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8. 如图1-2-5，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，DC上的动点，连接EF。
(1)在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：
(2)在(1)的条件下，若$∠ A=60°$，$∠ EBF=60°$，$EF=\sqrt{3}$，求菱形ABCD的面积。
图1-2-5
(1)在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：
$DE=DF$(答案不唯一)
，使得$BE=BF$，并说明理由。(2)在(1)的条件下，若$∠ A=60°$，$∠ EBF=60°$，$EF=\sqrt{3}$，求菱形ABCD的面积。
图1-2-5
答案
8. 解:(1)添加的条件是$DE=DF$(答案不唯一)。理由如下:
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴$AB=BC=CD=AD,∠A=∠C$。
又
∵$DE=DF$,
∴$AD-DE=CD-DF$,即$AE=CF$。
又
∵$AB=BC,∠A=∠C$,
∴$△ ABE≌△ CBF$(SAS),
∴$BE=BF$。
(2)由(1)可知,$BE=BF$,
∵$∠EBF=60°$,
∴$△ BEF$是等边三角形,
∴$BE=EF=\sqrt{3},∠FEB=60°$。
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴$CD// AB,AD=AB$,
∴$∠D=180°-∠A=120°$。
由(1)可知,$DE=DF$,
∴$∠DEF=30°$,
∴$∠AEB=180°-∠DEF-∠FEB=90°$。
在$Rt△ AEB$中,$BE=\sqrt{3},∠A=60°$,
∴$∠ABE=30°$,
∴易得$AB=2$,
∴$AD=AB=2$,
∴$S_{菱形ABCD}=AD· BE=2\sqrt{3}$。
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴$AB=BC=CD=AD,∠A=∠C$。
又
∵$DE=DF$,
∴$AD-DE=CD-DF$,即$AE=CF$。
又
∵$AB=BC,∠A=∠C$,
∴$△ ABE≌△ CBF$(SAS),
∴$BE=BF$。
(2)由(1)可知,$BE=BF$,
∵$∠EBF=60°$,
∴$△ BEF$是等边三角形,
∴$BE=EF=\sqrt{3},∠FEB=60°$。
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴$CD// AB,AD=AB$,
∴$∠D=180°-∠A=120°$。
由(1)可知,$DE=DF$,
∴$∠DEF=30°$,
∴$∠AEB=180°-∠DEF-∠FEB=90°$。
在$Rt△ AEB$中,$BE=\sqrt{3},∠A=60°$,
∴$∠ABE=30°$,
∴易得$AB=2$,
∴$AD=AB=2$,
∴$S_{菱形ABCD}=AD· BE=2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$BE=BF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知菱形的四条边相等、对角相等，因此只要添加能推出$△ ABE≌△ CBF$的条件即可，比如$DE=DF$、$AE=CF$等，都可得到全等所需的边相等的条件，进而证明$BE=BF$。
(2) 首先结合(1)的结论$BE=BF$和$∠EBF=60°$，可判定$△ BEF$是等边三角形，得到$BE$的长度；再结合菱形内角性质、等腰$△ DEF$的角度推导得到$∠AEB=90°$，最后在直角$△ AEB$中利用特殊角的性质求出菱形边长，即可通过底乘高计算菱形面积。
【解析】
(1) 添加条件：$DE=DF$（答案不唯一）。
理由如下：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD$，$∠A=∠C$。
∵$DE=DF$，
∴$AD-DE=CD-DF$，即$AE=CF$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠A=∠C \\AE=CF\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=BF$。
(2) 由(1)可知$BE=BF$，又
∵$∠EBF=60°$，
∴$△ BEF$是等边三角形，
∴$BE=EF=\sqrt{3}$，$∠FEB=60°$。
∵四边形$ABCD$是菱形，$∠A=60°$，
∴$∠D=180°-∠A=120°$，$AD=AB$。
∵$DE=DF$，
∴$∠DEF=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$∠AEB=180°-∠DEF-∠FEB=180°-30°-60°=90°$，即$△ AEB$为直角三角形。
在$Rt△ AEB$中，$∠A=60°$，$BE=\sqrt{3}$，
∴$∠ABE=30°$，设$AE=x$，则$AB=2x$，
