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1. 下列方程中，属于一元二次方程的有 （）
① $2x^2 - 3y -5=0$，② $\frac{2}{3}x^2 -5=0$，③ $x^2=2x$，④ $\frac{1}{x} +4=x^2$，⑤ $y^2 - \sqrt{2}y -3=0$
A.①②③
B.②③④
C.③④⑤
D.②③⑤
① $2x^2 - 3y -5=0$，② $\frac{2}{3}x^2 -5=0$，③ $x^2=2x$，④ $\frac{1}{x} +4=x^2$，⑤ $y^2 - \sqrt{2}y -3=0$
A.①②③
B.②③④
C.③④⑤
D.②③⑤
答案
D
解析
【分析】
要判断方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2。解题时按照“先判断是否为整式方程，再排查未知数个数，最后验证最高次数”的顺序逐一分析给出的5个方程，筛选出全部符合条件的，再匹配对应选项即可。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：属于整式方程、只含1个未知数、未知数的最高次数为2，逐一分析如下：
①$2x^2 - 3y -5=0$：含有x、y两个未知数，不符合“一元”的要求，不属于一元二次方程；
②$\frac{2}{3}x^2 -5=0$：是整式方程，仅含x1个未知数，且x的最高次数为2，满足全部条件，属于一元二次方程；
③$x^2=2x$：整理为标准形式为$x^2-2x=0$，是整式方程，仅含x1个未知数，x的最高次数为2，满足全部条件，属于一元二次方程；
④$\frac{1}{x} +4=x^2$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
⑤$y^2 - \sqrt{2}y -3=0$：是整式方程，仅含y1个未知数，y的最高次数为2，满足全部条件，属于一元二次方程。
综上，属于一元二次方程的是②③⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.整式方程的判定
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定标准，尤其要注意必须是整式方程，分母含未知数的方程属于分式方程，不符合一元二次方程的要求，避免因忽略整式要求出现误判。
【难度系数】
0.8
要判断方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2。解题时按照“先判断是否为整式方程，再排查未知数个数，最后验证最高次数”的顺序逐一分析给出的5个方程，筛选出全部符合条件的，再匹配对应选项即可。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：属于整式方程、只含1个未知数、未知数的最高次数为2，逐一分析如下：
①$2x^2 - 3y -5=0$：含有x、y两个未知数，不符合“一元”的要求，不属于一元二次方程；
②$\frac{2}{3}x^2 -5=0$：是整式方程，仅含x1个未知数，且x的最高次数为2，满足全部条件，属于一元二次方程；
③$x^2=2x$：整理为标准形式为$x^2-2x=0$，是整式方程，仅含x1个未知数，x的最高次数为2，满足全部条件，属于一元二次方程；
④$\frac{1}{x} +4=x^2$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
⑤$y^2 - \sqrt{2}y -3=0$：是整式方程，仅含y1个未知数，y的最高次数为2，满足全部条件，属于一元二次方程。
综上，属于一元二次方程的是②③⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.整式方程的判定
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定标准，尤其要注意必须是整式方程，分母含未知数的方程属于分式方程，不符合一元二次方程的要求，避免因忽略整式要求出现误判。
【难度系数】
0.8
2. 若关于x的一元二次方程的根为$\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2 -4×3×(-5)}}{2×3}$，则这个方程是（）
A.$3x^2 +x -5=0$
B.$3x^2 -x -5=0$
C.$x^2 -3x -5=0$
D.$x^2 +3x -5=0$
A.$3x^2 +x -5=0$
B.$3x^2 -x -5=0$
C.$x^2 -3x -5=0$
D.$x^2 +3x -5=0$
答案
B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程求根公式的结构解题。一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需将题目给出的根的表达式与求根公式逐部分对应，确定系数$a、b、c$的值，即可得到对应的方程；也可先计算两根之和、两根之积，结合根与系数的关系推导方程。
【解析】
方法一：对比求根公式推导
一元二次方程的求根公式为：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (a≠0)$
将题目给出的根$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{(-1)^2 -4×3×(-5)}}{2×3}$与求根公式逐部分对应：
1. 分母部分：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 分子的常数项：$-b=1$，解得$b=-1$；
3. 根号内的常数项：对比$b^2-4ac$与$(-1)^2-4×3×(-5)$，可得$c=-5$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2 -x -5=0$。
方法二：利用根与系数关系验证
