1.如图，A，B是$\odot O$上两点，且$AB=OB$，连接OB并延长到点C，使$BC=OB$，连接AC.求证：AC是$\odot O$的切线.

证明:连接 OA. $\because AB=OB,OA=OB,\therefore AB=OA=OB. \therefore △ AOB$ 为等边三角形. $\therefore ∠ OAB=∠ OBA=60°. \because BC=OB, \therefore BC=AB. \therefore ∠ C=∠ CAB.$ 又 $\because ∠ OBA=60°=∠ C+∠ CAB, \therefore ∠ C=∠ CAB=30°. \therefore ∠ OAC=∠ OAB+∠ CAB=90°,$ 即 $OA⊥ AC. \because OA$ 为 $\odot O$ 的半径, $\therefore AC$ 是 $\odot O$ 的切线.

2.如图，△ABC内接于$\odot O$，$∠ B=60°$，CD是$\odot O$的直径，点P是CD延长线上的一点，且$AP=AC$.求证：PA是$\odot O$的切线.

证明:连接 OA. $\because ∠ B=60°, \therefore ∠ AOC=120°, \therefore ∠ AOP=60°. \because OA=OC, \therefore ∠ OAC=∠ ACP=\frac{1}{2}∠ AOP=30°.$ 又 $\because AP=AC, \therefore ∠ P=∠ ACP=30°, \therefore ∠ PAO=180°-∠ P-∠ AOP=90°, \therefore OA⊥ AP, \because OA$ 为 $\odot O$ 的半径, $\therefore PA$ 是$\odot O$的切线.

3.如图,已知AB是$\odot O$的直径,$BC⊥ AB$,连接OC,弦$AD// OC$,直线CD交BA的延长线于点E.求证:直线CD是$\odot O$的切线.

证明:连接 OD. $\because AD// OC, \therefore ∠ DAO=∠ COB, ∠ ADO=∠ COD.$ 又 $\because OA=OD, \therefore ∠ DAO=∠ ADO, \therefore ∠ COD=∠ COB.$ 又 $\because OC=OC, OD=OB, \therefore △ OCD ≌ △ OCB(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ CDO=∠ CBO. \because BC⊥ AB, \therefore ∠ CBO=90°, \therefore ∠ CDO=90°,$ 即 $OD⊥ EC.$ 又 $\because$ 点 $D$ 在 $\odot O$ 上, 即 $OD$ 为 $\odot O$ 的半径, $\therefore$ 直线 $CD$ 是 $\odot O$ 的切线.

4. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C为$\odot O$上一点，过点B作$BD ⊥ CD$，垂足为点D，连接BC，BC平分$∠ ABD$，求证：CD为$\odot O$的切线。

证明:连接 OC, $\because BC$ 平分 $∠ ABD, \therefore ∠ OBC=∠ DBC. \because OB=OC, \therefore ∠ OBC=∠ OCB. \therefore ∠ OCB=∠ DBC. \therefore OC// BD. \because BD⊥ CD, \therefore OC⊥ CD. \because$ 点 $C$ 在 $\odot O$ 上, 即 $OC$ 为 $\odot O$ 的半径, $\therefore CD$ 为 $\odot O$ 的切线.