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例2 口袋里有除颜色外其他都相同的5个红球和3个白球.
（1）先从袋子里取出$m(m≥1)$个白球，再从袋子里随机摸出1个球，将“摸出红球”记为事件A.若事件A是必然事件，则$m=$
（2）先从袋子中取出$m$个白球，再放入$m$个一样的红球并摇匀，摸出1个球是红球的概率是$\frac{3}{4}$，求$m$的值.
（1）先从袋子里取出$m(m≥1)$个白球，再从袋子里随机摸出1个球，将“摸出红球”记为事件A.若事件A是必然事件，则$m=$
3
；如果事件A是随机事件，则$m=$1或2
.（2）先从袋子中取出$m$个白球，再放入$m$个一样的红球并摇匀，摸出1个球是红球的概率是$\frac{3}{4}$，求$m$的值.
答案
（1）如果事件 A 是必然事件,那么袋子里全是红球,
∴$m=3$.如果事件 A 是随机事件,那么袋子里还剩余白球,
∴$m=1$或 2.
（2）由题意,得$\frac{5+m}{8}=\frac{3}{4}$,解得 $m=1$
∴$m=3$.如果事件 A 是随机事件,那么袋子里还剩余白球,
∴$m=1$或 2.
（2）由题意,得$\frac{5+m}{8}=\frac{3}{4}$,解得 $m=1$
解析
【分析】
（1）解题首先要明确必然事件、随机事件的定义：必然事件是一定发生的事件，若摸出红球为必然事件，说明袋中没有白球，因此需要把所有白球都取出；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，若摸出红球为随机事件，说明袋中既有红球也有剩余白球，结合$m≥1$的条件即可确定$m$的取值。
（2）先分析操作后袋内的总球数和红球个数：取出$m$个白球再放入$m$个红球后，总球数不变仍为8个，红球个数变为原来的5个加上新放入的$m$个，再根据“概率=所求情况数与总情况数之比”列方程求解即可。
【解析】
（1）若事件A是必然事件，说明袋中不存在白球，所有球均为红球，已知原有3个白球，因此需取出全部白球，即$m=3$；
若事件A是随机事件，说明袋中同时存在红球和剩余的白球，因此$m≥1$且剩余白球数$3-m＞0$，即$1≤m＜3$，结合$m$为正整数，得$m=1$或$2$。
（2）由题意可知，操作后袋内总球数为$5+3=8$个，红球的个数为$5+m$个，根据概率公式可得：
$\frac{5+m}{8}=\frac{3}{4}$
方程两边同乘8得：$5+m=6$
解得：$m=1$，经检验符合题意。
【答案】
（1）$3$；$1$或$2$
（2）$m=1$
【知识点】
事件的分类，概率公式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题，结合实际情境考查事件类型的判断和概率的简单计算，解题关键是准确理解不同事件类型对应的数量关系，熟练掌握概率公式列方程求解未知参数。
【难度系数】
0.7
（1）解题首先要明确必然事件、随机事件的定义：必然事件是一定发生的事件，若摸出红球为必然事件，说明袋中没有白球，因此需要把所有白球都取出；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，若摸出红球为随机事件，说明袋中既有红球也有剩余白球，结合$m≥1$的条件即可确定$m$的取值。
（2）先分析操作后袋内的总球数和红球个数：取出$m$个白球再放入$m$个红球后，总球数不变仍为8个，红球个数变为原来的5个加上新放入的$m$个，再根据“概率=所求情况数与总情况数之比”列方程求解即可。
【解析】
（1）若事件A是必然事件，说明袋中不存在白球，所有球均为红球，已知原有3个白球，因此需取出全部白球，即$m=3$；
若事件A是随机事件，说明袋中同时存在红球和剩余的白球，因此$m≥1$且剩余白球数$3-m＞0$，即$1≤m＜3$，结合$m$为正整数，得$m=1$或$2$。
（2）由题意可知，操作后袋内总球数为$5+3=8$个，红球的个数为$5+m$个，根据概率公式可得：
$\frac{5+m}{8}=\frac{3}{4}$
方程两边同乘8得：$5+m=6$
解得：$m=1$，经检验符合题意。
【答案】
（1）$3$；$1$或$2$
（2）$m=1$
【知识点】
事件的分类，概率公式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题，结合实际情境考查事件类型的判断和概率的简单计算，解题关键是准确理解不同事件类型对应的数量关系，熟练掌握概率公式列方程求解未知参数。
【难度系数】
0.7
1. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是 （
A.守株待兔
B.大海捞针
C.返老还童
D.旭日东升
D
）A.守株待兔
B.大海捞针
C.返老还童
D.旭日东升
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确不同类型事件的可能性大小范围：不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间，必然事件发生的可能性为1，是所有事件里发生可能性最大的类型。我们只需要先判断每个选项对应的事件所属类型，再对比可能性大小即可得到答案。
