12. 已知 $10^x = 5$，$10^y = 2$，则 $10^{3x + 2y - 1}$ 的值为（）

A.18
B.50
C.119
D.128

B

【分析】
解题时先观察所求式子的指数形式，回忆幂的相关运算法则的逆用：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。我们可以将$10^{3x + 2y -1}$拆分为含$10^x$和$10^y$的形式，再代入已知数值计算即可。第一步先拆分指数，把和的指数拆成同底数幂相乘，差的指数拆成同底数幂相除，第二步把倍数指数转化为幂的乘方形式，第三步代入求值。
【解析】
根据幂的运算法则逆用可得：
$10^{3x + 2y -1} = 10^{3x} × 10^{2y} ÷ 10^{1}$
又根据幂的乘方法则逆用：$10^{3x}=(10^x)^3$，$10^{2y}=(10^y)^2$
将$10^x=5$，$10^y=2$代入得：
原式$=(10^x)^3 × (10^y)^2 ÷ 10 = 5^3 × 2^2 ÷ 10$
计算得：$5^3=125$，$2^2=4$，则$125×4÷10=500÷10=50$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的典型考题，核心考查幂的运算法则的灵活运用，尤其是逆用法则对所求代数式进行变形，解题时熟练掌握法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7

13. 计算:
(1) $(\dfrac{1}{3}xy)^2 · (-12x^2y^2) ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y);$
(2) $[x(x^2y^2 - xy) - y(x^2 - x^3y)] ÷ 3x^2y.$

(1) 原式$=\frac{1}{9}x^2y^2·(-12x^2y^2)÷(-\frac{4}{3}x^3y)$
$=-\frac{4}{3}x^4y^4÷(-\frac{4}{3}x^3y)$
$=xy^3$.
(2) 原式$=(x^3y^2-x^2y-x^2y+x^3y^2)÷3x^2y$
$=(2x^3y^2-2x^2y)÷3x^2y$
$=\frac{2}{3}xy-\frac{2}{3}$.

【分析】
(1) 本题是整式乘除混合运算，解题思路：先根据积的乘方法则计算乘方部分，再按照从左到右的顺序依次进行乘法、除法运算，运算时系数和同底数幂分别计算，同时注意符号的处理。
(2) 本题是含括号的整式混合运算，解题思路：先根据单项式乘多项式法则去掉小括号，去括号时注意符号变化，再合并同类项化简括号内的式子，最后根据多项式除以单项式的法则，将括号内的每一项分别除以除式，再把所得的商相加。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：
原式$=\frac{1}{9}x^2y^2·(-12x^2y^2)÷(-\frac{4}{3}x^3y)$
再计算单项式乘法，系数相乘、同底数幂指数相加：
$=-\frac{4}{3}x^4y^4÷(-\frac{4}{3}x^3y)$
最后计算单项式除法，系数相除、同底数幂指数相减：
$=xy^3$
(2) 先去小括号，计算单项式乘多项式：
原式$=(x^3y^2-x^2y-x^2y+x^3y^2)÷3x^2y$
合并同类项化简括号内的式子：
$=(2x^3y^2-2x^2y)÷3x^2y$
再按多项式除以单项式法则计算：
$=\frac{2}{3}xy-\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $xy^3$；(2) $\frac{2}{3}xy-\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 幂的运算法则 2. 整式乘除运算 3. 整式混合运算
【点评】
这两道题是整式运算的基础题型，主要考察整式乘除相关运算法则的应用，解题时要注意遵循运算顺序，去括号时注意符号变化，计算系数和幂的时候要细心，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8

14.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
·(-xy)=3x²y - xy² + $\frac{1}{2}xy$
(1)求所捂的多项式；
(2)若$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$，求所捂多项式的值。

(1)设所捂的多项式为A，
则$A=(3x^2y-xy^2+\frac{1}{2}xy)÷(-xy)$
$=-3x+y-\frac{1}{2}$.
(2)当$x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{2}$时，
$A=-3×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-2$.

【分析】
(1) 已知一个多项式与$-xy$的乘积为$3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy$，根据乘除互为逆运算，所求多项式等于乘积除以已知因式$-xy$。计算时遵循多项式除以单项式的法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，注意运算时符号的变化。
(2) 第二问为整式化简求值问题，直接将给定的$x$、$y$的取值代入第一问求出的多项式，按有理数运算规则计算即可。
【解析】
(1) 设所捂的多项式为$A$，根据题意得：
$\begin{aligned}A&=(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-xy)\\&=3x^2y÷(-xy) - xy^2÷(-xy) + \frac{1}{2}xy÷(-xy)\\&=-3x + y - \frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 将$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$代入$A=-3x + y - \frac{1}{2}$得：
$\begin{aligned}A&=-3×\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\&=-2 + 0\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1) 所捂的多项式为$\boldsymbol{-3x + y - \frac{1}{2}}$；(2) 所捂多项式的值为$\boldsymbol{-2}$。
【知识点】
1. 多项式除以单项式
2. 整式化简求值
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查整式除法的运算法则和代入求值的方法，计算时重点注意除法运算的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

15.已知A是一个多项式，单项式$B=2x$，某同学计算$A÷B$时，把$A÷B$误写成$A+B$，结果得出$5x^4 -4x^3 +3x^2$，求$A÷B$.

