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1. 已知平行四边形ABCD，连接AC，BD，下列条件不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A.$AC ⊥ BD$
B.$AB = CD$
C.$AB = BC$
D.$∠ ABD = ∠ ADB$
B
)。A.$AC ⊥ BD$
B.$AB = CD$
C.$AB = BC$
D.$∠ ABD = ∠ ADB$
答案
1.B
解析
【分析】
本题已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个条件不能判定它是菱形，解题思路如下：首先明确菱形针对平行四边形的两个核心判定规则：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。再结合平行四边形的固有性质，逐个分析每个选项的条件能否推出上述两个判定规则之一，即可得出答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，先明确平行四边形固有性质：对边平行且相等，对角线互相平分。
对各选项逐一分析：
A. 若$AC⊥BD$，即平行四边形对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定ABCD是菱形，不符合题意；
B. AB和CD是平行四边形的一组对边，平行四边形本身就满足$AB=CD$，该条件是平行四边形的固有性质，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能判定ABCD是菱形，符合题意；
C. 若$AB=BC$，即平行四边形一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定ABCD是菱形，不符合题意；
D. 若$∠ABD=∠ADB$，在$△ ABD$中，等角对等边，可得$AB=AD$，即平行四边形一组邻边相等，可判定ABCD是菱形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 菱形的判定
2. 平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时要注意题干已经给出平行四边形的前提，只需验证条件是否符合菱形的特殊判定要求即可，要注意区分平行四边形的通用性质和菱形的特殊性质，避免把平行四边形本身具备的性质当成菱形的判定条件。
【难度系数】
0.8
本题已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个条件不能判定它是菱形，解题思路如下：首先明确菱形针对平行四边形的两个核心判定规则：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。再结合平行四边形的固有性质，逐个分析每个选项的条件能否推出上述两个判定规则之一，即可得出答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，先明确平行四边形固有性质：对边平行且相等，对角线互相平分。
对各选项逐一分析：
A. 若$AC⊥BD$，即平行四边形对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定ABCD是菱形，不符合题意；
B. AB和CD是平行四边形的一组对边，平行四边形本身就满足$AB=CD$，该条件是平行四边形的固有性质，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能判定ABCD是菱形，符合题意；
C. 若$AB=BC$，即平行四边形一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定ABCD是菱形，不符合题意；
D. 若$∠ABD=∠ADB$，在$△ ABD$中，等角对等边，可得$AB=AD$，即平行四边形一组邻边相等，可判定ABCD是菱形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 菱形的判定
2. 平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时要注意题干已经给出平行四边形的前提，只需验证条件是否符合菱形的特殊判定要求即可，要注意区分平行四边形的通用性质和菱形的特殊性质，避免把平行四边形本身具备的性质当成菱形的判定条件。
【难度系数】
0.8
2. 如图1-2-8，以O为圆心，OA长为半径画弧分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC，BC，则四边形OACB一定是(
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.等腰梯形
A
)。A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.等腰梯形
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先从尺规作图的步骤出发，提取各线段的等量关系：第一步以O为圆心OA为半径画弧，可得OA=OB；第二步以A、B为圆心、OA长为半径画弧交于C，可得AC=OA、BC=OB，由此得到四边形四条边的长度关系，再对应特殊四边形的判定定理即可判断四边形的类型。
【解析】
由作图过程可知：
1. 以O为圆心，OA长为半径画弧交OM、ON于A、B，因此OA=OB；
2. 分别以A、B为圆心，OA长为半径画弧交于点C，因此AC=OA，BC=OB。
综上可得OA=OB=AC=BC，即四边形OACB的四条边都相等。
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，可知四边形OACB是菱形。
【答案】
A
【知识点】
尺规作图的认识；菱形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要结合尺规作图过程考查特殊四边形的判定，解题的核心是从作图步骤中准确提取线段相等的关系，再对应相关判定定理求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先从尺规作图的步骤出发，提取各线段的等量关系：第一步以O为圆心OA为半径画弧，可得OA=OB；第二步以A、B为圆心、OA长为半径画弧交于C，可得AC=OA、BC=OB，由此得到四边形四条边的长度关系，再对应特殊四边形的判定定理即可判断四边形的类型。
【解析】
由作图过程可知：
1. 以O为圆心，OA长为半径画弧交OM、ON于A、B，因此OA=OB；
2. 分别以A、B为圆心，OA长为半径画弧交于点C，因此AC=OA，BC=OB。
综上可得OA=OB=AC=BC，即四边形OACB的四条边都相等。
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，可知四边形OACB是菱形。