【解析】
首先明确不同事件的概率范围：①不可能事件：发生概率为0；②随机事件：发生概率满足0＜P＜1；③必然事件：发生概率为1。
逐一分析各选项：
A. 守株待兔是偶然发生的小概率随机事件，发生可能性远小于1；
B. 大海捞针是发生概率接近0的随机事件，发生可能性极小；
C. 返老还童违背自然生长规律，属于不可能事件，发生可能性为0；
D. 旭日东升是受地球自转影响的客观自然规律，属于必然事件，发生可能性为1。
因此发生可能性最大的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
事件类型判断；可能性大小比较
【点评】
本题结合成语考查可能性相关知识，既需要学生理解成语含义，也需要结合生活常识判断事件的类型，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确不同类型事件的可能性大小范围：不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间，必然事件发生的可能性为1，是所有事件里发生可能性最大的类型。我们只需要先判断每个选项对应的事件所属类型，再对比可能性大小即可得到答案。
【解析】
首先明确不同事件的概率范围：①不可能事件：发生概率为0；②随机事件：发生概率满足0＜P＜1；③必然事件：发生概率为1。
逐一分析各选项：
A. 守株待兔是偶然发生的小概率随机事件，发生可能性远小于1；
B. 大海捞针是发生概率接近0的随机事件，发生可能性极小；
C. 返老还童违背自然生长规律，属于不可能事件，发生可能性为0；
D. 旭日东升是受地球自转影响的客观自然规律，属于必然事件，发生可能性为1。
因此发生可能性最大的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
事件类型判断；可能性大小比较
【点评】
本题结合成语考查可能性相关知识，既需要学生理解成语含义，也需要结合生活常识判断事件的类型，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.9
2. 一个袋子里有7个红球、4个黄球和1个绿球.从中任意摸出1个球,摸出的球 （
A.一定是绿球
B.一定是黄球
C.一定是红球
D.红球的可能性大
D
）A.一定是绿球
B.一定是黄球
C.一定是红球
D.红球的可能性大
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确随机事件的特点：袋子中存在三种颜色的球，任意摸1个时，三种颜色都有被摸到的可能，因此所有带“一定”表述的选项均不成立，可先排除A、B、C；再根据可能性大小的判断规律：相同条件下，某类个体的数量越多，摸到该类个体的可能性越大，对比三种球的数量即可判断正确选项。
【解析】
1. 先判断“一定”类表述是否正确：袋子内共有红球、黄球、绿球三种颜色的球，从中任意摸出1个，三种颜色的球都存在被摸到的可能，因此“一定是绿球”“一定是黄球”“一定是红球”的表述均错误，排除A、B、C选项。
2. 再判断可能性大小：在摸球试验中，某种颜色球的数量越多，摸出该颜色球的可能性越大。已知红球7个、黄球4个、绿球1个，7＞4＞1，红球数量最多，因此摸出红球的可能性最大，D选项表述正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 可能性大小判断
2. 随机事件的概念
【点评】
本题属于可能性相关的基础题型，解题核心是理解随机事件的不确定性，以及可能性大小和对应个体数量的正相关关系，易错点是误将可能性大小等同于必然性。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确随机事件的特点：袋子中存在三种颜色的球，任意摸1个时，三种颜色都有被摸到的可能，因此所有带“一定”表述的选项均不成立，可先排除A、B、C；再根据可能性大小的判断规律：相同条件下，某类个体的数量越多，摸到该类个体的可能性越大，对比三种球的数量即可判断正确选项。
【解析】
1. 先判断“一定”类表述是否正确：袋子内共有红球、黄球、绿球三种颜色的球，从中任意摸出1个，三种颜色的球都存在被摸到的可能，因此“一定是绿球”“一定是黄球”“一定是红球”的表述均错误，排除A、B、C选项。
2. 再判断可能性大小：在摸球试验中，某种颜色球的数量越多，摸出该颜色球的可能性越大。已知红球7个、黄球4个、绿球1个，7＞4＞1，红球数量最多，因此摸出红球的可能性最大，D选项表述正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 可能性大小判断
2. 随机事件的概念
【点评】
本题属于可能性相关的基础题型，解题核心是理解随机事件的不确定性，以及可能性大小和对应个体数量的正相关关系，易错点是误将可能性大小等同于必然性。
【难度系数】
0.9
3. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子一次，有下列事件：
① 掷得的点数是6；② 掷得的点数是奇数；③ 掷得的点数不大于4；④ 掷得的点数不小于2.