由勾股定理得：$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，解得$x=1$，
∴$AB=2$，即$AD=AB=2$。
∴$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=AD·BE=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $DE=DF$（答案不唯一），理由见解析；
(2) 菱形$ABCD$的面积为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形性质的综合应用题，第一问为开放性问题，需要结合全等判定条件灵活添加合适的条件，第二问需要逐步推导特殊三角形的角度和边长关系，既考察几何逻辑推理能力，也考察特殊三角形的计算能力，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$BE=BF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知菱形的四条边相等、对角相等，因此只要添加能推出$△ ABE≌△ CBF$的条件即可，比如$DE=DF$、$AE=CF$等，都可得到全等所需的边相等的条件，进而证明$BE=BF$。
(2) 首先结合(1)的结论$BE=BF$和$∠EBF=60°$，可判定$△ BEF$是等边三角形，得到$BE$的长度；再结合菱形内角性质、等腰$△ DEF$的角度推导得到$∠AEB=90°$，最后在直角$△ AEB$中利用特殊角的性质求出菱形边长，即可通过底乘高计算菱形面积。
【解析】
(1) 添加条件：$DE=DF$（答案不唯一）。
理由如下：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD$，$∠A=∠C$。
∵$DE=DF$，
∴$AD-DE=CD-DF$，即$AE=CF$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠A=∠C \\AE=CF\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=BF$。
(2) 由(1)可知$BE=BF$，又
∵$∠EBF=60°$，
∴$△ BEF$是等边三角形，
∴$BE=EF=\sqrt{3}$，$∠FEB=60°$。
∵四边形$ABCD$是菱形，$∠A=60°$，
∴$∠D=180°-∠A=120°$，$AD=AB$。
∵$DE=DF$，
∴$∠DEF=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$∠AEB=180°-∠DEF-∠FEB=180°-30°-60°=90°$，即$△ AEB$为直角三角形。
在$Rt△ AEB$中，$∠A=60°$，$BE=\sqrt{3}$，
∴$∠ABE=30°$，设$AE=x$，则$AB=2x$，
由勾股定理得：$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，解得$x=1$，
∴$AB=2$，即$AD=AB=2$。
∴$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=AD·BE=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $DE=DF$（答案不唯一），理由见解析；
(2) 菱形$ABCD$的面积为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形性质的综合应用题，第一问为开放性问题，需要结合全等判定条件灵活添加合适的条件，第二问需要逐步推导特殊三角形的角度和边长关系，既考察几何逻辑推理能力，也考察特殊三角形的计算能力，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图 1-2-6，菱形 ABCD 的周长为 40，对角线 AC＝12，过 AD 的中点 E 作 EG⊥AC 交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，求 EG 的长。
图 1-2-6
9. 如图 1-2-6，菱形 ABCD 的周长为 40，对角线 AC＝12，过 AD 的中点 E 作 EG⊥AC 交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，求 EG 的长。
图 1-2-6
答案
9. 解:如答图 1-2-2,连接 BD,交 AC 于点 O,
∵四边形 ABCD 是菱形,周长为 40,$AC=12$,
∴$AC⊥BD,AB=10,AO=CO=6,BD=2BO,AD// BC$,
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{100-36}=8$,
∴$BD=2BO=16$。
∵$EG⊥AC,BD⊥AC$,
∴$GE// BD$。
又
∵$AD// BC$,
∴四边形 EGBD 是平行四边形,
∴$EG=BD=16$。
