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9.如果$x^2 - y^2 =4$，则$(x-y)^2(x+y)^2$的值为（
A.4
B.16
C.24
D.32
B
）A.4
B.16
C.24
D.32
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先观察待求式的结构特征，首先回忆积的乘方的逆运算规则：$a^n·b^n=(ab)^n$，可以将两个平方的乘积变形为底数乘积的平方，得到$[(x-y)(x+y)]^2$；此时括号内的式子正好符合平方差公式的结构，展开后就是已知条件给出的$x^2-y^2$，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值，简化计算过程。
【解析】
解：第一步，逆用积的乘方公式对待求式变形：
$(x-y)^2(x+y)^2 = [(x-y)(x+y)]^2$
第二步，根据平方差公式计算括号内的式子：
$[(x-y)(x+y)]^2=(x^2 - y^2)^2$
第三步，将已知条件$x^2 - y^2=4$整体代入计算：
$(x^2 - y^2)^2=4^2=16$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 积的乘方运算
2. 平方差公式
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查整式乘法公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握公式的正用与逆用，通过整体代入法简化计算，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求式的结构特征，首先回忆积的乘方的逆运算规则：$a^n·b^n=(ab)^n$，可以将两个平方的乘积变形为底数乘积的平方，得到$[(x-y)(x+y)]^2$；此时括号内的式子正好符合平方差公式的结构，展开后就是已知条件给出的$x^2-y^2$，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值，简化计算过程。
【解析】
解：第一步，逆用积的乘方公式对待求式变形：
$(x-y)^2(x+y)^2 = [(x-y)(x+y)]^2$
第二步，根据平方差公式计算括号内的式子：
$[(x-y)(x+y)]^2=(x^2 - y^2)^2$
第三步，将已知条件$x^2 - y^2=4$整体代入计算：
$(x^2 - y^2)^2=4^2=16$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 积的乘方运算
2. 平方差公式
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查整式乘法公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握公式的正用与逆用，通过整体代入法简化计算，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.8
10.若$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) - 3 = 0$，则$a^2 + b^2 = \_\_\_\_\_\_$
答案
10.2
解析
【分析】
观察等式左边的结构，两个因式中相同的部分是$a^2 + b^2$，剩余部分分别是+1和-1，符合平方差公式的形式，因此可以把$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式，再求解关于$a^2 + b^2$的方程，最后结合平方的非负性舍去不符合题意的根即可。
【解析】
设$x = a^2 + b^2$，根据平方的非负性可知$x ≥ 0$，则原方程可变形为：
$(x + 1)(x - 1) - 3 = 0$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$展开左边得：
$x^2 - 1 - 3 = 0$
整理得：
$x^2 = 4$
解得$x = 2$或$x = -2$，因为$x = a^2 + b^2 ≥ 0$，所以舍去$x = -2$，即$a^2 + b^2 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
1.平方差公式 2.换元法 3.偶次幂的非负性
【点评】
本题的解题核心是运用整体思想，先识别出式子符合平方差公式的结构特征，套用公式简化运算，同时要注意平方的结果是非负数，求解后需要舍去不符合实际意义的负根，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
观察等式左边的结构，两个因式中相同的部分是$a^2 + b^2$，剩余部分分别是+1和-1，符合平方差公式的形式，因此可以把$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式，再求解关于$a^2 + b^2$的方程，最后结合平方的非负性舍去不符合题意的根即可。
【解析】
设$x = a^2 + b^2$，根据平方的非负性可知$x ≥ 0$，则原方程可变形为：
$(x + 1)(x - 1) - 3 = 0$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$展开左边得：
$x^2 - 1 - 3 = 0$
整理得：
$x^2 = 4$
解得$x = 2$或$x = -2$，因为$x = a^2 + b^2 ≥ 0$，所以舍去$x = -2$，即$a^2 + b^2 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
1.平方差公式 2.换元法 3.偶次幂的非负性
【点评】
本题的解题核心是运用整体思想，先识别出式子符合平方差公式的结构特征，套用公式简化运算，同时要注意平方的结果是非负数，求解后需要舍去不符合实际意义的负根，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
11. 已知 $a^2 + 2a -5=0$，求 $(a-2)^2 -3(a+1)(a-1)$ 的值.小明的解法如下:
解:原式$=a^2 -2a -2a +4 -3(a^2 -1)$ （第一步）
$=a^2 -4a +4 -3a^2 -3$ （第二步）
$=-2a^2 -4a +1$. （第三步）
由 $a^2 +2a -5=0$,得 $a^2 +2a=5$. （第四步）
所以原式$=-2(a^2 +2a)+1=-2×5 +1=-9$. （第五步）
根据小明的解法解答下列问题:
(1)小明的解答过程在第
(2)请你借鉴小明的解题方法,写出此题的正确解答过程.
