8. 爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后,想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法。她的想法是过平行四边形的一个顶点向其两条对边作垂线,如果这个顶点到这两边的距离相等,那么可证明该平行四边形是菱形。根据她的想法与思路,完成以下探究:
(1)尺规作图:如图1-2-14,在平行四边形ABCD中,过点A分别作BC,CD的垂线,交BC,CD于点E,F。(不写作法,保留作图痕迹)
(2)推理验证:在(1)的条件下,补充已知条件,并完成证明。
已知:如图1-2-14,在平行四边形ABCD中,。
求证:平行四边形ABCD是菱形。
(3)如图1-2-15,在平行四边形ABCD中,过点B向其两条对边作垂线,小月的想法是否成立?请继续完成探究。

8. 解:(1)如答图 1-2-7,AE,AF 为所作的垂线。
(2)$AE⊥BC,AF⊥CD$,垂足分别为点 E,F,$AE=AF$
证明:$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore ∠B=∠D$。
$\because AE⊥BC,AF⊥CD$，
$\therefore ∠AEB=∠AFD=90°$。
又 $\because AE=AF$，
$\therefore △ABE≌△ADF(AAS)$，
$\therefore AB=AD$。
又 $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形。
(3)小月的想法依然成立。
如答图 1-2-8,分别作 $BE⊥CD$,$BF⊥AD$,垂足分别为点 E,F,$BE=BF$。
同理可证:$△BCE≌△BAF(AAS)$，
$\therefore BC=BA$。
又 $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形。

【分析】
(1) 第一问为尺规作图题，需使用过直线外一点作已知直线垂线的尺规方法，分别过点A作BC、CD的垂线，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问需补充的已知条件符合题目描述：过A作BC、CD的垂线且两段距离相等。证明思路：先利用平行四边形对角相等的性质，结合垂线得到的两个直角，以及距离相等即高相等的条件，用AAS证明△ABE和△ADF全等，得到邻边AB=AD，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理完成证明。
(3) 第三问可类比第二问的思路，将顶点换成B后，过B作两条对边的垂线，若距离相等，同样可通过证明三角形全等得到邻边相等，因此小月的想法仍然成立。
【解析】
(1) 按照过直线外一点作已知直线垂线的尺规作法，分别作出AE⊥BC于E、AF⊥CD于F，作图痕迹如答图所示。
(2) 补充已知条件后证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B=∠D。
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°。
又
∵ AE=AF，
∴ △ABE≌△ADF(AAS)，
∴ AB=AD。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形。
(3) 探究验证：
过点B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，若BE=BF：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠C=∠BAF。
∵ BE⊥CD，BF⊥AD，
∴ ∠BEC=∠BFA=90°。
又
∵ BE=BF，
∴ △BCE≌△BAF(AAS)，
∴ BC=BA。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形，故小月的想法成立。
【答案】
(1)如答图 1-2-7,AE,AF 为所作的垂线。
(2)$AE⊥BC,AF⊥CD$,垂足分别为点 E,F,$AE=AF$
证明:$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore ∠B=∠D$。
$\because AE⊥BC,AF⊥CD$，
$\therefore ∠AEB=∠AFD=90°$。
又 $\because AE=AF$，
$\therefore △ABE≌△ADF(AAS)$，
$\therefore AB=AD$。
又 $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形。
(3)小月的想法依然成立。
如答图 1-2-8,分别作 $BE⊥CD$,$BF⊥AD$,垂足分别为点 E,F,$BE=BF$。
同理可证:$△BCE≌△BAF(AAS)$，
$\therefore BC=BA$。
又 $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形。
【知识点】
菱形的判定，全等三角形的判定与性质，尺规作垂线
【点评】
本题将尺规作图与菱形判定相结合，考查了平行四边形性质、全等三角形的应用，需要学生将“顶点到对边距离相等”的条件转化为全等的判定依据，再结合菱形判定定理解题，能有效锻炼几何推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7