【答案】
A
【知识点】
尺规作图的认识；菱形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要结合尺规作图过程考查特殊四边形的判定，解题的核心是从作图步骤中准确提取线段相等的关系，再对应相关判定定理求解即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图1-2-9，已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的高AE为
图1-2-9
图1-2-10
4.8
cm。图1-2-9
图1-2-10
答案
3.4.8
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质，菱形的面积有两种计算方式：①对角线乘积的一半；②底乘以对应高。我们可以先通过已知的对角线长度求出菱形的面积，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，最后根据面积相等的关系，用面积除以边长即可求出高AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，两条对角线长分别为6cm和8cm
∴菱形的面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$
又
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴菱形的边长$=\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
∵菱形面积也可表示为底×高，即$S=BC×AE$
∴$AE=S÷BC=24÷5=4.8\ \mathrm{cm}$
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的常见题型，核心是灵活运用菱形面积的两种计算方法建立等量关系求解，掌握面积的两种表达是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆菱形的相关性质，菱形的面积有两种计算方式：①对角线乘积的一半；②底乘以对应高。我们可以先通过已知的对角线长度求出菱形的面积，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，最后根据面积相等的关系，用面积除以边长即可求出高AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，两条对角线长分别为6cm和8cm
∴菱形的面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$
又
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴菱形的边长$=\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
∵菱形面积也可表示为底×高，即$S=BC×AE$
∴$AE=S÷BC=24÷5=4.8\ \mathrm{cm}$
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的常见题型，核心是灵活运用菱形面积的两种计算方法建立等量关系求解，掌握面积的两种表达是解题关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图1-2-10，在$△ ABC$中，$∠ BAC=60°$，AD平分$∠ BAC$，E，F分别是AB，AC上的点，且$DE// AC$，$DF// AB$。若$AF=2$，则四边形AEDF的面积是
$2\sqrt{3}$
。答案
4.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】首先根据两组对边分别平行可判定四边形AEDF是平行四边形，再结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导得出平行四边形的一组邻边相等，即可判定四边形AEDF是菱形；已知菱形的边长和内角为60°，通过构造直角三角形求出菱形的高，结合菱形面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵ $ DE // AC $，$ DF // AB $，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
2. 推导邻边相等：
∵ AD平分$ ∠ BAC $，$ ∠ BAC=60° $，
∴ $ ∠ BAD = ∠ CAD = 30° $。
∵ $ DF // AB $，
∴ $ ∠ BAD = ∠ ADF $（两直线平行，内错角相等），
∴ $ ∠ CAD = ∠ ADF $，
∴ $ AF = DF = 2 $（等角对等边）。
3. 判定菱形：
∴ 平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），菱形边长均为2。
4. 计算面积：
过点D作$ DG ⊥ AF $于点G，
∵ $ DF // AB $，
∴ $ ∠ DFG = ∠ BAC = 60° $，
在$ \mathrm{Rt}△ DFG $中，$ DG = DF · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $，
菱形面积$ S = \mathrm{底} × \mathrm{高} = AF × DG = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $。
【答案】$ 2\sqrt{3} $
【知识点】平行四边形判定；菱形的判定与性质；解直角三角形
【点评】本题是基础几何综合题，解题的核心是先通过平行和角平分线的性质判断四边形为菱形，再利用特殊角的三角函数求出高，进而计算面积，有助于锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵ $ DE // AC $，$ DF // AB $，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
2. 推导邻边相等：
∵ AD平分$ ∠ BAC $，$ ∠ BAC=60° $，
∴ $ ∠ BAD = ∠ CAD = 30° $。
∵ $ DF // AB $，
∴ $ ∠ BAD = ∠ ADF $（两直线平行，内错角相等），
∴ $ ∠ CAD = ∠ ADF $，
∴ $ AF = DF = 2 $（等角对等边）。
3. 判定菱形：
∴ 平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），菱形边长均为2。
4. 计算面积：
过点D作$ DG ⊥ AF $于点G，
∵ $ DF // AB $，
