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9. 某共享电动车运营公司在一个区域投放了 30 辆共享电动车，统计发现，当每辆电动车的日租金为 300 元时，可全部被使用；当每辆电动车的日租金每增加 40 元，未被使用的电动车将增加 1 辆. 公司平均每日对这 30 辆车的维护等各项支出共 5 000 元，设公司每日有 x 辆电动车被使用.（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）
（1）公司每日有 x 辆电动车被使用时，每辆电动车的日租金为
（2）当每日有多少辆电动车被使用时，运营公司的日收益最多？利润最多为多少元？
（1）公司每日有 x 辆电动车被使用时，每辆电动车的日租金为
1 500−40x
元；（用含 x 的代数式表示）（2）当每日有多少辆电动车被使用时，运营公司的日收益最多？利润最多为多少元？
答案
9. (1) 1 500−40x (2) 当每日有 19 辆电动车被使用时，运营公司的日收益会最多，利润最多为 9 060 元
解析
【分析】
（1）要推导每辆电动车的日租金，先计算未被使用的电动车数量：总投放30辆，使用x辆时未使用的为(30-x)辆。已知每多1辆未使用，日租金上涨40元，全部租出时日租金为300元，因此总上涨租金为40×(30-x)，加上基础租金后化简即可得到结果。
（2）日收益=日租金总收入-固定支出，先结合第一问的租金表达式列出日收益关于x的函数，再根据函数性质求最大值；注意x代表车辆数，必须为正整数，因此要取距离顶点横坐标最近的整数计算最大收益。
【解析】
（1）未被使用的电动车数量为$(30-x)$辆，每辆日租金为：
$300+40×(30-x)=300+1200-40x=1500-40x$（元）
（2）设日收益为$y$元，根据题意列表达式：
$\begin{aligned}y&=x(1500-40x)-5000\\&=-40x^2+1500x-5000\end{aligned}$
该函数是开口向下的二次函数，顶点处取最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1500}{2×(-40)}=18.75$
由于$x$为正整数，分别计算$x=18$和$x=19$对应的收益：
当$x=18$时，$y=-40×18^2+1500×18-5000=9040$元
当$x=19$时，$y=-40×19^2+1500×19-5000=9060$元
$9060＞9040$，因此$x=19$时日收益最大。
【答案】
（1）$\boxed{1500-40x}$；（2）当每日有19辆电动车被使用时，运营公司的日收益最多，利润最多为9060元。
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际运营场景命题，解题核心是理清租金变化和使用车辆数的数量关系，正确列出函数表达式；需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，不能直接套用顶点的小数结果，需结合整数要求筛选最优解。
【难度系数】
0.65
（1）要推导每辆电动车的日租金，先计算未被使用的电动车数量：总投放30辆，使用x辆时未使用的为(30-x)辆。已知每多1辆未使用，日租金上涨40元，全部租出时日租金为300元，因此总上涨租金为40×(30-x)，加上基础租金后化简即可得到结果。
（2）日收益=日租金总收入-固定支出，先结合第一问的租金表达式列出日收益关于x的函数，再根据函数性质求最大值；注意x代表车辆数，必须为正整数，因此要取距离顶点横坐标最近的整数计算最大收益。
【解析】
（1）未被使用的电动车数量为$(30-x)$辆，每辆日租金为：
$300+40×(30-x)=300+1200-40x=1500-40x$（元）
（2）设日收益为$y$元，根据题意列表达式：
$\begin{aligned}y&=x(1500-40x)-5000\\&=-40x^2+1500x-5000\end{aligned}$
该函数是开口向下的二次函数，顶点处取最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1500}{2×(-40)}=18.75$
由于$x$为正整数，分别计算$x=18$和$x=19$对应的收益：
当$x=18$时，$y=-40×18^2+1500×18-5000=9040$元
当$x=19$时，$y=-40×19^2+1500×19-5000=9060$元
$9060＞9040$，因此$x=19$时日收益最大。
【答案】
（1）$\boxed{1500-40x}$；（2）当每日有19辆电动车被使用时，运营公司的日收益最多，利润最多为9060元。
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际运营场景命题，解题核心是理清租金变化和使用车辆数的数量关系，正确列出函数表达式；需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，不能直接套用顶点的小数结果，需结合整数要求筛选最优解。
【难度系数】
0.65
10. 某中学为迎接运动会开幕式，准备购买甲、乙两款运动服. 甲款运动服单价 $y$ 元与购买件数 $x$ 件之间的函数关系如图所示，乙款运动服的单价为 50 元.
