5. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD经过$\odot O$上一点D，且$CD⊥ AC$于点C，$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DB}$. 求证：CD是$\odot O$的切线.

证明:连接 BE,OD. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ AEB=90°,$ 即 $AC⊥ BE. \because \overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DB}, \therefore OD⊥ BE, \therefore OD// AC. \because CD⊥ AC, \therefore CD⊥ OD, \because D$ 为 $\odot O$ 上一点, 即 $OD$ 为 $\odot O$ 的半径, $\therefore CD$ 是 $\odot O$ 的切线.

6.如图,在平面直角坐标系中,以点$C(2,0)$为圆心,以3为半径的圆分别交$x$轴正半轴于点$A$,交$y$轴正半轴于点$B$,过点$B$的直线交$x$轴负半轴于点$D(-\frac{5}{2},0)$.
(1)求$A,B$两点的坐标;
(2)求证:直线$BD$是$\odot C$的切线.

(1)解: $\because$ 点 $C(2,0)$ 为圆心, 圆的半径为 3, $\therefore OC=2, AC=3. \therefore OA=OC+CA=5. \therefore A(5,0).$ 连接 $CB$, 在 $\mathrm{Rt}△ OCB$ 中, $\because BC=3, OC=2, \therefore OB=\sqrt{5}, \therefore B(0,\sqrt{5}).$
(2)证明: $\because$ 点 $D(-\frac{5}{2},0), \therefore OD=\frac{5}{2}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ DBO$ 中, 由勾股定理可知 $DB^2=BO^2+DO^2=5+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}. \because DC=DO+OC=\frac{9}{2}, CB=3, \therefore DB^2+CB^2=\frac{45}{4}+9=\frac{81}{4}=DC^2. \therefore △ DBC$ 是直角三角形, 且 $∠ DBC=90°. \therefore BC⊥ DB. \because BC$ 是 $\odot C$ 的半径, $\therefore$ 直线 $BD$ 是 $\odot C$ 的切线.

7.如图，PO平分$∠ MPN$，$\odot O$与PM相切于点A.求证:PN是$\odot O$的切线.

证明:连接 $OA$, 作 $OB⊥ PN$ 于点 $B$, 则 $∠ OBP=90°. \because \odot O$ 与 $PM$ 相切于点 $A, \therefore ∠ OAP=90°. \therefore ∠ OAP=∠ OBP.$ 又 $\because PO$ 平分 $∠ MPN, \therefore ∠ OPA=∠ OPB, \because OP=OP, \therefore △ AOP≌ △ BOP(\mathrm{AAS}). \therefore OB=OA,$ 即 $OB$ 为 $\odot O$ 的半径. $\therefore PN$ 是 $\odot O$ 的切线.

8.（扬州市中考）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E.试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由.

解: $CD$ 与 $\odot B$ 相切. 理由如下: 过点 $B$ 作 $BF⊥ CD$, 垂足为 $F$, 则 $∠ BFD=∠ BAD=90°. \because AD// BC, \therefore ∠ ADB=∠ CBD. \because CB=CD, \therefore ∠ CBD=∠ CDB, \therefore ∠ ADB=∠ CDB.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ FBD$ 中,
$\begin{cases}∠ BAD=∠ BFD, \\∠ ADB=∠ FDB, \\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ FBD(\mathrm{AAS}), \therefore BA=BF,$ 即 $BF$ 为 $\odot B$ 的半径, $\therefore CD$ 与 $\odot B$ 相切.