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质思考：已知菱形周长可先求边长，已知一条对角线长度，可连接另一条对角线，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线BD的长度。再观察所求线段EG：由EG⊥AC、BD⊥AC可得EG//BD，结合菱形对边AD//BC的性质，可判定四边形EGBD是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，即可推出EG=BD，从而求得EG的长度。
【解析】
解：如答图1-2-2，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，周长为40，AC=12，
∴AC⊥BD，AB=40÷4=10，AO=CO=12÷2=6，BD=2BO，AD//BC，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8$，
∴BD=2BO=2×8=16。
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴GE//BD，
又
∵AD//BC，即ED//BG，
∴四边形EGBD是平行四边形，
∴EG=BD=16。
【答案】
9. 解:如答图 1-2-2,连接 BD,交 AC 于点 O,
∵四边形 ABCD 是菱形,周长为 40,$AC=12$,
∴$AC⊥BD,AB=10,AO=CO=6,BD=2BO,AD// BC$,
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{100-36}=8$,
∴$BD=2BO=16$。
∵$EG⊥AC,BD⊥AC$,
∴$GE// BD$。
又
∵$AD// BC$,
∴四边形 EGBD 是平行四边形,
∴$EG=BD=16$。
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线连接BD，将所求线段EG转化为菱形的对角线BD，结合特殊四边形的性质与判定即可求解，需要熟练掌握菱形、平行四边形的相关性质定理，能灵活进行线段的等量转化。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合菱形的性质思考：已知菱形周长可先求边长，已知一条对角线长度，可连接另一条对角线，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线BD的长度。再观察所求线段EG：由EG⊥AC、BD⊥AC可得EG//BD，结合菱形对边AD//BC的性质，可判定四边形EGBD是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，即可推出EG=BD，从而求得EG的长度。
【解析】
解：如答图1-2-2，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，周长为40，AC=12，
∴AC⊥BD，AB=40÷4=10，AO=CO=12÷2=6，BD=2BO，AD//BC，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8$，
∴BD=2BO=2×8=16。
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴GE//BD，
又
∵AD//BC，即ED//BG，
∴四边形EGBD是平行四边形，
∴EG=BD=16。
【答案】
9. 解:如答图 1-2-2,连接 BD,交 AC 于点 O,
∵四边形 ABCD 是菱形,周长为 40,$AC=12$,
∴$AC⊥BD,AB=10,AO=CO=6,BD=2BO,AD// BC$,
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{100-36}=8$,
∴$BD=2BO=16$。
∵$EG⊥AC,BD⊥AC$,
∴$GE// BD$。
又
∵$AD// BC$,
∴四边形 EGBD 是平行四边形,
∴$EG=BD=16$。
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线连接BD，将所求线段EG转化为菱形的对角线BD，结合特殊四边形的性质与判定即可求解，需要熟练掌握菱形、平行四边形的相关性质定理，能灵活进行线段的等量转化。
【难度系数】
0.7
10. 如图1-2-7，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AE，点F在线段CD上，连接EF，满足∠CEF＋∠AEB＝120°。
(1)依题意求作点F；(用尺规作图，保留作图痕迹)
(2)用等式表示AB，EC和CF的数量关系，并证明；
(3)设菱形ABCD的边长为a，求△AEF面积的最小值。
图1-2-7 备用图
(1)依题意求作点F；(用尺规作图，保留作图痕迹)
(2)用等式表示AB，EC和CF的数量关系，并证明；
(3)设菱形ABCD的边长为a，求△AEF面积的最小值。
图1-2-7 备用图
答案
10. 解:(1)如答图1-2-3,点 F 为所作的点。
(2)AB,EC 和 CF 的数量关系是$AB=EC+CF$。证明如下:
如答图1-2-4,连接 AC,过点 E 作$EG// AB$交 AC 于点 G。
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴$AB=BC=CD=AD,AB// CD,∠D=∠B=60°$,
∴$△ ABC$和$△ ADC$都是等边三角形,
