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1. 某年某省遭遇了该年持续时间最长、影响范围最广的连续性暴雨天气，该省内上百万人受到了洪涝灾害影响。某解放军部队接到命令后计划以 60 km/h 的速度赶往灾区。但由于灾情严峻，部队在实际行进中，以 80 km/h 的速度急速前行，结果比原计划提前 2 h 到达灾区。设原计划 $ x $ h 到达灾区，则可列的方程为（
A.$ 60x = 80(x - 2) $
B.$ 80x = 60(x - 2) $
C.$ 60x = 80(x + 2) $
D.$ 80x = 60(x + 2) $
A
）。A.$ 60x = 80(x - 2) $
B.$ 80x = 60(x - 2) $
C.$ 60x = 80(x + 2) $
D.$ 80x = 60(x + 2) $
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道一元一次方程应用的行程类题目，解题核心是抓住“出发点到灾区的总路程不变”这一等量关系。思考步骤如下：第一步回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间；第二步分别表示出原计划行驶的总路程、实际行驶的总路程；第三步根据路程相等的关系列出对应方程即可。
【解析】
解：行程问题的基本等量关系为：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$
本题中部队到灾区的总路程是固定值，因此原计划行驶的路程=实际行驶的路程。
1. 计算原计划行驶路程：原计划速度为60km/h，计划用时为$x$ h，因此总路程为$60x$ km；
2. 计算实际行驶的相关参数：实际比原计划提前2h到达，因此实际用时为$(x-2)$ h，实际速度为80km/h，因此实际行驶总路程为$80(x-2)$ km；
3. 根据路程相等列方程：$60x = 80(x - 2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题等量关系、一元一次方程的列法
【点评】
本题是行程类方程应用题的基础题型，解题关键是抓住路程不变的核心等量关系，准确对应计划和实际两种场景下的速度、时间参数，避免混淆时间的加减关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程应用的行程类题目，解题核心是抓住“出发点到灾区的总路程不变”这一等量关系。思考步骤如下：第一步回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间；第二步分别表示出原计划行驶的总路程、实际行驶的总路程；第三步根据路程相等的关系列出对应方程即可。
【解析】
解：行程问题的基本等量关系为：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$
本题中部队到灾区的总路程是固定值，因此原计划行驶的路程=实际行驶的路程。
1. 计算原计划行驶路程：原计划速度为60km/h，计划用时为$x$ h，因此总路程为$60x$ km；
2. 计算实际行驶的相关参数：实际比原计划提前2h到达，因此实际用时为$(x-2)$ h，实际速度为80km/h，因此实际行驶总路程为$80(x-2)$ km；
3. 根据路程相等列方程：$60x = 80(x - 2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题等量关系、一元一次方程的列法
【点评】
本题是行程类方程应用题的基础题型，解题关键是抓住路程不变的核心等量关系，准确对应计划和实际两种场景下的速度、时间参数，避免混淆时间的加减关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 某班组每天需生产30个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比原计划多生产6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件。若设该班组要完成的零件任务为$ x $个，则可列的方程为(
A.$\frac{x + 120}{30} - \frac{x}{30 + 6} = 3$
B.$\frac{x}{30} - \frac{x}{30 + 6} = 3$
C.$\frac{x}{30} - \frac{x + 120}{30 + 6} = 3$
D.$\frac{x + 120}{30 + 6} - \frac{x}{30} = 3$
C
)。A.$\frac{x + 120}{30} - \frac{x}{30 + 6} = 3$
B.$\frac{x}{30} - \frac{x}{30 + 6} = 3$
C.$\frac{x}{30} - \frac{x + 120}{30 + 6} = 3$