二、拓展性作业
9. 已知$△ ABC$是锐角三角形，请按下列要求，用尺规作出图形，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明。
(1)如图1-2-16，在平面上找一点$D$，使得四边形$ABCD$为平行四边形；
(2)在图1-2-17中作一个菱形$AEFG$，使$∠ A$为菱形的一个内角，且点$F$在边$BC$上，点$E$在$AB$上，点$G$在$AC$上。

9. 解:(1)如答图 1-2-9,D 为所作的点。
说明:以点 A 为圆心,BC 长为半径画弧;再以点 C 为圆心,AB 长为半径画弧;两弧交于点 D。
(2)如答图 1-2-10,四边形 AEFG 为所作的菱形。
说明:作$∠BAC$的平分线,交 BC 于点 F;作线段 AF 的垂直平分线,分别交 AB,AC 于点 E,G;连接 EF,FG。

【分析】
(1) 要构造平行四边形ABCD，可依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理解题：只需保证AD=BC、CD=AB即可，因此通过尺规画弧的方式确定交点D的位置。
(2) 要构造以∠A为内角的菱形AEFG，结合菱形“对角线平分一组内角、对角线互相垂直平分”的性质思考：先作∠BAC的角平分线得到BC上的点F（即菱形对角线AF的一个端点），再作AF的垂直平分线得到AB上的点E、AC上的点G，此时AE=EF=FG=AG，满足菱形四边相等的性质，即可得到所求菱形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点A为圆心，BC的长度为半径画弧；
② 以点C为圆心，AB的长度为半径画弧，两弧的交点即为点D；
③ 连接AD、CD，所得四边形ABCD就是平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 作∠BAC的角平分线，交BC边于点F；
② 作线段AF的垂直平分线，分别交AB边于点E、交AC边于点G；
③ 依次连接EF、FG，所得四边形AEFG就是所求菱形。
【答案】
(1) 如答图 1-2-9,D 为所作的点。
说明:以点 A 为圆心,BC 长为半径画弧;再以点 C 为圆心,AB 长为半径画弧;两弧交于点 D。
(2) 如答图 1-2-10,四边形 AEFG 为所作的菱形。
说明:作$∠BAC$的平分线,交 BC 于点 F;作线段 AF 的垂直平分线,分别交 AB,AC 于点 E,G;连接 EF,FG。
【知识点】
平行四边形判定，菱形判定，尺规作图
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与尺规作图的结合应用，需要学生熟练掌握平行四边形、菱形的判定性质，以及角平分线、垂直平分线的基本尺规作图方法，解题时紧扣图形的性质确定作图步骤即可。
【难度系数】
0.7

10. 如图1-2-18，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AC=60\ \mathrm{cm}$，$∠ A=60°$。点$D$从点$C$出发沿$CA$方向以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$匀速运动，同时点$E$从点$A$出发沿$AB$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点$D$，$E$运动的时间是$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤15)$。过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$，连接$DE$，$EF$。
(1)四边形$AEFD$能够成为菱形吗？如果能，求出相应的$t$值；如果不能，请说明理由。
(2)当$t$为何值时，$△ DEF$为直角三角形？请说明理由。