（1）直接写出当 $0≤ x≤ 400$ 和 $x＞400$ 时，$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；
（2）该学校预计购买甲、乙两款运动服共 1 000 件，最终花费为 56 000 元，有哪几种购买方案？
（1）直接写出当 $0≤ x≤ 400$ 和 $x＞400$ 时，$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；
（2）该学校预计购买甲、乙两款运动服共 1 000 件，最终花费为 56 000 元，有哪几种购买方案？
答案
10. (1) 当0≤x≤400时，y=−0.1x+100；当x＞400，y=60 (2) 3种. 甲款运动服购买200件，乙款运动服购买800件；甲款运动服购买300件，乙款运动服购买700件；甲款运动服购买600件，乙款运动服购买400件
解析
【分析】
（1）本题是分段函数求解析式问题，当0≤x≤400时，函数为一次函数，可利用待定系数法，代入已知的两个点坐标求解k、b的值；当x＞400时，函数为常数函数，先计算x=400时的函数值即可得到该段的解析式。
（2）设购买甲款运动服m件，则乙款为(1000-m)件，分两种情况讨论：①0≤m≤400时，用对应段的甲单价列总花费方程；②m＞400时，用甲的固定单价列总花费方程，求解后检验解是否符合对应区间，舍去不符合题意的解即可得到购买方案。
【解析】
（1）①当$0≤ x≤400$时，设函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(0,100)$、$(200,80)$代入得：
$\begin{cases}b=100\\200k+b=80\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.1\\b=100\end{cases}$
∴此时$y=-0.1x+100$。
②当$x=400$时，$y=-0.1×400+100=60$，
由图可知当$x＞400$时，单价不变，
∴此时$y=60$。
（2）设购买甲款运动服$m$件，则购买乙款运动服$(1000-m)$件，分两种情况讨论：
①当$0≤ m≤400$时，根据总花费列方程：
$m(-0.1m+100)+50(1000-m)=56000$
整理得：$m^2-500m+60000=0$
因式分解得：$(m-200)(m-300)=0$
解得$m_1=200$，$m_2=300$，均满足$0≤ m≤400$，符合题意。
对应乙款数量分别为：$1000-200=800$件，$1000-300=700$件。
②当$m＞400$时，根据总花费列方程：
$60m+50(1000-m)=56000$
解得：$m=600$，满足$m＞400$，符合题意。
对应乙款数量为：$1000-600=400$件。
综上共有3种购买方案。
【答案】
(1) 当$0≤ x≤ 400$时，$y=-0.1x+100$；当$x＞400$时，$y=60$
(2) 共3种购买方案：①甲款运动服购买200件，乙款运动服购买800件；②甲款运动服购买300件，乙款运动服购买700件；③甲款运动服购买600件，乙款运动服购买400件
【知识点】
待定系数法求解析式，一元二次方程应用，分段函数应用
【点评】
本题结合实际购物场景考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确求出分段函数的解析式，再根据单价的不同区间分类讨论列方程，求解后要注意检验解是否符合实际取值范围。
【难度系数】
0.7
（1）本题是分段函数求解析式问题，当0≤x≤400时，函数为一次函数，可利用待定系数法，代入已知的两个点坐标求解k、b的值；当x＞400时，函数为常数函数，先计算x=400时的函数值即可得到该段的解析式。
（2）设购买甲款运动服m件，则乙款为(1000-m)件，分两种情况讨论：①0≤m≤400时，用对应段的甲单价列总花费方程；②m＞400时，用甲的固定单价列总花费方程，求解后检验解是否符合对应区间，舍去不符合题意的解即可得到购买方案。
【解析】
（1）①当$0≤ x≤400$时，设函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(0,100)$、$(200,80)$代入得：
$\begin{cases}b=100\\200k+b=80\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.1\\b=100\end{cases}$
∴此时$y=-0.1x+100$。
②当$x=400$时，$y=-0.1×400+100=60$，
由图可知当$x＞400$时，单价不变，
∴此时$y=60$。
（2）设购买甲款运动服$m$件，则购买乙款运动服$(1000-m)$件，分两种情况讨论：
①当$0≤ m≤400$时，根据总花费列方程：
$m(-0.1m+100)+50(1000-m)=56000$
整理得：$m^2-500m+60000=0$
因式分解得：$(m-200)(m-300)=0$
解得$m_1=200$，$m_2=300$，均满足$0≤ m≤400$，符合题意。
对应乙款数量分别为：$1000-200=800$件，$1000-300=700$件。
②当$m＞400$时，根据总花费列方程：
$60m+50(1000-m)=56000$
解得：$m=600$，满足$m＞400$，符合题意。
对应乙款数量为：$1000-600=400$件。
综上共有3种购买方案。
【答案】
(1) 当$0≤ x≤ 400$时，$y=-0.1x+100$；当$x＞400$时，$y=60$