D.$\frac{x + 120}{30 + 6} - \frac{x}{30} = 3$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先要找到核心等量关系：原计划完成任务的时间减去实际生产的时间等于提前的3天。接下来分别计算两个时间即可：原计划总任务是$x$个，每天生产30个，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可算出原计划时间；实际生产时不仅完成了原计划的$x$个，还超额生产120个，因此实际总工作量为$x+120$个，实际每天产量是$30+6=36$个，同样用工作总量除以实际工作效率得到实际工作时间，最后代入时间差的等量关系就能列出方程。
【解析】
1. 确定等量关系：$\mathrm{原计划工作时间}-\mathrm{实际工作时间}=3\mathrm{天}$
2. 计算原计划工作时间：原计划总任务为$x$个，每天生产30个，因此原计划时间为$\frac{x}{30}$天。
3. 计算实际工作时间：实际生产总零件数为$(x+120)$个，实际每天生产$30+6=36$个，因此实际时间为$\frac{x+120}{30+6}$天。
4. 代入等量关系得方程：$\frac{x}{30} - \frac{x + 120}{30 + 6} = 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题是工程类列方程的典型基础题，解题关键是准确抓住时间差的等量关系，需要注意实际生产的总工作量包含超额完成的120个零件，避免漏算超额部分或者搞反时间的大小关系选错选项。
【难度系数】
0.7
要解决这道列方程的题目，首先要找到核心等量关系：原计划完成任务的时间减去实际生产的时间等于提前的3天。接下来分别计算两个时间即可：原计划总任务是$x$个，每天生产30个，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可算出原计划时间；实际生产时不仅完成了原计划的$x$个，还超额生产120个，因此实际总工作量为$x+120$个，实际每天产量是$30+6=36$个，同样用工作总量除以实际工作效率得到实际工作时间，最后代入时间差的等量关系就能列出方程。
【解析】
1. 确定等量关系：$\mathrm{原计划工作时间}-\mathrm{实际工作时间}=3\mathrm{天}$
2. 计算原计划工作时间：原计划总任务为$x$个，每天生产30个，因此原计划时间为$\frac{x}{30}$天。
3. 计算实际工作时间：实际生产总零件数为$(x+120)$个，实际每天生产$30+6=36$个，因此实际时间为$\frac{x+120}{30+6}$天。
4. 代入等量关系得方程：$\frac{x}{30} - \frac{x + 120}{30 + 6} = 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题是工程类列方程的典型基础题，解题关键是准确抓住时间差的等量关系，需要注意实际生产的总工作量包含超额完成的120个零件，避免漏算超额部分或者搞反时间的大小关系选错选项。
【难度系数】
0.7
3. 某小区设置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递垃圾，就能获取可提现的“环保金”。已知智能垃圾回收机“环保金”发放标准：早晚高峰时段为0.8元/kg，其他时段为1元/kg，新手注册赠送3.88元“环保金”。李阿姨注册后的一周内分不同时段共投递6.7 kg垃圾，共得“环保金”10.1元。若设李阿姨在高峰时段投递的垃圾质量为x kg，则x满足的方程为
$3.88+0.8x+(6.7-x)×1=10.1$
。答案
3. $3.88+0.8x+(6.7-x)×1=10.1$
解析
【分析】
本题是列一元一次方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先明确总环保金由三部分构成：新手注册赠送金额、高峰时段投递所得金额、其他时段投递所得金额，三者之和等于最终获得的总环保金10.1元。我们将各部分金额用含x的代数式表示后，代入等量关系即可列出方程。首先设高峰时段投递垃圾质量为x kg，则其他时段投递质量为总质量减去x，即(6.7-x)kg；再根据不同时段的单价分别算出两个时段的所得金额，加上固定赠送的3.88元，总和等于10.1元即可。
【解析】
第一步：明确各部分金额的计算方式
① 新手注册固定赠送环保金：3.88元
② 高峰时段投递x kg，单价为0.8元/kg，所得金额为：0.8x 元
③ 总投递质量为6.7 kg，因此其他时段投递质量为(6.7 - x)kg，单价为1元/kg，所得金额为：$1×(6.7 - x)$元
第二步：根据等量关系列方程
总环保金=赠送金额+高峰时段所得+其他时段所得，代入数值和代数式可得：
$3.88+0.8x+(6.7-x)×1=10.1$
