$整理为一般形式：
将等号右侧的1移到左侧，得$2x^2 - 3x - 1 = 0$，
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），可得常数项$c=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的一般形式；求根公式的应用
【点评】
本题是基础题，解题的核心是明确使用求根公式前必须将方程化为一般形式，确定各项系数时要特别注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
5. 若关于x的一元二次方程$x^2 + 6x + m = 0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
$m＜9$
。答案
5.$m＜9$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：当一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$。本题中先确定方程对应$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 6x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=6$，常数项$c=m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta ＞ 0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4×1× m ＞ 0$
化简得：$36 - 4m ＞ 0$
移项得：$4m ＜ 36$
两边同时除以4，解得：$m ＜ 9$
【答案】
$m＜9$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是准确记忆不同根的情况对应的判别式取值范围，计算难度低，掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：当一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$。本题中先确定方程对应$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 6x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=6$，常数项$c=m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta ＞ 0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4×1× m ＞ 0$
化简得：$36 - 4m ＞ 0$
移项得：$4m ＜ 36$
两边同时除以4，解得：$m ＜ 9$
【答案】
$m＜9$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是准确记忆不同根的情况对应的判别式取值范围，计算难度低，掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
6. 解方程：
(1)$2x^2 + 3x - 1 = 0$；
(2)$x^2 - 1 = 4x$；
(3)$x^2 + 5 = 4x$；
(4)$(x - 2)(x + 5) = 18$。
(1)$2x^2 + 3x - 1 = 0$；
(2)$x^2 - 1 = 4x$；
(3)$x^2 + 5 = 4x$；
(4)$(x - 2)(x + 5) = 18$。
答案
6.(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；
(3)方程无实数根；
(4)$x_1=-7,x_2=4$。
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；
(3)方程无实数根；
(4)$x_1=-7,x_2=4$。
解析
【分析】
这4道题均为一元二次方程求解问题，解题思路可按以下步骤开展：第一步，先将每个方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式；第二步，优先判断是否可通过因式分解法快速求解，若不易分解则使用公式法：先计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$，方程无实数根；若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的实数根。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$为一般形式，其中$a=2,b=3,c=-1$，
计算判别式：$\Delta = 3^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$。
(2) 先移项整理为一般形式：$x^2-4x-1=0$，其中$a=1,b=-4,c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-4)^2-4×1×(-1)=16+4=20＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$。
(3) 先移项整理为一般形式：$x^2-4x+5=0$，其中$a=1,b=-4,c=5$，
计算判别式：$\Delta = (-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，
因此该方程无实数根。
(4) 先展开左边并整理为一般形式：
$(x - 2)(x + 5) = 18$
$x^2+5x-2x-10=18$
$x^2+3x-28=0$，
因式分解得：$(x+7)(x-4)=0$，
令$x+7=0$或$x-4=0$，解得$x_1=-7,x_2=4$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；
(3)方程无实数根；
(4)$x_1=-7,x_2=4$。
【知识点】
一元二次方程解法，根的判别式，求根公式
【点评】
本组题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意先将方程化为一般形式再计算，不要漏判判别式小于0的情况，计算过程中注意符号即可得分。
【难度系数】
0.7
这4道题均为一元二次方程求解问题，解题思路可按以下步骤开展：第一步，先将每个方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式；第二步，优先判断是否可通过因式分解法快速求解，若不易分解则使用公式法：先计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$，方程无实数根；若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的实数根。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$为一般形式，其中$a=2,b=3,c=-1$，
计算判别式：$\Delta = 3^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$。
(2) 先移项整理为一般形式：$x^2-4x-1=0$，其中$a=1,b=-4,c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-4)^2-4×1×(-1)=16+4=20＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$。