∴$∠ACB=∠B=60°,AB=AC,∠ACD=60°$,
∴$∠ECF=∠ACB+∠ACD=120°$。
∵$EG// AB$,
∴$∠GEC=∠B=60°$,
∴$∠GEC=∠ACB=60°$,
∴$△ GEC$是等边三角形,
∴$EG=EC=GC,∠EGC=60°$,
∴$∠AGE=180°-∠EGC=120°$,
∴$∠AGE=∠ECF=120°$。
∵$∠CEF+∠AEB=120°$,
∴$∠AEF=180°-(∠CEF+∠AEB)=60°$,
∴$∠AEF=∠GEC=60°$,
∴$∠1+∠GEF=∠GEF+∠2$,
∴$∠1=∠2$。
在$△ AEG$和$△ FEC$中,$\begin{cases}∠AGE=∠ECF,\\EG=EC,\\∠1=∠2,\end{cases}$
∴$△ AEG≌△ FEC$(ASA),
∴$AG=FC$,
∴$AC=GC+AG=EC+CF$,
∴$AB=EC+CF$。
(3)由(2)知,$AE=EF,∠AEF=60°$,
∴$△ AEF$为等边三角形。
当$AE⊥BC$时,AE 最小,此时,$S_{△ AEF}$最小。
如答图1-2-5,设此时 EF 与 AC 交于点 M。
易知$∠BAE=∠CAE=30°$。
∵$∠AEM=60°$,
∴$∠AME=90°$。
在$Rt△ ABE$中,$AB=a,∠BAE=30°$,
∴$BE=\frac{1}{2}a$,
∴$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
在$Rt△ AEM$中,$∠AEM=60°$,
∴$EM=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{3}}{4}a$,
∴$AM=\sqrt{AE^2-EM^2}=\frac{3}{4}a$。
∴$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}EF· AM=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{3}{4}a=\frac{3\sqrt{3}}{16}a^2$。
解析
【分析】
(1) 作图思路：根据平角定义，由$∠ CEF+∠ AEB=120°$可推得$∠ AEF=60°$，因此只需以点E为顶点、AE为一边，在AE靠近CD的一侧作$60°$角，角的另一边与CD的交点即为所求点F。
(2) 线段关系推导思路：菱形中$∠ B=60°$，可得$△ ABC$是等边三角形，因此$AB=AC$；过E作$EG// AB$交AC于G，可构造出等边$△ GEC$，得到$EG=EC$；再结合已知角度条件推导角相等，证明$△ AEG≌△ FEC$，将线段转化后即可得到AB、EC、CF的关系。
(3) 面积最值思路：由(2)的全等可得$AE=EF$，结合$∠ AEF=60°$可知$△ AEF$是等边三角形，其面积由边长AE决定；根据垂线段最短，当$AE⊥ BC$时AE最短，对应$△ AEF$面积最小，结合菱形边长计算即可得最小值。
【解析】
(1) 作图：以E为顶点，AE为一边作$∠ AEF=60°$，交CD于点F，点F即为所求，如答图1-2-3所示。
(2) $AB,EC$和$CF$的数量关系是$AB=EC+CF$，证明如下：
连接AC，过点E作$EG// AB$交AC于点G。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD,AB// CD,∠ D=∠ B=60°$，
∴$△ ABC$和$△ ADC$都是等边三角形，
∴$∠ ACB=∠ B=60°,AB=AC,∠ ACD=60°$，
∴$∠ ECF=∠ ACB+∠ ACD=120°$。
∵$EG// AB$，
∴$∠ GEC=∠ B=60°$，
∴$∠ GEC=∠ ACB=60°$，
∴$△ GEC$是等边三角形，
∴$EG=EC=GC,∠ EGC=60°$，
∴$∠ AGE=180°-∠ EGC=120°$，即$∠ AGE=∠ ECF=120°$。
∵$∠ CEF+∠ AEB=120°$，
∴$∠ AEF=180°-(∠ CEF+∠ AEB)=60°$，
∴$∠ AEF=∠ GEC=60°$，
∴$∠ 1+∠ GEF=∠ GEF+∠ 2$，即$∠ 1=∠ 2$。
在$△ AEG$和$△ FEC$中，$\begin{cases}∠ AGE=∠ ECF,\\EG=EC,\\∠ 1=∠ 2,\end{cases}$
∴$△ AEG≌△ FEC(\mathrm{ASA})$，
∴$AG=FC$，
∴$AC=GC+AG=EC+CF$，
又
∵$AC=AB$，
∴$AB=EC+CF$。
(3) 由(2)知$AE=EF,∠ AEF=60°$，
∴$△ AEF$为等边三角形，当AE最小时，$S_{△ AEF}$最小。
根据垂线段最短，当$AE⊥ BC$时，AE最小。
在$Rt△ ABE$中，$AB=a,∠ B=60°$，
∴$BE=\frac{1}{2}a$，
∴$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
等边$△ AEF$中，过A作$AM⊥ EF$于M，$∠ AEM=60°$，
∴$EM=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴$AM=\sqrt{AE^2-EM^2}=\frac{3}{4}a$，