解:原式$=a^2 -2a -2a +4 -3(a^2 -1)$ （第一步）
$=a^2 -4a +4 -3a^2 -3$ （第二步）
$=-2a^2 -4a +1$. （第三步）
由 $a^2 +2a -5=0$,得 $a^2 +2a=5$. （第四步）
所以原式$=-2(a^2 +2a)+1=-2×5 +1=-9$. （第五步）
根据小明的解法解答下列问题:
(1)小明的解答过程在第
二
步上开始出现错误,错误的原因是去括号时，-3没有变号
;(2)请你借鉴小明的解题方法,写出此题的正确解答过程.
答案
11.(1)二 去括号时，-3没有变号
(2)解:原式$=a^2 -2a -2a +4 -3(a^2 -1)$
$=a^2 -4a +4 -3a^2 +3$
$=-2a^2 -4a +7.$
由$a^2 +2a -5=0$得$a^2 +2a=5.$
所以原式$=-2a^2 -4a +7=-2(a^2 +2a)+7=-10+7=-3.$
(2)解:原式$=a^2 -2a -2a +4 -3(a^2 -1)$
$=a^2 -4a +4 -3a^2 +3$
$=-2a^2 -4a +7.$
由$a^2 +2a -5=0$得$a^2 +2a=5.$
所以原式$=-2a^2 -4a +7=-2(a^2 +2a)+7=-10+7=-3.$
解析
【分析】
（1）判断小明的错误步骤需逐次核对整式化简的运算规则：第一步展开完全平方公式、运用平方差公式的操作正确；第二步去括号时，根据去括号法则，括号前是负因数，括号内每一项都要和负因数相乘且对应变号，-3乘(a²-1)中的-1应得+3，小明写成了-3，因此第二步出现错误。（2）正确解题时，先正确展开整式，严格遵循去括号法则去括号、合并同类项，再将已知的a²+2a=5整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a的值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 逐一核对小明的运算步骤：
第一步：$(a-2)^2$展开为$a^2-4a+4$，$(a+1)(a-1)$用平方差公式得$a^2-1$，步骤正确；
第二步：去括号时$-3(a^2-1)$应展开为$-3a^2+3$，小明误写为$-3a^2-3$，因此第二步开始出错，错误原因为去括号时，-3没有变号。
(2) 正确解答过程：
原式$=a^2 -2a -2a +4 -3(a^2 -1)$
$=a^2 -4a +4 -3a^2 +3$
$=-2a^2 -4a +7$
由$a^2 +2a -5=0$，可得$a^2 +2a=5$，
代入化简后的式子得：原式$=-2(a^2 +2a)+7=-2×5 +7=-10+7=-3$
【答案】
(1) 二；去括号时，-3没有变号
(2) 原式的值为$-3$
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式混合运算和代数式求值的能力，解题时需注意去括号的符号规则，运用整体代入思想可简化运算流程，是整式求值类问题的常用技巧，日常练习需注意运算细节，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
（1）判断小明的错误步骤需逐次核对整式化简的运算规则：第一步展开完全平方公式、运用平方差公式的操作正确；第二步去括号时，根据去括号法则，括号前是负因数，括号内每一项都要和负因数相乘且对应变号，-3乘(a²-1)中的-1应得+3，小明写成了-3，因此第二步出现错误。（2）正确解题时，先正确展开整式，严格遵循去括号法则去括号、合并同类项，再将已知的a²+2a=5整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a的值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 逐一核对小明的运算步骤：
第一步：$(a-2)^2$展开为$a^2-4a+4$，$(a+1)(a-1)$用平方差公式得$a^2-1$，步骤正确；
第二步：去括号时$-3(a^2-1)$应展开为$-3a^2+3$，小明误写为$-3a^2-3$，因此第二步开始出错，错误原因为去括号时，-3没有变号。