∴ $ ∠ DFG = ∠ BAC = 60° $，
在$ \mathrm{Rt}△ DFG $中，$ DG = DF · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $，
菱形面积$ S = \mathrm{底} × \mathrm{高} = AF × DG = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $。
【答案】$ 2\sqrt{3} $
【知识点】平行四边形判定；菱形的判定与性质；解直角三角形
【点评】本题是基础几何综合题，解题的核心是先通过平行和角平分线的性质判断四边形为菱形，再利用特殊角的三角函数求出高，进而计算面积，有助于锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】0.7
5. 如图1-2-11，在四边形ABCD中，E，F分别是线段AD，BC的中点，G，H分别是线段BD，AC的中点。当四边形ABCD的边满足
图1-2-11
$AB=CD$
时，四边形EGFH是菱形。图1-2-11
答案
5.$AB=CD$
解析
【分析】
解题时先结合三角形中位线定理分析四边形EGFH的边的关系：首先我们知道菱形是特殊的平行四边形，所以先证四边形EGFH是平行四边形，再找平行四边形邻边相等需要满足的条件即可。首先E、G是AD、BD的中点，可得EG是△ABD的中位线，平行且等于AB的一半；同理FH是△ABC的中位线，也平行且等于AB的一半，可推出EG与FH平行且相等，即可证得EGFH是平行四边形。接下来要让平行四边形成为菱形，需要邻边相等，而邻边GF是△BCD的中位线，等于CD的一半，因此只需让EG=GF，即可推导出AB和CD的数量关系。
【解析】
1. 先证四边形EGFH是平行四边形：
∵ E、G分别是AD、BD的中点，
∴ EG是△ABD的中位线，
∴ $EG// AB$，$EG=\frac{1}{2}AB$，
同理，F、H分别是BC、AC的中点，
∴ FH是△ABC的中位线，
∴ $FH// AB$，$FH=\frac{1}{2}AB$，
∴ $EG// FH$，$EG=FH$，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
2. 结合菱形判定推导条件：
∵ G、F分别是BD、BC的中点，
∴ GF是△BCD的中位线，
∴ $GF=\frac{1}{2}CD$，
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，要使平行四边形EGFH为菱形，需$EG=GF$，
即 $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，
∴ $AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题结合三角形中位线性质和特殊四边形的判定进行考查，解题核心是先利用中位线性质证得目标四边形为平行四边形，再结合菱形的判定条件推导出原四边形需要满足的边的关系，是四边形章节的基础典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合三角形中位线定理分析四边形EGFH的边的关系：首先我们知道菱形是特殊的平行四边形，所以先证四边形EGFH是平行四边形，再找平行四边形邻边相等需要满足的条件即可。首先E、G是AD、BD的中点，可得EG是△ABD的中位线，平行且等于AB的一半；同理FH是△ABC的中位线，也平行且等于AB的一半，可推出EG与FH平行且相等，即可证得EGFH是平行四边形。接下来要让平行四边形成为菱形，需要邻边相等，而邻边GF是△BCD的中位线，等于CD的一半，因此只需让EG=GF，即可推导出AB和CD的数量关系。
【解析】
1. 先证四边形EGFH是平行四边形：
∵ E、G分别是AD、BD的中点，
∴ EG是△ABD的中位线，
∴ $EG// AB$，$EG=\frac{1}{2}AB$，
同理，F、H分别是BC、AC的中点，
∴ FH是△ABC的中位线，
∴ $FH// AB$，$FH=\frac{1}{2}AB$，
∴ $EG// FH$，$EG=FH$，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
2. 结合菱形判定推导条件：
∵ G、F分别是BD、BC的中点，
∴ GF是△BCD的中位线，
∴ $GF=\frac{1}{2}CD$，
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，要使平行四边形EGFH为菱形，需$EG=GF$，
即 $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，
∴ $AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题结合三角形中位线性质和特殊四边形的判定进行考查，解题核心是先利用中位线性质证得目标四边形为平行四边形，再结合菱形的判定条件推导出原四边形需要满足的边的关系，是四边形章节的基础典型题型。
【难度系数】
0.7
6. 在同一平面内，将两个完全相同、含有$30°$角的三角板，按如图1-2-12所示位置摆放，其中$∠ CAB = ∠ EDF = 30°$，点$A,E,B,D$依次在同一直线上，且$E,B$分别是$AB$与$ED$的中点，连接$AF,CD$。求证：四边形$AFDC$是菱形。
图1-2-12
图1-2-12
答案
6. 证明: $\because Rt△ABC$ 与 $Rt△DEF$ 完全相同，
$\therefore AC=DF,AB=DE$。
$\because ∠BAC=∠EDF,\therefore AC// DF$，
$\therefore$ 四边形 ACDF 是平行四边形。
$\because$ 在 $Rt△ABC$ 中,$∠BAC=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,∠ABC=60°$。
$\because AB=DE,E,B$ 分别是 $AB$ 与 $ED$ 的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore BC=BD,\therefore ∠CDB=∠BCD$。
$\because ∠ABC=60°,\therefore ∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
$\therefore ∠CDB=∠BAC,\therefore AC=CD$，
$\therefore$ 四边形 AFDC 是菱形。
$\therefore AC=DF,AB=DE$。
$\because ∠BAC=∠EDF,\therefore AC// DF$，
$\therefore$ 四边形 ACDF 是平行四边形。
$\because$ 在 $Rt△ABC$ 中,$∠BAC=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,∠ABC=60°$。