∴$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}EF· AM=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{3}{4}a=\frac{3\sqrt{3}}{16}a^2$。
【答案】
(1) 如答图1-2-3，点F为所作的点。
(2) 数量关系为$\boldsymbol{AB=EC+CF}$，证明见解析。
(3) $△ AEF$面积的最小值为$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{3}}{16}a^2}$。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将尺规作图、特殊四边形、三角形的性质与判定结合考查，解题的关键是通过构造平行线得到全等三角形完成线段转化，求最值时利用垂线段最短的性质可快速找到最小值对应的位置，对逻辑推理能力和几何运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 作图思路：根据平角定义，由$∠ CEF+∠ AEB=120°$可推得$∠ AEF=60°$，因此只需以点E为顶点、AE为一边，在AE靠近CD的一侧作$60°$角，角的另一边与CD的交点即为所求点F。
(2) 线段关系推导思路：菱形中$∠ B=60°$，可得$△ ABC$是等边三角形，因此$AB=AC$；过E作$EG// AB$交AC于G，可构造出等边$△ GEC$，得到$EG=EC$；再结合已知角度条件推导角相等，证明$△ AEG≌△ FEC$，将线段转化后即可得到AB、EC、CF的关系。
(3) 面积最值思路：由(2)的全等可得$AE=EF$，结合$∠ AEF=60°$可知$△ AEF$是等边三角形，其面积由边长AE决定；根据垂线段最短，当$AE⊥ BC$时AE最短，对应$△ AEF$面积最小，结合菱形边长计算即可得最小值。
【解析】
(1) 作图：以E为顶点，AE为一边作$∠ AEF=60°$，交CD于点F，点F即为所求，如答图1-2-3所示。
(2) $AB,EC$和$CF$的数量关系是$AB=EC+CF$，证明如下：
连接AC，过点E作$EG// AB$交AC于点G。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD,AB// CD,∠ D=∠ B=60°$，
∴$△ ABC$和$△ ADC$都是等边三角形，
∴$∠ ACB=∠ B=60°,AB=AC,∠ ACD=60°$，
∴$∠ ECF=∠ ACB+∠ ACD=120°$。
∵$EG// AB$，
∴$∠ GEC=∠ B=60°$，
∴$∠ GEC=∠ ACB=60°$，
∴$△ GEC$是等边三角形，
∴$EG=EC=GC,∠ EGC=60°$，
∴$∠ AGE=180°-∠ EGC=120°$，即$∠ AGE=∠ ECF=120°$。
∵$∠ CEF+∠ AEB=120°$，
∴$∠ AEF=180°-(∠ CEF+∠ AEB)=60°$，
∴$∠ AEF=∠ GEC=60°$，
∴$∠ 1+∠ GEF=∠ GEF+∠ 2$，即$∠ 1=∠ 2$。
在$△ AEG$和$△ FEC$中，$\begin{cases}∠ AGE=∠ ECF,\\EG=EC,\\∠ 1=∠ 2,\end{cases}$
∴$△ AEG≌△ FEC(\mathrm{ASA})$，
∴$AG=FC$，
∴$AC=GC+AG=EC+CF$，
又
∵$AC=AB$，
∴$AB=EC+CF$。
(3) 由(2)知$AE=EF,∠ AEF=60°$，
∴$△ AEF$为等边三角形，当AE最小时，$S_{△ AEF}$最小。
根据垂线段最短，当$AE⊥ BC$时，AE最小。
在$Rt△ ABE$中，$AB=a,∠ B=60°$，
∴$BE=\frac{1}{2}a$，
∴$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
等边$△ AEF$中，过A作$AM⊥ EF$于M，$∠ AEM=60°$，
∴$EM=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴$AM=\sqrt{AE^2-EM^2}=\frac{3}{4}a$，
∴$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}EF· AM=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{3}{4}a=\frac{3\sqrt{3}}{16}a^2$。
【答案】
(1) 如答图1-2-3，点F为所作的点。
(2) 数量关系为$\boldsymbol{AB=EC+CF}$，证明见解析。
(3) $△ AEF$面积的最小值为$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{3}}{16}a^2}$。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将尺规作图、特殊四边形、三角形的性质与判定结合考查，解题的关键是通过构造平行线得到全等三角形完成线段转化，求最值时利用垂线段最短的性质可快速找到最小值对应的位置，对逻辑推理能力和几何运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
