1.计算:$(2a+b)(2a-b)=$（）

A.$4a^2+b^2$
B.$4a^2-b^2$
C.$2a^2-b^2$
D.$2a^2+b^2$

1.B

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：第一步先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$；第二步识别题目中式子的结构，$(2a+b)(2a-b)$中相同的项是$2a$，互为相反数的项是$b$和$-b$，对应公式里的$m=2a$，$n=b$；第三步代入公式计算，注意计算$2a$的平方时，要给系数也平方，避免计算错误。
【解析】
根据平方差公式：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，
在式子$(2a+b)(2a-b)$中，相同项为$2a$，相反项为$b$和$-b$，令$m=2a$，$n=b$，代入公式得：
$\begin{aligned}(2a+b)(2a-b)&=(2a)^2 - b^2\\&=4a^2 - b^2\end{aligned}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，积的乘方运算
【点评】
本题是整式乘法中的基础题型，核心是要准确识别平方差公式的结构特征，找准公式中对应的相同项和相反项，计算时注意不要遗漏系数的平方，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 下列整式乘法不能用平方差公式运算的是（）

A.$(a+b)(a-b)$
B.$(-a+b)(a-b)$
C.$(-a-b)(a-b)$
D.$(a+b)(b-a)$

2.B

【分析】
首先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘时，若两个因式中有一组项完全相同，另一组项互为相反数，就可以用平方差公式运算。解题时只需逐个分析选项的两个因式，判断是否满足上述结构特征即可。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$\boldsymbol{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，其中$m$是两个因式的相同项，$n$和$-n$是两个因式的互为相反项。
我们逐个分析选项：
A. $(a+b)(a-b)$：相同项为$a$，相反项为$b$和$-b$，符合平方差公式结构，可使用，排除；
B. $(-a+b)(a-b)$：将两项整理为$(b-a)(a-b)$，其中$b$与$-b$互为相反数，$-a$与$a$互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不可使用；
C. $(-a-b)(a-b)$：将两项整理为$(-b-a)(-b+a)$，相同项为$-b$，相反项为$-a$和$a$，符合平方差公式结构，可使用，排除；
D. $(a+b)(b-a)$：将两项整理为$(b+a)(b-a)$，相同项为$b$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式结构，可使用，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、整式乘法
【点评】
本题考查平方差公式的适用条件，核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，属于基础概念考查题，熟练掌握公式结构即可快速解答。
【难度系数】
0.8

3. 计算$(1+x)(x-1)(x^2+1)$的结果是.

3.$x^4-1$

【分析】
观察待计算的整式乘法式子，先调整前两个因式的顺序后可发现，(x+1)和(x-1)符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可以先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，得到的结果再与第三个因式$(x^2+1)$组合后仍然符合平方差公式的结构，再次套用公式即可快速得到结果，比直接逐项展开计算更简便。
【解析】
解：先利用加法交换律改写前两个因式的顺序：
原式$=(x+1)(x-1)(x^2+1)$
第一次套用平方差公式计算前两个因式的乘积，其中$a=x$，$b=1$：
$(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1$
此时原式转化为$(x^2-1)(x^2+1)$，第二次套用平方差公式，其中$a=x^2$，$b=1$：
$(x^2-1)(x^2+1)=(x^2)^2-1^2=x^4-1$
【答案】
$x^4-1$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的连续应用，解题核心是先观察因式的结构特征，合理分组套用公式简化运算，避免直接逐项展开的繁琐步骤，计算时注意幂的乘方的运算规则不要出错。
【难度系数】
0.8

4. 定义$a※b = a(b + 1)$，例如$2※3 = 2×(3 + 1) = 2×4 = 8$，则$(x - 1)※x$的结果为。

4.$x^2-1$

【分析】
首先需要明确题目给出的新定义运算“※”的规则：运算符号前的量作为第一个乘数，运算符号后的量加1作为第二个乘数，二者相乘即为运算结果。求解$(x-1)※x$时，先将$a$对应为$x-1$，$b$对应为$x$，代入新运算公式得到整式乘法算式，再利用平方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据新定义$a※b = a(b + 1)$可知：
在$(x - 1)※x$中，$a=x-1$，$b=x$，代入运算规则得：
$\begin{aligned}(x - 1)※x&=(x - 1)(x + 1)\\&=x^2 - 1^2\\&=x^2 - 1\end{aligned}$
【答案】
$x^2-1$
【知识点】
新定义运算，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是准确理解新定义的运算规则，正确对应参数后代入计算，熟练掌握平方差公式可快速得出结果。
【难度系数】
0.85

5. 运用平方差公式计算：
(1) $(\frac{1}{2}x - 2)(\frac{1}{2}x + 2)$；
(2) $(xy + z)(-xy + z)$；
(3) $(3x - 2y)(-3x - 2y)$；
(4) $(x + 2y - 1)(x - 2y - 1)$。

5.解:(1)原式$=(\frac{1}{2}x)^2 - 2^2=\frac{1}{4}x^2 - 4.$
(2)原式$=(z+xy)(z-xy)=z^2 - x^2y^2.$
(3)原式$=(-2y)^2-(3x)^2=4y^2 - 9x^2.$
(4)原式$=(x-1+2y)(x-1-2y)$
$=(x-1)^2-(2y)^2=x^2 - 2x -4y^2 +1.$