设方程的两根为$x_1=\frac{1+\sqrt{61}}{6}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$，根据韦达定理：
两根之和：$\displaystyle x_1+x_2=\frac{1+\sqrt{61}+1-\sqrt{61}}{6}=\frac{1}{3}=-\frac{b}{a}$
两根之积：$\displaystyle x_1x_2=\frac{1^2-(\sqrt{61})^2}{36}=-\frac{5}{3}=\frac{c}{a}$
取$a=3$，则$b=-1$，$c=-5$，对应方程为$3x^2 -x -5=0$，符合选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的掌握，解题时要注意求根公式分子中$-b$的符号，避免因符号混淆选错答案，也可将选项逐一代入求根公式计算，验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程求根公式的结构解题。一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需将题目给出的根的表达式与求根公式逐部分对应，确定系数$a、b、c$的值，即可得到对应的方程；也可先计算两根之和、两根之积，结合根与系数的关系推导方程。
【解析】
方法一：对比求根公式推导
一元二次方程的求根公式为：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (a≠0)$
将题目给出的根$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{(-1)^2 -4×3×(-5)}}{2×3}$与求根公式逐部分对应：
1. 分母部分：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 分子的常数项：$-b=1$，解得$b=-1$；
3. 根号内的常数项：对比$b^2-4ac$与$(-1)^2-4×3×(-5)$，可得$c=-5$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2 -x -5=0$。
方法二：利用根与系数关系验证
设方程的两根为$x_1=\frac{1+\sqrt{61}}{6}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$，根据韦达定理：
两根之和：$\displaystyle x_1+x_2=\frac{1+\sqrt{61}+1-\sqrt{61}}{6}=\frac{1}{3}=-\frac{b}{a}$
两根之积：$\displaystyle x_1x_2=\frac{1^2-(\sqrt{61})^2}{36}=-\frac{5}{3}=\frac{c}{a}$
取$a=3$，则$b=-1$，$c=-5$，对应方程为$3x^2 -x -5=0$，符合选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的掌握，解题时要注意求根公式分子中$-b$的符号，避免因符号混淆选错答案，也可将选项逐一代入求根公式计算，验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
3. 下列关于$x$的方程必有实数根的是 （）
A.$x^2 + mx + 6 = 0$
B.$x^2 + 6x + m = 0$
C.$x^2 + mx - 6 = 0$
D.$x^2 + 6x - m = 0$
A.$x^2 + mx + 6 = 0$
B.$x^2 + 6x + m = 0$
C.$x^2 + mx - 6 = 0$
D.$x^2 + 6x - m = 0$
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否必有实数根，核心是看其根的判别式是否恒大于等于0。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式公式：$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根。我们只需逐个计算4个选项的判别式，分析判别式的取值是否恒为非负数即可得到答案。
【解析】
我们分别计算每个选项方程的判别式：
选项A：方程$x^2 + mx + 6 = 0$中，$a=1,b=m,c=6$，$\Delta = m^2 - 4×1×6 = m^2 -24$。当$m^2＜24$时，$\Delta＜0$，方程无实根，不符合要求。
选项B：方程$x^2 + 6x + m = 0$中，$a=1,b=6,c=m$，$\Delta = 6^2 -4×1×m = 36-4m$。当$m＞9$时，$\Delta＜0$，方程无实根，不符合要求。
选项C：方程$x^2 + mx - 6 = 0$中，$a=1,b=m,c=-6$，$\Delta = m^2 -4×1×(-6) = m^2 +24$。由于任意实数的平方均非负，即$m^2≥0$，因此$\Delta = m^2+24≥24＞0$，无论m取何值，判别式恒大于0，方程必有两个不相等的实数根，符合要求。
选项D：方程$x^2 + 6x - m = 0$中，$a=1,b=6,c=-m$，$\Delta = 6^2 -4×1×(-m) = 36+4m$。当$m＜-9$时，$\Delta＜0$，方程无实根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题关键是准确计算各选项的判别式，结合平方非负的性质判断判别式的取值范围，注意题目要求是“必有实数根”，即无论参数取何值都要满足判别式非负。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否必有实数根，核心是看其根的判别式是否恒大于等于0。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式公式：$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根。我们只需逐个计算4个选项的判别式，分析判别式的取值是否恒为非负数即可得到答案。