(3) 先移项整理为一般形式：$x^2-4x+5=0$，其中$a=1,b=-4,c=5$，
计算判别式：$\Delta = (-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，
因此该方程无实数根。
(4) 先展开左边并整理为一般形式：
$(x - 2)(x + 5) = 18$
$x^2+5x-2x-10=18$
$x^2+3x-28=0$，
因式分解得：$(x+7)(x-4)=0$，
令$x+7=0$或$x-4=0$，解得$x_1=-7,x_2=4$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；
(3)方程无实数根；
(4)$x_1=-7,x_2=4$。
【知识点】
一元二次方程解法，根的判别式，求根公式
【点评】
本组题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意先将方程化为一般形式再计算，不要漏判判别式小于0的情况，计算过程中注意符号即可得分。
【难度系数】
0.7
7. 已知关于$x$的方程$x^2 + 2kx + k^2 -1=0$。
（1）试说明无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求$2k^2 +12k +2025$的值。
（1）试说明无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求$2k^2 +12k +2025$的值。
答案
7. 解:(1)$\because \Delta=(2k)^2-4×1×(k^2-1)=4k^2-4k^2+4=4＞0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)$\because$方程有一个根为3，
$\therefore 9+6k+k^2-1=0$，即$k^2+6k=-8$，
$\therefore 2k^2+12k+2025=2(k^2+6k)+2025=-16+2025=2009$。
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)$\because$方程有一个根为3，
$\therefore 9+6k+k^2-1=0$，即$k^2+6k=-8$，
$\therefore 2k^2+12k+2025=2(k^2+6k)+2025=-16+2025=2009$。
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程根的情况需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式化简，判断结果是否恒大于0即可。
（2）已知方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程可得到关于$k$的等式，观察所求代数式的结构，可将得到的等式变形后整体代入，无需单独计算$k$的值，简化计算过程。
【解析】
（1）在方程$x^2 + 2kx + k^2 -1=0$中，$a=1$，$b=2k$，$c=k^2-1$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (2k)^2 - 4×1×(k^2-1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4 ＞ 0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）$\because$方程有一个根为3，将$x=3$代入原方程得：
$3^2 + 2k×3 + k^2 -1 = 0$，
整理得$k^2 + 6k = -8$，
对所求代数式变形可得：$2k^2 +12k +2025 = 2(k^2 +6k) +2025$，
将$k^2 +6k=-8$代入得：原式$=2×(-8) +2025 = -16 +2025 = 2009$。
【答案】
（1）无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明见解析；
（2）$\boxed{2009}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程根的意义
3.代数式整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，第一问核心是掌握根的判别式与根的情况的对应关系，第二问运用整体代入的思想可避免求解$k$的具体值，简化计算过程，平时练习要注意整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
（1）判断一元二次方程根的情况需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式化简，判断结果是否恒大于0即可。
（2）已知方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程可得到关于$k$的等式，观察所求代数式的结构，可将得到的等式变形后整体代入，无需单独计算$k$的值，简化计算过程。
【解析】
（1）在方程$x^2 + 2kx + k^2 -1=0$中，$a=1$，$b=2k$，$c=k^2-1$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (2k)^2 - 4×1×(k^2-1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4 ＞ 0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）$\because$方程有一个根为3，将$x=3$代入原方程得：
$3^2 + 2k×3 + k^2 -1 = 0$，
整理得$k^2 + 6k = -8$，
对所求代数式变形可得：$2k^2 +12k +2025 = 2(k^2 +6k) +2025$，
将$k^2 +6k=-8$代入得：原式$=2×(-8) +2025 = -16 +2025 = 2009$。
【答案】
（1）无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明见解析；
（2）$\boxed{2009}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程根的意义
3.代数式整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，第一问核心是掌握根的判别式与根的情况的对应关系，第二问运用整体代入的思想可避免求解$k$的具体值，简化计算过程，平时练习要注意整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2})=0 $。
(1)求证:无论 $ k $ 取何值,此方程总有实数根;
(2)若等腰三角形 $ ABC $ 的一边长 $ a=4 $,另两边长 $ b,c $ 恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长是多少。
(1)求证:无论 $ k $ 取何值,此方程总有实数根;
(2)若等腰三角形 $ ABC $ 的一边长 $ a=4 $,另两边长 $ b,c $ 恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长是多少。
答案
8.(1)证明:$\Delta=[-(2k+1)]^2-4×4(k-\frac{1}{2})=4k^2+4k+1-16k+8=4k^2-12k+9=(2k-3)^2$，
$\because (2k-3)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