【答案】
$3.88+0.8x+(6.7-x)×1=10.1$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列代数式
【点评】
本题结合生活中的环保场景命题，解题关键是理清总金额的构成，准确找到等量关系，再将各个未知量用含未知数的代数式正确表示即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是列一元一次方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先明确总环保金由三部分构成：新手注册赠送金额、高峰时段投递所得金额、其他时段投递所得金额，三者之和等于最终获得的总环保金10.1元。我们将各部分金额用含x的代数式表示后，代入等量关系即可列出方程。首先设高峰时段投递垃圾质量为x kg，则其他时段投递质量为总质量减去x，即(6.7-x)kg；再根据不同时段的单价分别算出两个时段的所得金额，加上固定赠送的3.88元，总和等于10.1元即可。
【解析】
第一步：明确各部分金额的计算方式
① 新手注册固定赠送环保金：3.88元
② 高峰时段投递x kg，单价为0.8元/kg，所得金额为：0.8x 元
③ 总投递质量为6.7 kg，因此其他时段投递质量为(6.7 - x)kg，单价为1元/kg，所得金额为：$1×(6.7 - x)$元
第二步：根据等量关系列方程
总环保金=赠送金额+高峰时段所得+其他时段所得，代入数值和代数式可得：
$3.88+0.8x+(6.7-x)×1=10.1$
【答案】
$3.88+0.8x+(6.7-x)×1=10.1$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列代数式
【点评】
本题结合生活中的环保场景命题，解题关键是理清总金额的构成，准确找到等量关系，再将各个未知量用含未知数的代数式正确表示即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 家住山脚下的小明从家出发登山游玩，他下山的速度比上山的速度快1 km/h，他上山2 h到达的位置离山顶还有1 km，到山顶后抄近路下山，下山路程比上山路程近2 km，下山用了1 h，那么小明上山的路程为
5
km。答案
4. 5
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题时先明确路程、速度、时间三者的关系：路程=速度×时间。我们可以先设上山的速度为未知数，根据“下山速度比上山速度快1km/h”表示出下山速度，再结合题干中上下山的时间、路程的关系分别表示出上山总路程和下山路程，最后根据“下山路程比上山路程近2km”的等量关系列方程求解，最后计算得出上山的总路程即可。
【解析】
解：设小明上山的速度为$ x $ km/h，则下山的速度为$ (x+1) $ km/h。
1. 表示上山总路程：上山2h行驶的路程为$ 2x $ km，此时离山顶还有1km，因此上山总路程为$ (2x + 1) $ km。
2. 表示下山总路程：下山用时1h，因此下山总路程为$ 1×(x+1) = (x+1) $ km。
3. 列方程：根据“下山路程比上山路程近2km”，可得等量关系：上山路程 - 下山路程 = 2km，列方程为：
$ (2x + 1) - (x + 1) = 2 $
4. 解方程：
化简方程左边得：$ 2x +1 -x -1 = x $
因此$ x = 2 $，即小明上山的速度为2 km/h。
5. 计算上山总路程：将$ x=2 $代入$ 2x+1 $，得$ 2×2 +1 = 5 $（km）。
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题基本公式
【点评】
本题属于行程问题的基础应用，解题的关键是梳理清楚题干中上下山的速度、时间、路程的对应关系，找准等量关系列方程求解，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题时先明确路程、速度、时间三者的关系：路程=速度×时间。我们可以先设上山的速度为未知数，根据“下山速度比上山速度快1km/h”表示出下山速度，再结合题干中上下山的时间、路程的关系分别表示出上山总路程和下山路程，最后根据“下山路程比上山路程近2km”的等量关系列方程求解，最后计算得出上山的总路程即可。
【解析】
解：设小明上山的速度为$ x $ km/h，则下山的速度为$ (x+1) $ km/h。
1. 表示上山总路程：上山2h行驶的路程为$ 2x $ km，此时离山顶还有1km，因此上山总路程为$ (2x + 1) $ km。
2. 表示下山总路程：下山用时1h，因此下山总路程为$ 1×(x+1) = (x+1) $ km。
3. 列方程：根据“下山路程比上山路程近2km”，可得等量关系：上山路程 - 下山路程 = 2km，列方程为：
$ (2x + 1) - (x + 1) = 2 $
4. 解方程：