【解析】
我们分别计算每个选项方程的判别式：
选项A：方程$x^2 + mx + 6 = 0$中，$a=1,b=m,c=6$，$\Delta = m^2 - 4×1×6 = m^2 -24$。当$m^2＜24$时，$\Delta＜0$，方程无实根，不符合要求。
选项B：方程$x^2 + 6x + m = 0$中，$a=1,b=6,c=m$，$\Delta = 6^2 -4×1×m = 36-4m$。当$m＞9$时，$\Delta＜0$，方程无实根，不符合要求。
选项C：方程$x^2 + mx - 6 = 0$中，$a=1,b=m,c=-6$，$\Delta = m^2 -4×1×(-6) = m^2 +24$。由于任意实数的平方均非负，即$m^2≥0$，因此$\Delta = m^2+24≥24＞0$，无论m取何值，判别式恒大于0，方程必有两个不相等的实数根，符合要求。
选项D：方程$x^2 + 6x - m = 0$中，$a=1,b=6,c=-m$，$\Delta = 6^2 -4×1×(-m) = 36+4m$。当$m＜-9$时，$\Delta＜0$，方程无实根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题关键是准确计算各选项的判别式，结合平方非负的性质判断判别式的取值范围，注意题目要求是“必有实数根”，即无论参数取何值都要满足判别式非负。
【难度系数】
0.8
4. 用配方法将方程$x^2 - 4x - 2022 = 0$转化为$(x + m)^2 = n$的形式，则$m - n$的值为（）
A.2 027
B.-2 026
C.2 026
D.-2 028
A.2 027
B.-2 026
C.2 026
D.-2 028
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧转化为完全平方式，再对照$(x+m)^2=n$的形式确定$m$和$n$的值，最后代入计算$m-n$即可。
【解析】
对原方程$x^2 - 4x - 2022 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 4x = 2022$
2. 配方：一次项系数为$-4$，它的一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 2022 + 4$
3. 左侧写成完全平方式，化简右侧，得：$(x - 2)^2 = 2026$
将所得式子与$(x+m)^2=n$对照，可得$m=-2$，$n=2026$
代入计算$m-n$：$m-n = -2 - 2026 = -2028$
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法的应用
2. 完全平方公式
【点评】
本题主要考查用配方法对一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法的步骤是解题的核心，解题时要注意完全平方式中$m$的符号，避免因符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧转化为完全平方式，再对照$(x+m)^2=n$的形式确定$m$和$n$的值，最后代入计算$m-n$即可。
【解析】
对原方程$x^2 - 4x - 2022 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 4x = 2022$
2. 配方：一次项系数为$-4$，它的一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 2022 + 4$
3. 左侧写成完全平方式，化简右侧，得：$(x - 2)^2 = 2026$
将所得式子与$(x+m)^2=n$对照，可得$m=-2$，$n=2026$
代入计算$m-n$：$m-n = -2 - 2026 = -2028$
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法的应用
2. 完全平方公式
【点评】
本题主要考查用配方法对一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法的步骤是解题的核心，解题时要注意完全平方式中$m$的符号，避免因符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
5. 如图是某地地下停车场的平面示意图，停车场的长为40 m，宽为22 m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为595 m²，求车道的宽度(单位：m).设停车场内车道的宽度为x m，根据题意，可列方程 ()
A.(40−2x)(22−x)=595
B.(40−x)(22−x)=595
C.(40−x)(22−2x)=595
D.(40−2x)(22−2x)=595
A.(40−2x)(22−x)=595
B.(40−x)(22−x)=595
C.(40−x)(22−2x)=595
D.(40−2x)(22−2x)=595
答案
B
解析
【分析】
这是一道几何面积类的一元二次方程应用题，解题核心是用平移法将分散的停车位拼接为规则矩形，简化面积计算。首先明确停车场的长为40m（水平方向）、宽为22m（竖直方向），车道宽度为x。我们只需要算出平移后停车位组成的矩形的长和宽，再根据“矩形面积=长×宽”即可列出方程。首先分析竖直方向：中间有1条横向车道，宽度为x，因此拼接后矩形的竖直边长为总宽22减去x；再分析水平方向：纵向车道总宽度为x，因此拼接后矩形的水平边长为总长40减去x，最后结合停车位总面积列方程即可。
【解析】
我们使用平移法，将上下两排停车位平移拼接为一个完整的矩形：
1. 求拼接后矩形的宽：停车场总宽为22m，中间横向车道宽度为x m，因此拼接后矩形的宽为$(22 - x)$m；
2. 求拼接后矩形的长：停车场总长为40m，纵向车道总宽度为x m，因此拼接后矩形的长为$(40 - x)$m；