解:由题意,得$A+B=5x^4-4x^3+3x^2$.
$\because B=2x$,
$\therefore A=5x^4-4x^3+3x^2-2x$.
则$A÷B=(5x^4-4x^3+3x^2-2x)÷2x$
$=\frac{5}{2}x^3-2x^2+\frac{3}{2}x-1$.

【分析】
解题时先根据错误的运算关系逆向求出多项式A：已知学生误将A÷B算成A+B得到结果，所以A等于错误运算的结果减去单项式B；求出A后，再按照多项式除以单项式的运算法则计算A÷B，即可得到正确结果。
【解析】
由题意，得$A+B=5x^4 - 4x^3 + 3x^2$。
$\because B=2x$，
$\therefore A=5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - B=5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x$。
则$A÷ B=(5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x)÷2x$，
根据多项式除以单项式的运算规则，将多项式的每一项分别除以$2x$，再把所得的商相加：
$=5x^4÷2x - 4x^3÷2x + 3x^2÷2x - 2x÷2x$
$=\frac{5}{2}x^3 - 2x^2 + \frac{3}{2}x - 1$
【答案】
$\frac{5}{2}x^3 - 2x^2 + \frac{3}{2}x - 1$
【知识点】
整式的加减运算、多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的常规题型，解题关键是先通过错误的运算结果逆向求出未知多项式A，再代入计算正确的整式除法，运算时要注意多项式的每一项都要参与除法运算，避免漏项、系数计算失误。
【难度系数】
0.8

16.阅读下列材料：
∵$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$，$\therefore (x^2+x-6)÷(x-2)=x+3$.这说明$x^2+x-6$能被$x-2$整除，同时也说明多项式$x^2+x-6$有一个因式为$x-2$；另外，当$x=2$时，多项式$x^2+x-6$的值为零.
回答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式$x-2$、多项式能被$x-2$整除，这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探求规律：更一般地，如果一个关于字母$x$的多项式$M$，当$x=k$时，$M$的值为0，那么$M$与代数式$x-k$之间有何种关系？
(3)应用：利用上面的结果求解，已知$x-2$能整除$x^2+kx-14$，求$k$.

(1)多项式有因式$x-2$,说明此多项式能被$x-2$整除，另外,当$x=2$时,此多项式的值为零.
(2)根据(1)得出的关系,得出$M$能被$x-k$整除.
(3)$\because x-2$能整除$x^2+kx-14$,
$\therefore$当$x-2=0$时,$x^2+kx-14=0$.
当$x=2$时,$x^2+kx-14=4+2k-14=0$,
解得$k=5$.

【分析】
(1) 从材料给出的示例入手，观察到多项式同时满足“有因式x-2”“能被x-2整除”“x=2时多项式值为0”三个条件，由此归纳三者之间的推导关系即可。
(2) 将第(1)问的特殊值2替换为一般值k，除式x-2替换为x-k，即可推广得到通用规律。
(3) 应用前面得到的规律：若多项式能被x-k整除，则x=k时多项式的值为0。本题中对应k=2，将x=2代入多项式得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
(1) 由材料示例可总结：若多项式有因式$x-2$，则此多项式能被$x-2$整除，且当$x=2$时，此多项式的值为零，反之三者也可互相推导。
(2) 结合(1)的规律推广可得：如果关于字母$x$的多项式$M$，当$x=k$时$M$的值为0，那么$M$能被$x-k$整除（或$M$含有因式$x-k$）。
(3) $\because x-2$能整除$x^2+kx-14$，
$\therefore$当$x=2$时，$x^2+kx-14=0$，
把$x=2$代入多项式得：$2^2 + 2k -14 = 0$，
化简得$4 + 2k - 14 = 0$，
解得$k=5$。
【答案】
(1)多项式有因式$x-2$,说明此多项式能被$x-2$整除，另外,当$x=2$时,此多项式的值为零.
(2)$M$能被$x-k$整除.
(3)$k=5$
【知识点】
1.整式的整除 2.因式的概念 3.代数式求值
【点评】
本题属于整式除法的拓展探究题，通过从特殊到一般的推导过程，考察学生的归纳总结能力和知识迁移应用能力，解题核心是准确把握多项式整除、含某因式、在对应点值为0三者之间的等价关系。
【难度系数】
0.7