图1-2-18

10. 解:(1)能。
在$△DFC$中,$∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t$，
$\therefore DF=2t$。
又 $\because AE=2t,\therefore AE=DF$。
$\because AB⊥BC,DF⊥BC,\therefore AE// DF$。
$\therefore$ 四边形 AEFD 为平行四边形。
当$AE=AD$时,四边形 AEFD 为菱形，
即 $60-4t=2t$,解得 $t=10$。
$\therefore$ 当 $t=10$ 时,四边形 AEFD 为菱形。
(2)当 $t=\frac{15}{2}$ 或 $t=12$ 时,$△DEF$ 为直角三角形。
理由:①当$∠DEF=90°$时,由(1)知四边形 AEFD 为平行四边形，
$\therefore EF// AD,\therefore ∠ADE=∠DEF=90°$。
$\because ∠A=60°,∴∠AED=30°,∴AD=\frac{1}{2}AE=t$。
又 $AD=60-4t$,即 $60-4t=t$,解得 $t=12$。
②当$∠EDF=90°$时,易知$△ADE$是直角三角形，
在 $Rt△AED$ 中,$∠A=60°$,则$∠ADE=30°$，
$\therefore AD=2AE$,即 $60-4t=4t$,解得 $t=\frac{15}{2}$。
③若$∠EFD=90°$,则点 E 与 B 重合,点 D 与 A 重合,此种情况不存在。
综上所述,当 $t=\frac{15}{2}$ 或 $t=12$ 时,$△DEF$ 为直角三角形。

【分析】
(1)判断四边形AEFD能否为菱形，先利用含30°角的直角三角形性质表示出DF的长度，结合动点运动路程可得AE与DF平行且相等，先证得四边形AEFD是平行四边形；再根据菱形“邻边相等的平行四边形是菱形”的判定条件，令AD=AE列方程求解，验证t是否在取值范围内即可。
(2)△DEF为直角三角形需分三种情况讨论：分别令∠DEF、∠EDF、∠EFD为直角，结合平行四边形性质、直角三角形角度关系列方程求解，排除不存在的情况，得到符合条件的t值。
【解析】
(1) 能，求解过程如下：
在$\mathrm{Rt}△DFC$中，$∠ DFC=90°$，$\because \mathrm{Rt}△ABC$中$∠ B=90°,∠ A=60°$，$\therefore ∠ C=30°$。
已知点D运动速度为$4\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$DC=4t$，由30°角所对直角边为斜边一半，得$DF=\frac{1}{2}DC=2t$。
点E运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，则$AE=2t$，$\therefore AE=DF$。
$\because AB⊥ BC,DF⊥ BC$，$\therefore AE// DF$，$\therefore$ 四边形$AEFD$为平行四边形。
当平行四边形邻边相等即$AE=AD$时，四边形为菱形，其中$AD=AC-DC=60-4t$，列方程：
$60-4t=2t$，解得$t=10$，满足$0\le t\le15$，符合条件。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$∠ DEF=90°$时：
由(1)知四边形$AEFD$为平行四边形，$\therefore EF// AD$，$\therefore ∠ ADE=∠ DEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ A=60°$，$\therefore ∠ AED=30°$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AE=t$。
又$AD=60-4t$，列方程：$60-4t=t$，解得$t=12$，满足$0\le t\le15$，符合条件。
② 当$∠ EDF=90°$时：
$\because$ 四边形$AEFD$是平行四边形，$\therefore AD// EF$，$\therefore ∠ AED=∠ EDF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ A=60°$，$\therefore ∠ ADE=30°$，$\therefore AD=2AE$，即$60-4t=2×2t$，解得$t=\frac{15}{2}$，满足$0\le t\le15$，符合条件。
③ 当$∠ EFD=90°$时：
此时$DF⊥ EF$，又$DF⊥ BC$，则EF与BC重合，即点E与B重合、点D与A重合，该情况不符合三角形定义，舍去。
综上，符合条件的t值为$\frac{15}{2}$或12。
【答案】
(1) 能，当$t=10$时，四边形$AEFD$为菱形；
(2) 当$t=\frac{15}{2}$或$t=12$时，$△ DEF$为直角三角形。
【知识点】
菱形的判定；含30°角直角三角形的性质；动点分类讨论
【点评】
本题为几何动点综合题，结合了特殊三角形、平行四边形与菱形的性质，需要根据直角的不同情况分类讨论，考查了方程思想和几何性质的综合运用能力，解题时需注意验证解是否符合运动的取值范围，避免错解漏解。
【难度系数】
0.6