$\because AB=DE,E,B$ 分别是 $AB$ 与 $ED$ 的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore BC=BD,\therefore ∠CDB=∠BCD$。
$\because ∠ABC=60°,\therefore ∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
$\therefore ∠CDB=∠BAC,\therefore AC=CD$，
$\therefore$ 四边形 AFDC 是菱形。
解析
【分析】
要证明四边形AFDC是菱形，可按“先判定平行四边形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先利用两个三角板全等的性质，得到一组对边平行且相等，即可判定四边形AFDC为平行四边形；再结合含30°角的直角三角形的性质、中点的性质推导边的等量关系，通过角度计算得到等角，推出邻边相等，最终判定为菱形。
【解析】
证明: $\because Rt△ABC$ 与 $Rt△DEF$ 完全相同，
$\therefore AC=DF,AB=DE$。
$\because ∠BAC=∠EDF,\therefore AC// DF$，
$\therefore$ 四边形 ACDF 是平行四边形。
$\because$ 在 $Rt△ABC$ 中,$∠BAC=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,∠ABC=60°$。
$\because AB=DE,E,B$ 分别是 $AB$ 与 $ED$ 的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore BC=BD,\therefore ∠CDB=∠BCD$。
$\because ∠ABC=60°,\therefore ∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
$\therefore ∠CDB=∠BAC,\therefore AC=CD$，
$\therefore$ 四边形 AFDC 是菱形。
【答案】
证明过程见上述解析，四边形AFDC是菱形得证。
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题将全等三角形性质、直角三角形性质与特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是明确菱形的判定逻辑，先证明平行四边形，再推导邻边相等，能够较好地检验几何基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明四边形AFDC是菱形，可按“先判定平行四边形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先利用两个三角板全等的性质，得到一组对边平行且相等，即可判定四边形AFDC为平行四边形；再结合含30°角的直角三角形的性质、中点的性质推导边的等量关系，通过角度计算得到等角，推出邻边相等，最终判定为菱形。
【解析】
证明: $\because Rt△ABC$ 与 $Rt△DEF$ 完全相同，
$\therefore AC=DF,AB=DE$。
$\because ∠BAC=∠EDF,\therefore AC// DF$，
$\therefore$ 四边形 ACDF 是平行四边形。
$\because$ 在 $Rt△ABC$ 中,$∠BAC=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,∠ABC=60°$。
$\because AB=DE,E,B$ 分别是 $AB$ 与 $ED$ 的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore BC=BD,\therefore ∠CDB=∠BCD$。
$\because ∠ABC=60°,\therefore ∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
$\therefore ∠CDB=∠BAC,\therefore AC=CD$，
$\therefore$ 四边形 AFDC 是菱形。
【答案】
证明过程见上述解析，四边形AFDC是菱形得证。
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题将全等三角形性质、直角三角形性质与特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是明确菱形的判定逻辑，先证明平行四边形，再推导邻边相等，能够较好地检验几何基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图1-2-13，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝DF。
(1)在不增加新的点和线的情况下，请添加一个条件：
(2)在(1)的条件下，若AB＝4，∠ABC＝60°，E，F是BD的三等分点，求四边形AECF的面积。
图1-2-13
(1)在不增加新的点和线的情况下，请添加一个条件：
$AE=AF$(答案不唯一)
，使得四边形AECF是菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，若AB＝4，∠ABC＝60°，E，F是BD的三等分点，求四边形AECF的面积。
图1-2-13
答案
7. 解:(1)添加的条件是 $AE=AF$(答案不唯一)。理由如下：
如答图 1-2-6,连接 AC,交 BD 于点 O，
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore OB=OD,OA=OC$。
$\because BE=DF$，
$\therefore OB-BE=OD-DF$，
即 $OE=OF$。
$\because OA=OC,\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形。
又 $\because AE=AF,\therefore$ 四边形 AECF 是菱形。
(2)由(1)可知,$AC⊥BD$，
则平行四边形 ABCD 是菱形，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=30°,BD=2BO$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=2,\therefore BD=2BO=2\sqrt{AB^2-OA^2}=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AO=4\sqrt{3}$。