3. 已知停车位的占地面积为595 m²，根据矩形面积公式可列方程：
$(40 - x)(22 - x) = 595$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用，平移法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程的典型考题，解题关键是通过平移将分散的不规则图形转化为规则矩形，降低计算难度，解题时要注意准确判断平移后矩形的边长，避免多减或少减车道宽度。
【难度系数】
0.7
这是一道几何面积类的一元二次方程应用题，解题核心是用平移法将分散的停车位拼接为规则矩形，简化面积计算。首先明确停车场的长为40m（水平方向）、宽为22m（竖直方向），车道宽度为x。我们只需要算出平移后停车位组成的矩形的长和宽，再根据“矩形面积=长×宽”即可列出方程。首先分析竖直方向：中间有1条横向车道，宽度为x，因此拼接后矩形的竖直边长为总宽22减去x；再分析水平方向：纵向车道总宽度为x，因此拼接后矩形的水平边长为总长40减去x，最后结合停车位总面积列方程即可。
【解析】
我们使用平移法，将上下两排停车位平移拼接为一个完整的矩形：
1. 求拼接后矩形的宽：停车场总宽为22m，中间横向车道宽度为x m，因此拼接后矩形的宽为$(22 - x)$m；
2. 求拼接后矩形的长：停车场总长为40m，纵向车道总宽度为x m，因此拼接后矩形的长为$(40 - x)$m；
3. 已知停车位的占地面积为595 m²，根据矩形面积公式可列方程：
$(40 - x)(22 - x) = 595$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用，平移法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程的典型考题，解题关键是通过平移将分散的不规则图形转化为规则矩形，降低计算难度，解题时要注意准确判断平移后矩形的边长，避免多减或少减车道宽度。
【难度系数】
0.7
6. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法. 以方程$x^2 + 2x - 35 = 0$即$x(x + 2) = 35$为例, 记载的方法如下: 构造如图所示的正方形, 大正方形的面积是$(x + x + 2)^2$, 同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积, 即$4×35 + 2^2$, 因此$x = 5$, 在下面四个选项中, 能正确说明方程$x^2 -5x -6 =0$解法的构图是
()
()
答案
$\boxed{B}$
解析
【分析】
解题前先明确题干给出的一元二次方程几何解法的核心逻辑：先将方程整理为“x·(x±a)=b”的形式，再构造由4个全等矩形和中间1个小正方形组成的大正方形：矩形的两边分别为x和(x±a)，面积为b；中间小正方形的边长为矩形两边的差|a|，大正方形边长为矩形两边的和，再利用“大正方形面积=4个矩形面积+中间小正方形面积”的等量关系求解。
针对本题，先整理目标方程$x^2-5x-6=0$为$x(x-5)=6$，可知矩形的两边为x和x-5，长宽差为5，即中间小正方形边长为5，每个矩形面积为6，据此匹配符合条件的构图即可。
【解析】
1. 变形目标方程：将$x^2 - 5x - 6 = 0$移项得$x(x-5)=6$。
2. 推导几何构图的特征：
① 四个全等矩形的长为$x$，宽为$x-5$，单个矩形面积为6，矩形的长宽差为$x-(x-5)=5$，因此中间小正方形的边长为5，面积为$5^2=25$；
② 大正方形的边长为矩形长与宽的和：$x+(x-5)=2x-5$，满足面积关系$(2x-5)^2=4×6 + 5^2=49$，解得正根$x=6$，符合要求。
3. 逐一比对选项，只有选项B的构图满足“中间小正方形边长为5，四个矩形长宽差为5、单个面积为6”的特征。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
1. 一元二次方程的几何解法
2. 完全平方公式的几何意义
3. 正方形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学成果命题，既渗透了数学文化，也考查了知识迁移应用的能力，解题关键是读懂题干给出的解法规则，再将规则迁移到新的方程中对应分析构图特征。
【难度系数】
0.7
解题前先明确题干给出的一元二次方程几何解法的核心逻辑：先将方程整理为“x·(x±a)=b”的形式，再构造由4个全等矩形和中间1个小正方形组成的大正方形：矩形的两边分别为x和(x±a)，面积为b；中间小正方形的边长为矩形两边的差|a|，大正方形边长为矩形两边的和，再利用“大正方形面积=4个矩形面积+中间小正方形面积”的等量关系求解。
针对本题，先整理目标方程$x^2-5x-6=0$为$x(x-5)=6$，可知矩形的两边为x和x-5，长宽差为5，即中间小正方形边长为5，每个矩形面积为6，据此匹配符合条件的构图即可。
【解析】
1. 变形目标方程：将$x^2 - 5x - 6 = 0$移项得$x(x-5)=6$。
2. 推导几何构图的特征：
① 四个全等矩形的长为$x$，宽为$x-5$，单个矩形面积为6，矩形的长宽差为$x-(x-5)=5$，因此中间小正方形的边长为5，面积为$5^2=25$；
② 大正方形的边长为矩形长与宽的和：$x+(x-5)=2x-5$，满足面积关系$(2x-5)^2=4×6 + 5^2=49$，解得正根$x=6$，符合要求。
3. 逐一比对选项，只有选项B的构图满足“中间小正方形边长为5，四个矩形长宽差为5、单个面积为6”的特征。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
1. 一元二次方程的几何解法
2. 完全平方公式的几何意义
3. 正方形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学成果命题，既渗透了数学文化，也考查了知识迁移应用的能力，解题关键是读懂题干给出的解法规则，再将规则迁移到新的方程中对应分析构图特征。
【难度系数】
0.7