化简方程左边得：$ 2x +1 -x -1 = x $
因此$ x = 2 $，即小明上山的速度为2 km/h。
5. 计算上山总路程：将$ x=2 $代入$ 2x+1 $，得$ 2×2 +1 = 5 $（km）。
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题基本公式
【点评】
本题属于行程问题的基础应用，解题的关键是梳理清楚题干中上下山的速度、时间、路程的对应关系，找准等量关系列方程求解，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
5. 2024年哈尔滨冰雪大世界再升级，引爆冬日欢乐与热情。某一主题冰雕的建造过程中需要采冰1500立方米，乙队采冰5天后，为了加快进度，甲队加入，两队合作采冰10天完成剩余的任务。已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲、乙两队平均每天能采冰的体积分别是多少立方米？
答案
5. 解:设乙队平均每天能采冰的体积是 $x$ 立方米,则甲队平均每天能采冰的体积是 $1.5x$ 立方米,由题意得 $5x+10(x+1.5x)=1500$,解得 $x=50,1.5x=75$,所以甲队平均每天能采冰的体积是 75 立方米,乙队平均每天能采冰的体积是 50 立方米。
解析
【分析】这是一道工程类应用题，解题时首先明确等量关系：总采冰体积=乙队单独采冰的体积+甲乙两队合作采冰的体积。已知甲队工作效率是乙队的1.5倍，我们可以先设乙队每天采冰体积为未知数，进而表示出甲队的工作效率，再分别计算乙单独工作、两队合作阶段的工作量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】解：设乙队平均每天能采冰的体积是$x$立方米，则甲队平均每天能采冰的体积是$1.5x$立方米。
乙队单独采冰5天的工作量为$5x$立方米，
甲乙两队合作10天的工作量为$10(x+1.5x)$立方米，
根据总采冰体积为1500立方米，可列方程：
$5x+10(x+1.5x)=1500$
化简得：$5x + 25x=1500$
$30x=1500$
解得$x=50$
则甲队每天采冰体积为$1.5x=1.5×50=75$（立方米）
【答案】甲队平均每天能采冰75立方米，乙队平均每天能采冰50立方米。
【知识点】一元一次方程的应用；工程问题求解
【点评】本题属于基础的工程类应用题，解题核心是准确梳理不同工作阶段的工作量，抓住总工作量不变这一等量关系列方程，计算量较小，掌握基本的一元一次方程解法即可完成。
【难度系数】0.7
【解析】解：设乙队平均每天能采冰的体积是$x$立方米，则甲队平均每天能采冰的体积是$1.5x$立方米。
乙队单独采冰5天的工作量为$5x$立方米，
甲乙两队合作10天的工作量为$10(x+1.5x)$立方米，
根据总采冰体积为1500立方米，可列方程：
$5x+10(x+1.5x)=1500$
化简得：$5x + 25x=1500$
$30x=1500$
解得$x=50$
则甲队每天采冰体积为$1.5x=1.5×50=75$（立方米）
【答案】甲队平均每天能采冰75立方米，乙队平均每天能采冰50立方米。
【知识点】一元一次方程的应用；工程问题求解
【点评】本题属于基础的工程类应用题，解题核心是准确梳理不同工作阶段的工作量，抓住总工作量不变这一等量关系列方程，计算量较小，掌握基本的一元一次方程解法即可完成。
【难度系数】0.7
6. 小王家住宝安区，在福田区上班。平时他以60 km/h的速度开车上班，需要40 min到达。
(1)小王家到公司的路程是多少千米？
(2)某天早高峰堵车，前一段路程车速为48 km/h，后一段路程车速为60 km/h。已知前一段路程比后一段路程少8 km，设前一段路程为y km，请你列方程并求出y的值，进而计算这天上班需要多少分钟。
(1)小王家到公司的路程是多少千米？
(2)某天早高峰堵车，前一段路程车速为48 km/h，后一段路程车速为60 km/h。已知前一段路程比后一段路程少8 km，设前一段路程为y km，请你列方程并求出y的值，进而计算这天上班需要多少分钟。
答案
6. 解:(1)$40\ \mathrm{min} = \frac{2}{3}\ \mathrm{h},60×\frac{2}{3}=40(\mathrm{km})$,所以小王家到公司的路程是 40 km。
(2)已设前一段路程为 $y$ km,则后一段路程为 $(y+8)$ km。
由小王家到公司的路程为 40 km 知
$y+(y+8)=40$,
解得 $y=16$,
则前一段路程为 16 km,后一段路程为 24 km。
前一段路程用时:$\frac{16}{48}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}=20(\mathrm{min})$,
后一段路程用时:$\frac{24}{60}=\frac{2}{5}\ \mathrm{h}=24(\mathrm{min})$,