这些事件发生的概率由大到小排列是
① 掷得的点数是6；② 掷得的点数是奇数；③ 掷得的点数不大于4；④ 掷得的点数不小于2.
这些事件发生的概率由大到小排列是
④③②①
（填序号）.答案
④③②①
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用等可能事件的概率公式计算每个事件的概率，再比较大小排序。首先明确投掷质地均匀的骰子，总共有1、2、3、4、5、6共6种等可能的结果，再分别找出每个事件包含的符合条件的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”算出各事件的概率，最后按概率从大到小排列对应序号即可。
【解析】
投掷一枚质地均匀的骰子，共有1、2、3、4、5、6这6种等可能的结果。
分别计算各事件的概率：
① 掷得点数是6的结果只有1种，故$P_①=\frac{1}{6}$；
② 掷得点数是奇数的结果有1、3、5，共3种，故$P_②=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
③ 掷得点数不大于4（即点数≤4）的结果有1、2、3、4，共4种，故$P_③=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
④ 掷得点数不小于2（即点数≥2）的结果有2、3、4、5、6，共5种，故$P_④=\frac{5}{6}$。
比较概率大小：$\frac{5}{6}＞\frac{2}{3}＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{6}$，因此事件发生概率由大到小排列为④③②①。
【答案】
④③②①
【知识点】
等可能事件概率计算；概率大小比较
【点评】
本题是概率基础题，解题的关键是准确梳理每个事件对应的符合要求的结果数，结合概率公式计算后比较即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心思路是利用等可能事件的概率公式计算每个事件的概率，再比较大小排序。首先明确投掷质地均匀的骰子，总共有1、2、3、4、5、6共6种等可能的结果，再分别找出每个事件包含的符合条件的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”算出各事件的概率，最后按概率从大到小排列对应序号即可。
【解析】
投掷一枚质地均匀的骰子，共有1、2、3、4、5、6这6种等可能的结果。
分别计算各事件的概率：
① 掷得点数是6的结果只有1种，故$P_①=\frac{1}{6}$；
② 掷得点数是奇数的结果有1、3、5，共3种，故$P_②=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
③ 掷得点数不大于4（即点数≤4）的结果有1、2、3、4，共4种，故$P_③=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
④ 掷得点数不小于2（即点数≥2）的结果有2、3、4、5、6，共5种，故$P_④=\frac{5}{6}$。
比较概率大小：$\frac{5}{6}＞\frac{2}{3}＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{6}$，因此事件发生概率由大到小排列为④③②①。
【答案】
④③②①
【知识点】
等可能事件概率计算；概率大小比较
【点评】
本题是概率基础题，解题的关键是准确梳理每个事件对应的符合要求的结果数，结合概率公式计算后比较即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 若标有A,B,C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂,每次摘取一只(摘B前需先摘C),直到摘完.摘完三只灯笼共有
3
种等可能的结果,其中摘取的最后一只为B的等可能结果有2
种. 答案
3,2
解析
【分析】
解题时首先明确题目规则：每次仅摘取一只灯笼，且摘取B之前必须先摘取C，即C的摘取顺序一定在B之前。由于总共有3只灯笼，数量较少，可采用枚举法列出所有符合规则的摘取顺序，先统计总结果数，再从中筛选出最后一只为B的结果数即可。
【解析】
我们通过枚举法列出所有符合规则的摘取顺序：
1. 先摘取C，再摘取B，最后摘取A，顺序为C→B→A；
2. 先摘取C，再摘取A，最后摘取B，顺序为C→A→B；
3. 先摘取A，再摘取C，最后摘取B，顺序为A→C→B；
因此符合要求的等可能结果共有3种。
在上述3种结果中，摘取的最后一只为B的结果为C→A→B、A→C→B，共2种。
【答案】
3，2
【知识点】
枚举法，等可能事件，计数原理
【点评】
本题属于基础的等可能事件计数类题目，解题的关键是准确把握“摘B前需先摘C”的限制条件，枚举时注意排除不符合规则的情况，做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目规则：每次仅摘取一只灯笼，且摘取B之前必须先摘取C，即C的摘取顺序一定在B之前。由于总共有3只灯笼，数量较少，可采用枚举法列出所有符合规则的摘取顺序，先统计总结果数，再从中筛选出最后一只为B的结果数即可。
【解析】
我们通过枚举法列出所有符合规则的摘取顺序：
1. 先摘取C，再摘取B，最后摘取A，顺序为C→B→A；
2. 先摘取C，再摘取A，最后摘取B，顺序为C→A→B；
3. 先摘取A，再摘取C，最后摘取B，顺序为A→C→B；
因此符合要求的等可能结果共有3种。
在上述3种结果中，摘取的最后一只为B的结果为C→A→B、A→C→B，共2种。
【答案】
3，2
【知识点】
枚举法，等可能事件，计数原理
【点评】
本题属于基础的等可能事件计数类题目，解题的关键是准确把握“摘B前需先摘C”的限制条件，枚举时注意排除不符合规则的情况，做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
5. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个.
