12.「2025广东深圳开学测试，★☆」如图所示的是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有种。

12.答案 2
解析 去掉一个正方形,得到中心对称图形,如图所示,共有2种方法.

13.「★☆☆」如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于坐标原点O,点A的坐标为(-2,1),则点C的坐标是。

13.答案 $(2,-1)$
解析

∵ $□ABCD$ 是中心对称图形,
∴ 点 C 与点 A 关于原点 O 对称,
∵ $A(-2,1)$,
∴ $C(2,-1)$.

14.「2026河南漯河临颍期中，★☆」如图，等腰直角$△ ABC$与等腰直角$△ DBE$关于点$B$中心对称，$P$为$AC$的中点，$Q$为点$P$的对称点.若$AC=4$，则$P,Q$两点间的距离为.

14.答案 4
解析 如图,连接 PQ,由中心对称的性质可知 PQ 一定过点 B,且 $BP = BQ$.
∵ $△ABC$ 是等腰直角三角形,P 为 AC 的中点,
∴ $BP=\frac{1}{2}AC=2$,
∴ $PQ=2BP=4$.

15.「2026山东青岛期末，★★☆」如图所示，由反比例函数图象的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$PA⊥x$轴于点A，$QC⊥PA$交PA的延长线于点C，则$△ PQC$的面积为.(用含k的式子表示)

15.答案 $-2k$
解析 设点 P 的坐标为$(x_0,y_0)$.
∵ 点 P 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,
∴ $k=x_0y_0$,
∵ 点 P 和点 Q 关于原点对称,
∴ $Q(-x_0,-y_0)$,
∵ $PA⊥x$ 轴,$QC⊥PA$,
∴ $C(x_0,-y_0)$,
∴ $PC=|y_0-(-y_0)|=2|y_0|,CQ=|-x_0-x_0|=2|x_0|$,
∴ $S_{△PQC}=\frac{1}{2}PC·CQ=\frac{1}{2}×2|y_0|×2|x_0|=2|x_0y_0|=2|k|$.
∵ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象位于第二、四象限,
∴ $k＜0$,
∴ $S_{△PQC}=2|k|=-2k$.

16.「2025广东广州期末，★☆」如图，点P是正方形ABCD外一点，若$PA=3$，$PB=1$，$PC=\sqrt{11}$，则$∠ APB$的度数为。

16.答案 $45°$
解析 如图,将$△BPC$绕点 B 逆时针旋转 90°,得到$△BP'A$,连接 $PP'$,则 $AP' = CP = \sqrt{11}, BP' = BP = 1, ∠PBP' = 90°$,
∴ $∠BPP' = 45°$,根据勾股定理得 $PP' = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,
∵ $AP=3$,
∴ $AP^2+P'P^2=9+2=11$,又
∵ $P'A^2=(\sqrt{11})^2=11$,
∴ $AP^2+P'P^2=P'A^2$,
∴ $△APP'$ 是直角三角形,且 $∠APP' = 90°$,
∴ $∠APB = ∠APP' - ∠BPP' = 90°-45°=45°$.

17.「2024江苏盐城中考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=2\sqrt{2}$，点$D$是$AC$的中点，连接$BD$，将$△ BCD$绕点$B$旋转，得到$△ BEF$，连接$CF$，当$CF// AB$时，$CF=$。

17.答案 $2+\sqrt{6}$或$\sqrt{6}-2$
解析 如图,过点 B 作 $BG⊥CF$ 于点 G,
∵ $∠ACB=90°$, $AC=BC=2\sqrt{2}$,点 D 是 AC 的中点,
∴ $CD=\sqrt{2},∠ABC=45°$,
∴ $BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}$,由旋转的性质可知 $BF=BD=\sqrt{10}$.
∵ $CF//AB$,
∴ $∠BCG=∠ABC=45°$,
∴ $CG=BG=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2$,
∴ $GF=\sqrt{BF^2-BG^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{6}$,
∴ $CF=CG+GF=2+\sqrt{6}$.当点 D 旋转后落在 FC 的延长线上(即点 $F'$)时,同理可得 $GF'=\sqrt{6}$,
∴ $CF'=\sqrt{6}-2$.综上所述,CF 的长为 $2+\sqrt{6}$或$\sqrt{6}-2$.

18.「2026河南信阳光山期中改编，★★★」如图，在平面直角坐标系中，等腰$△ OAB$顶点A在x轴的正半轴上，且$AB=OA=2$，$∠ OAB=120°$，将$△ OAB$绕点O逆时针旋转，每次旋转$90°$，第2026次旋转结束时，点B的坐标为。

18.答案 $(-3,-\sqrt{3})$
解析 将$△OAB$绕点 O 逆时针旋转,每次旋转 $90°$,$360°÷90°=4$,
∴ 每旋转 4 次回到初始位置,
∵ $2026÷4=506……2$,
∴ 第 2026 次旋转是旋转 506 圈后再旋转 2 次,即如图所示$△OA_1B_1$的位置,
∵ $△OAB$ 绕点 O 逆时针旋转得到$△OA_1B_1$,
∴ $A_1B_1 = AB = OA = 2, ∠OA_1B_1 = ∠OAB = 120°$,如图,过点 $B_1$ 作 $B_1H⊥x$ 轴于点 H,
∴ $∠B_1A_1H=60°$,
∴ $∠A_1B_1H=90°-60°=30°$,
∴ $A_1H=\frac{1}{2}A_1B_1=1$,
∴ $B_1H=\sqrt{A_1B_1^2-A_1H^2}=\sqrt{3},OH=2+1=3$,
∴ 点 $B_1$ 的坐标为$(-3,-\sqrt{3})$,
∴ 第 2026 次旋转结束时,点 B 的坐标为$(-3,-\sqrt{3})$.