(2) 共3种购买方案：①甲款运动服购买200件，乙款运动服购买800件；②甲款运动服购买300件，乙款运动服购买700件；③甲款运动服购买600件，乙款运动服购买400件
【知识点】
待定系数法求解析式，一元二次方程应用，分段函数应用
【点评】
本题结合实际购物场景考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确求出分段函数的解析式，再根据单价的不同区间分类讨论列方程，求解后要注意检验解是否符合实际取值范围。
【难度系数】
0.7
11. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量$ y $双与降低的价格$ x $元满足关系式$ y=10x+200 $。
（1）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（2）公司的最大利润能否为9100元？若不能，应如何定价才能获得最大利润？
（1）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（2）公司的最大利润能否为9100元？若不能，应如何定价才能获得最大利润？
答案
11. (1) 87 (2) 不能，利润为−10(x−10)²+9 000，最大值是9 000，当定价为50元时，利润最大为9 000
解析
【分析】
本题属于销售利润类问题，核心公式为：总利润=单双商品利润×销售数量。
（1）首先表示出降价x元后的单双利润，结合给出的销量与降价x的关系式，列出总利润为8910元的一元二次方程，解方程后根据“优惠力度最大”即降价幅度最大的要求选取合适的根，再计算最终售价。
（2）先将总利润表示为关于x的二次函数，利用配方法将函数化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值，与9100比较判断能否达到，再根据取得最大值时x的值计算对应定价。
【解析】
（1）设每双运动鞋降低的价格为x元，由题意得：
降价后单双利润为：$100 - x - 60 = 40 - x$元
销售数量为：$y = 10x + 200$双
根据总利润公式列方程：
$(40 - x)(10x + 200) = 8910$
展开整理得：
$x^2 - 20x + 91 = 0$
因式分解得：
$(x - 7)(x - 13) = 0$
解得：$x_1=7，x_2=13$
∵要求优惠力度最大，即降价幅度最大，
∴取$x=13$
此时售价为：$100 - 13 = 87$元
（2）设每天的总利润为$W$元，由题意得：
$W = (40 - x)(10x + 200)$
展开并配方：
$W = -10x^2 + 200x + 8000$
$W = -10(x^2 - 20x) + 8000$
$W = -10(x - 10)^2 + 9000$
∵二次项系数$-10＜0$，
∴函数图象开口向下，当$x=10$时，$W$取得最大值，最大值为9000元
∵$9000＜9100$，
∴最大利润不能达到9100元
此时定价为：$100 - 10 = 90$元
【答案】
（1）87元；（2）不能，最大利润为9000元，定价为90元时获得最大利润
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数利润问题，配方法求最值
【点评】
本题围绕销售利润场景命题，既考查了一元二次方程的实际求解，也考查了二次函数最值的推导，解题时要注意结合题目的限制条件选取符合实际的解，熟练掌握配方法是解决二次函数最值问题的核心。
【难度系数】
0.65
本题属于销售利润类问题，核心公式为：总利润=单双商品利润×销售数量。
（1）首先表示出降价x元后的单双利润，结合给出的销量与降价x的关系式，列出总利润为8910元的一元二次方程，解方程后根据“优惠力度最大”即降价幅度最大的要求选取合适的根，再计算最终售价。
（2）先将总利润表示为关于x的二次函数，利用配方法将函数化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值，与9100比较判断能否达到，再根据取得最大值时x的值计算对应定价。
【解析】
（1）设每双运动鞋降低的价格为x元，由题意得：
降价后单双利润为：$100 - x - 60 = 40 - x$元
销售数量为：$y = 10x + 200$双
根据总利润公式列方程：
$(40 - x)(10x + 200) = 8910$
展开整理得：
$x^2 - 20x + 91 = 0$
因式分解得：
$(x - 7)(x - 13) = 0$
解得：$x_1=7，x_2=13$
∵要求优惠力度最大，即降价幅度最大，
∴取$x=13$
此时售价为：$100 - 13 = 87$元
（2）设每天的总利润为$W$元，由题意得：
$W = (40 - x)(10x + 200)$
展开并配方：
$W = -10x^2 + 200x + 8000$
$W = -10(x^2 - 20x) + 8000$
$W = -10(x - 10)^2 + 9000$
∵二次项系数$-10＜0$，
∴函数图象开口向下，当$x=10$时，$W$取得最大值，最大值为9000元
∵$9000＜9100$，
∴最大利润不能达到9100元
此时定价为：$100 - 10 = 90$元
【答案】
（1）87元；（2）不能，最大利润为9000元，定价为90元时获得最大利润
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数利润问题，配方法求最值
【点评】
本题围绕销售利润场景命题，既考查了一元二次方程的实际求解，也考查了二次函数最值的推导，解题时要注意结合题目的限制条件选取符合实际的解，熟练掌握配方法是解决二次函数最值问题的核心。
【难度系数】
0.65