又 $\because E,F$ 是 BD 的三等分点，
$\therefore S_{△AEF}=\frac{1}{3}S_{△ABD}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
$\therefore S_{四边形AECF}=2S_{△AEF}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1)要判定四边形AECF为菱形，先结合平行四边形ABCD的性质推导AECF是平行四边形：连接AC交BD于点O，根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC、OB=OD，结合已知BE=DF可推出OE=OF，即可证得AECF是平行四边形；此时只需添加满足菱形判定的条件即可，比如添加一组邻边相等的条件AE=AF，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明。
(2)在(1)的条件下，菱形AECF的对角线互相垂直，可得AC⊥BD，因此平行四边形ABCD也是菱形；结合已知AB=4、∠ABC=60°，利用含30°直角三角形的性质和勾股定理可求出AC、BD的长度，再结合E、F是BD的三等分点，通过面积关系即可求出四边形AECF的面积。
【解析】
(1) 添加的条件是 $AE=AF$（答案不唯一）。理由如下：
如答图1-2-6，连接AC，交BD于点O，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore OB=OD,OA=OC$。
$\because BE=DF$，
$\therefore OB-BE=OD-DF$，即 $OE=OF$。
$\because OA=OC$，$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形。
又 $\because AE=AF$，$\therefore$ 四边形AECF是菱形。
(2)由(1)可知，$AC⊥BD$，则平行四边形ABCD是菱形，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=30°,BD=2BO$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=2$，$\therefore BD=2BO=2\sqrt{AB^2-OA^2}=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AO=4\sqrt{3}$。
又 $\because E,F$ 是BD的三等分点，
$\therefore S_{△AEF}=\frac{1}{3}S_{△ABD}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
$\therefore S_{四边形AECF}=2S_{△AEF}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $AE=AF$（答案不唯一），理由见解析；(2) $\frac{8}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形性质；菱形判定与性质；含30°直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定，以及几何图形的面积计算，第一问为开放性问题，可发散思维选择合适的添加条件，第二问需要梳理清楚不同四边形之间的性质关联，能有效锻炼几何逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1)要判定四边形AECF为菱形，先结合平行四边形ABCD的性质推导AECF是平行四边形：连接AC交BD于点O，根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC、OB=OD，结合已知BE=DF可推出OE=OF，即可证得AECF是平行四边形；此时只需添加满足菱形判定的条件即可，比如添加一组邻边相等的条件AE=AF，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明。
(2)在(1)的条件下，菱形AECF的对角线互相垂直，可得AC⊥BD，因此平行四边形ABCD也是菱形；结合已知AB=4、∠ABC=60°，利用含30°直角三角形的性质和勾股定理可求出AC、BD的长度，再结合E、F是BD的三等分点，通过面积关系即可求出四边形AECF的面积。
【解析】
(1) 添加的条件是 $AE=AF$（答案不唯一）。理由如下：
如答图1-2-6，连接AC，交BD于点O，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore OB=OD,OA=OC$。
$\because BE=DF$，
$\therefore OB-BE=OD-DF$，即 $OE=OF$。
$\because OA=OC$，$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形。
又 $\because AE=AF$，$\therefore$ 四边形AECF是菱形。
(2)由(1)可知，$AC⊥BD$，则平行四边形ABCD是菱形，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=30°,BD=2BO$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=2$，$\therefore BD=2BO=2\sqrt{AB^2-OA^2}=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AO=4\sqrt{3}$。
又 $\because E,F$ 是BD的三等分点，
$\therefore S_{△AEF}=\frac{1}{3}S_{△ABD}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
$\therefore S_{四边形AECF}=2S_{△AEF}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $AE=AF$（答案不唯一），理由见解析；(2) $\frac{8}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形性质；菱形判定与性质；含30°直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定，以及几何图形的面积计算，第一问为开放性问题，可发散思维选择合适的添加条件，第二问需要梳理清楚不同四边形之间的性质关联，能有效锻炼几何逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