这天上班需要:$20+24=44(\mathrm{min})$
所以前一段路程为 16 km,这天上班需要 44 min。
(2)已设前一段路程为 $y$ km,则后一段路程为 $(y+8)$ km。
由小王家到公司的路程为 40 km 知
$y+(y+8)=40$,
解得 $y=16$,
则前一段路程为 16 km,后一段路程为 24 km。
前一段路程用时:$\frac{16}{48}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}=20(\mathrm{min})$,
后一段路程用时:$\frac{24}{60}=\frac{2}{5}\ \mathrm{h}=24(\mathrm{min})$,
这天上班需要:$20+24=44(\mathrm{min})$
所以前一段路程为 16 km,这天上班需要 44 min。
解析
【分析】
这道题是行程类实际应用题，解题核心用到路程=速度×时间的基本公式。（1）问首先要统一单位，将分钟换算为小时，再代入公式即可求出总路程；（2）问先根据“前一段路程比后一段少8km”表示出后一段路程，再结合总路程是固定值这一等量关系列一元一次方程求出y，之后分别计算两段路程的用时，求和后换算为分钟即可得到总用时。
【解析】
（1）先进行单位换算：$40\ \mathrm{min} = \frac{40}{60}\ \mathrm{h} = \frac{2}{3}\ \mathrm{h}$
根据路程公式$s=vt$，可得小王家到公司的路程：
$s = 60×\frac{2}{3}=40(\mathrm{km})$
（2）已知前一段路程为$y\ \mathrm{km}$，则后一段路程为$(y+8)\ \mathrm{km}$，总路程为40km，可列方程：
$y + (y+8) = 40$
解方程：
$2y + 8 = 40$
$2y = 32$
$y = 16$
则前一段路程为16km，后一段路程为$16+8=24\mathrm{km}$
前一段路程用时：$t_1=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}=20\ \mathrm{min}$
后一段路程用时：$t_2=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}\ \mathrm{h}=24\ \mathrm{min}$
总用时：$20+24=44\ \mathrm{min}$
【答案】
（1）小王家到公司的路程是40km；（2）$y=16$，这天上班需要44分钟。
【知识点】
行程问题公式、一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际考察行程问题的计算和一元一次方程的应用，解题时要注意先统一单位，找准等量关系列方程，计算时注意时间单位的换算即可。
【难度系数】
0.8
这道题是行程类实际应用题，解题核心用到路程=速度×时间的基本公式。（1）问首先要统一单位，将分钟换算为小时，再代入公式即可求出总路程；（2）问先根据“前一段路程比后一段少8km”表示出后一段路程，再结合总路程是固定值这一等量关系列一元一次方程求出y，之后分别计算两段路程的用时，求和后换算为分钟即可得到总用时。
【解析】
（1）先进行单位换算：$40\ \mathrm{min} = \frac{40}{60}\ \mathrm{h} = \frac{2}{3}\ \mathrm{h}$
根据路程公式$s=vt$，可得小王家到公司的路程：
$s = 60×\frac{2}{3}=40(\mathrm{km})$
（2）已知前一段路程为$y\ \mathrm{km}$，则后一段路程为$(y+8)\ \mathrm{km}$，总路程为40km，可列方程：
$y + (y+8) = 40$
解方程：
$2y + 8 = 40$
$2y = 32$
$y = 16$
则前一段路程为16km，后一段路程为$16+8=24\mathrm{km}$
前一段路程用时：$t_1=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}=20\ \mathrm{min}$
后一段路程用时：$t_2=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}\ \mathrm{h}=24\ \mathrm{min}$
总用时：$20+24=44\ \mathrm{min}$
【答案】
（1）小王家到公司的路程是40km；（2）$y=16$，这天上班需要44分钟。
【知识点】
行程问题公式、一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际考察行程问题的计算和一元一次方程的应用，解题时要注意先统一单位，找准等量关系列方程，计算时注意时间单位的换算即可。
【难度系数】
0.8