【分析】
本题考查平方差公式的应用，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是先在两个相乘的因式中，找出完全相同的项作为$a$，符号相反的项作为$b$，再代入公式计算即可。对于含多个项的乘法，可将相同的部分看作整体，构造平方差公式的结构再计算：
(1) 两个因式中相同项为$\frac{1}{2}x$，相反项为$-2$和$+2$，即$a=\frac{1}{2}x$，$b=2$；
(2) 调整因式中项的顺序后，相同项为$z$，相反项为$xy$和$-xy$，即$a=z$，$b=xy$；
(3) 两个因式中相同项为$-2y$，相反项为$3x$和$-3x$，即$a=-2y$，$b=3x$；
(4) 将$x-1$看作整体，相同项为$x-1$，相反项为$2y$和$-2y$，即$a=x-1$，$b=2y$，代入公式后再展开完全平方即可。
【解析】
(1) 代入平方差公式计算：
原式$=(\frac{1}{2}x)^2 - 2^2=\frac{1}{4}x^2 - 4$
(2) 调整项的顺序构造平方差结构，再代入公式：
原式$=(z+xy)(z-xy)=z^2 - (xy)^2=z^2 - x^2y^2$
(3) 识别相同项和相反项后代入公式计算：
原式$=(-2y)^2-(3x)^2=4y^2 - 9x^2$
(4) 先分组将$x-1$看作整体构造平方差结构，再展开化简：
原式$=(x-1+2y)(x-1-2y)=(x-1)^2-(2y)^2$
展开完全平方得$(x-1)^2=x^2-2x+1$，因此最终结果为$x^2 - 2x + 1 -4y^2 = x^2 - 2x -4y^2 +1$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}x^2 - 4$
(2) $z^2 - x^2y^2$
(3) $4y^2 - 9x^2$
(4) $x^2 - 2x -4y^2 +1$
【知识点】
平方差公式；整式乘法；整体代换
【点评】
本题侧重考查平方差公式的结构识别与灵活运用，解题的关键是准确区分两个因式中的相同项和相反项，遇到多项相乘时可通过分组构造平方差公式的标准形式，熟练掌握公式特征是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7

6.(长沙中考)先化简,再求值:$2m - m(m - 2)+(m + 3)(m - 3)$,其中$m=\frac{5}{2}$.

6.解:原式$=2m - m^2 + 2m + m^2 -9$
$=4m -9.$
当$m=\frac{5}{2}$时,原式$=4×\frac{5}{2}-9=10-9=1.$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题时先化简再代值计算更简便。首先观察原式结构，包含单项式乘多项式、符合平方差公式形式的多项式乘法运算，第一步先分别完成这两类乘法运算，去括号时注意符号变化；接下来合并同类项得到最简整式，最后将m的取值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先对原式去括号：
$2m - m(m - 2)+(m + 3)(m - 3)$
$=2m - m^2 + 2m + m^2 -9$
合并同类项化简：
$=(2m+2m)+(-m^2+m^2)-9$
$=4m -9$
将$m=\frac{5}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4×\frac{5}{2}-9=10-9=1$
【答案】
1
【知识点】
整式化简求值、单项式乘多项式、平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式混合运算的规则和乘法公式的应用，解题的关键是正确运用法则去括号、准确合并同类项，计算过程中要注意符号问题，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85

7. 用简便方法计算,将 $98 × 102$ 变形正确的是（）

A.$98 × 102 = 100^2 + 2^2$
B.$98 × 102 = (100 - 2)^2$
C.$98 × 102 = 100^2 - 2^2$
D.$98 × 102 = (100 + 2)^2$

7.C

【分析】
拿到这道题首先观察两个乘数的特征：98比100小2，102比100大2，可将两个数分别改写为100-2和100+2，此时乘积就符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，代入公式得到变形结果后再对应选项判断即可。
【解析】
首先对两个因数进行变形：$98=100-2$，$102=100+2$，因此：
$98×102=(100-2)(100+2)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=100$，$b=2$，可得：
$(100-2)(100+2)=100^2-2^2$
逐一验证其余选项：
A选项符号错误，平方差结果为平方相减而非相加；
B选项$(100-2)^2=98^2$，不等于$98×102$；
D选项$(100+2)^2=102^2$，不等于$98×102$，因此ABD均错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在简便计算中的应用，解题核心是掌握平方差公式的结构特征，能快速将两个因数转化为两数和与两数差的乘积形式，熟练运用公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

8.运用平方差公式进行简便计算：
(1)$500^2 - 499×501$；
(2)$50\frac{2}{3}×49\frac{1}{3}$。

8.解:(1)原式$=500^2-(500-1)×(500+1)$
$=500^2-(500^2 -1)=1.$
(2)原式$=(50+\frac{2}{3})×(50-\frac{2}{3})=50^2-(\frac{2}{3})^2$
$=2500-\frac{4}{9}=2499\frac{5}{9}.$

【分析】
这两道题均考查平方差公式的灵活运用，解题核心是将算式变形为符合平方差公式的结构：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，从而简化计算。
(1)观察式子中的499和501，可分别改写为$500-1$和$500+1$，两者相乘刚好符合平方差公式左边的形式，展开后可与前项的$500^2$抵消，快速得出结果。
(2)观察两个带分数，可分别拆为$50+\frac{2}{3}$和$50-\frac{2}{3}$，刚好符合平方差公式的$(a+b)(a-b)$结构，直接套用公式计算即可，无需硬算带分数乘法。
【解析】
(1) 原式$=500^2-(500-1)×(500+1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得：
$=500^2-(500^2 -1^2)$
$=500^2-500^2+1$
$=1$
(2) 先将带分数拆分，得：
原式$=(50+\frac{2}{3})×(50-\frac{2}{3})$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$=50^2-(\frac{2}{3})^2$
$=2500-\frac{4}{9}$
$=2499\frac{5}{9}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{2499\frac{5}{9}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 有理数简便运算
3. 带分数拆分
【点评】
本题核心是考查对平方差公式结构的敏感度，解题的关键是观察数字特征，将原式变形为符合平方差公式的形式，可大幅降低计算量、减少出错概率，需熟练掌握公式的正向、反向运用。
【难度系数】
0.8