（1）先从袋子中取出$m(m＞1)$个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A.请完成下表：
（2）从袋子中取出$n$个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是$\frac{8}{9}$，求$n$的值.
（1）先从袋子中取出$m(m＞1)$个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A.请完成下表：
（2）从袋子中取出$n$个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是$\frac{8}{9}$，求$n$的值.
答案
（1）4；2或3
（2）依题意,得$\frac{8}{12-n}=\frac{8}{9}$.解得 $n=3$.所以 $n$ 的值为 3
（2）依题意,得$\frac{8}{12-n}=\frac{8}{9}$.解得 $n=3$.所以 $n$ 的值为 3
解析
【分析】
（1）首先明确事件分类的定义：必然事件是一定发生的事件，若“摸出黑球”为必然事件，说明袋子中没有剩余红球，结合原有红球总数即可求m；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，若“摸出黑球”为随机事件，说明袋子中还有剩余红球，结合m＞1的限制条件即可确定m的取值。
（2）根据概率计算公式：随机事件概率=对应事件的情况数÷总情况数，取出n个红球后总球数变为12-n，黑球数量不变，结合给出的黑球概率列方程求解即可。
【解析】
（1）①若事件A是必然事件，说明袋子中红球被全部取出，原有红球4个，因此$m=4$；
②若事件A是随机事件，说明袋子中还有剩余红球，即$m＜4$，结合已知$m＞1$，可得$m$可取2或3。
（2）取出$n$个红球后，袋子中剩余球的总个数为$12-n$，其中黑球共8个，根据概率公式列方程：
$\frac{8}{12-n}=\frac{8}{9}$
化简求解得：$12-n=9$，即$n=3$，经检验$n=3$符合题意。
【答案】
（1）$\boxed{4}$；$\boxed{2或3}$
（2）$\boxed{n=3}$
【知识点】
事件的分类；概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题重点考查基础概念的应用，解题核心是准确理解必然事件、随机事件的含义，熟练掌握概率的计算方法，注意求解后要验证结果是否符合实际情境。
【难度系数】
0.85
（1）首先明确事件分类的定义：必然事件是一定发生的事件，若“摸出黑球”为必然事件，说明袋子中没有剩余红球，结合原有红球总数即可求m；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，若“摸出黑球”为随机事件，说明袋子中还有剩余红球，结合m＞1的限制条件即可确定m的取值。
（2）根据概率计算公式：随机事件概率=对应事件的情况数÷总情况数，取出n个红球后总球数变为12-n，黑球数量不变，结合给出的黑球概率列方程求解即可。
【解析】
（1）①若事件A是必然事件，说明袋子中红球被全部取出，原有红球4个，因此$m=4$；
②若事件A是随机事件，说明袋子中还有剩余红球，即$m＜4$，结合已知$m＞1$，可得$m$可取2或3。
（2）取出$n$个红球后，袋子中剩余球的总个数为$12-n$，其中黑球共8个，根据概率公式列方程：
$\frac{8}{12-n}=\frac{8}{9}$
化简求解得：$12-n=9$，即$n=3$，经检验$n=3$符合题意。
【答案】
（1）$\boxed{4}$；$\boxed{2或3}$
（2）$\boxed{n=3}$
【知识点】
事件的分类；概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题重点考查基础概念的应用，解题核心是准确理解必然事件、随机事件的含义，熟练掌握概率的计算方法，注意求解后要验证结果是否符合实际情境。
【难度系数】
0.85