$\therefore$无论$k$取何值，此方程总有实数根。
(2)解:①当$b=c$时，$\Delta=(2k-3)^2=0$，解得$k=\frac{3}{2}$。
方程化为$x^2-4x+4=0$，解得$b=c=2$。
$\because 2+2=4$，$\therefore$此种情况不成立。
②当$a=b=4$或$a=c=4$时，把$x=4$代入方程得$16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$，解得$k=\frac{5}{2}$。
方程化为$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=4,x_2=2$，
即三边长分别为4,4,2，能构成三角形，周长$=4+4+2=10$。
$\therefore$这个等腰三角形的周长是10。
$\because (2k-3)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
$\therefore$无论$k$取何值，此方程总有实数根。
(2)解:①当$b=c$时，$\Delta=(2k-3)^2=0$，解得$k=\frac{3}{2}$。
方程化为$x^2-4x+4=0$，解得$b=c=2$。
$\because 2+2=4$，$\therefore$此种情况不成立。
②当$a=b=4$或$a=c=4$时，把$x=4$代入方程得$16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$，解得$k=\frac{5}{2}$。
方程化为$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=4,x_2=2$，
即三边长分别为4,4,2，能构成三角形，周长$=4+4+2=10$。
$\therefore$这个等腰三角形的周长是10。
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程无论k取何值都有实数根，核心思路是计算根的判别式Δ，通过化简证明Δ恒为非负数即可。(2)结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：①若a为底边，则另外两边b、c相等，此时方程有两个相等的实数根，令Δ=0求出k，再代入方程得到b、c的长度，最后用三角形三边关系验证是否成立；②若a为腰，则x=4是方程的根，代入方程求出k后解方程得到另一个根，再次验证三边关系符合后计算周长即可。
【解析】
(1)证明：对于方程 $x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2})=0$，
根的判别式 $\Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×4(k-\frac{1}{2})$
$=4k^2+4k+1-16k+8$
$=4k^2-12k+9$
$=(2k-3)^2$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(2k-3)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
$\therefore$ 无论k取何值，此方程总有实数根。
(2)解：分两种情况讨论：
①当$b=c$时，方程有两个相等的实数根，此时$\Delta=(2k-3)^2=0$，解得$k=\frac{3}{2}$。
将$k=\frac{3}{2}$代入原方程得$x^2-4x+4=0$，解得$b=c=2$。
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，$\therefore$ 此种情况舍去。
②当$a=b=4$或$a=c=4$时，可知$x=4$是方程的一个根，
将$x=4$代入原方程得$16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$，解得$k=\frac{5}{2}$。
将$k=\frac{5}{2}$代入原方程得$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=4,x_2=2$，
即三角形三边长为4、4、2，满足三角形三边关系，
此时周长$=4+4+2=10$。
综上，这个等腰三角形的周长是10。
【答案】
(1)证明成立；(2)10
【知识点】
根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合了一元二次方程与三角形的相关知识，解题时要注意运用分类讨论思想，同时求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免得到不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.6
(1)要证明一元二次方程无论k取何值都有实数根，核心思路是计算根的判别式Δ，通过化简证明Δ恒为非负数即可。(2)结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：①若a为底边，则另外两边b、c相等，此时方程有两个相等的实数根，令Δ=0求出k，再代入方程得到b、c的长度，最后用三角形三边关系验证是否成立；②若a为腰，则x=4是方程的根，代入方程求出k后解方程得到另一个根，再次验证三边关系符合后计算周长即可。
【解析】
(1)证明：对于方程 $x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2})=0$，
根的判别式 $\Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×4(k-\frac{1}{2})$
$=4k^2+4k+1-16k+8$
$=4k^2-12k+9$
$=(2k-3)^2$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(2k-3)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
$\therefore$ 无论k取何值，此方程总有实数根。
(2)解：分两种情况讨论：
①当$b=c$时，方程有两个相等的实数根，此时$\Delta=(2k-3)^2=0$，解得$k=\frac{3}{2}$。
将$k=\frac{3}{2}$代入原方程得$x^2-4x+4=0$，解得$b=c=2$。
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，$\therefore$ 此种情况舍去。
②当$a=b=4$或$a=c=4$时，可知$x=4$是方程的一个根，
将$x=4$代入原方程得$16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$，解得$k=\frac{5}{2}$。
将$k=\frac{5}{2}$代入原方程得$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=4,x_2=2$，
即三角形三边长为4、4、2，满足三角形三边关系，
此时周长$=4+4+2=10$。
综上，这个等腰三角形的周长是10。
【答案】
(1)证明成立；(2)10
【知识点】
根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合了一元二次方程与三角形的相关知识，解题时要注意运用分类讨论思想，同时求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免得到不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.6