(2) 正确解答过程：
原式$=a^2 -2a -2a +4 -3(a^2 -1)$
$=a^2 -4a +4 -3a^2 +3$
$=-2a^2 -4a +7$
由$a^2 +2a -5=0$，可得$a^2 +2a=5$，
代入化简后的式子得：原式$=-2(a^2 +2a)+7=-2×5 +7=-10+7=-3$
【答案】
(1) 二；去括号时，-3没有变号
(2) 原式的值为$-3$
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式混合运算和代数式求值的能力，解题时需注意去括号的符号规则，运用整体代入思想可简化运算流程，是整式求值类问题的常用技巧，日常练习需注意运算细节，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
12.乘法公式的探究及应用：
(1)如图,可以求出阴影部分的面积是
(2)如图,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是
(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式:
(4)运用你所得到的公式,计算下列式子:
$(2m+n-p)(2m-n-p)$
(1)如图,可以求出阴影部分的面积是
$a^2 - b^2$
(写成两数平方差的形式);(2)如图,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是
$a - b$
,长是$a + b$
,面积是$(a+b)(a-b)$
(写成多项式乘法的形式);(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式:
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
(用式子表达);(4)运用你所得到的公式,计算下列式子:
$(2m+n-p)(2m-n-p)$
答案
12.解:(1)$a^2 - b^2$ (2)$a-b$ $a+b$ $(a+b)(a-b)$
(3)$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
(4)$(2m+n-p)(2m-n-p)$
$=(2m-p)^2 -n^2$
$=4m^2 -2mp -2mp +p^2 -n^2$
$=4m^2 -4mp +p^2 -n^2.$
(3)$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
(4)$(2m+n-p)(2m-n-p)$
$=(2m-p)^2 -n^2$
$=4m^2 -2mp -2mp +p^2 -n^2$
$=4m^2 -4mp +p^2 -n^2.$
解析
【分析】
(1) 计算左图阴影面积可采用“整体减空白”的思路：边长为a的大正方形面积为$a^2$，边长为b的空白小正方形面积为$b^2$，阴影面积为二者的差，即可得到平方差形式的结果。
(2) 裁剪阴影部分拼接长方形时，拼接后长方形的宽为大、小正方形的边长差$a-b$，长为大、小正方形的边长和$a+b$，根据长方形面积公式即可写出多项式乘法形式的面积表达式。
(3) 两图阴影部分面积完全相等，联立两个面积表达式即可得到对应的乘法公式。
(4) 计算整式乘法时，先观察式子特征：将$(2m-p)$看作整体作为相同项，$n$和$-n$为相反项，符合平方差公式的结构，先套用平方差公式化简，再展开完全平方即可得到最终结果。
【解析】
(1) 阴影部分面积 = 大正方形面积 - 空白小正方形面积 = $a^2 - b^2$。
(2) 重新拼成的长方形宽为$a-b$，长为$a+b$，面积 = 长×宽 = $(a+b)(a-b)$。
(3) 由两图阴影面积相等，可得乘法公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
(4) 对式子分组后套用公式计算：
$\begin{aligned}(2m+n-p)(2m-n-p)&=[(2m-p)+n][(2m-p)-n]\\&=(2m-p)^2 -n^2\\&=4m^2 -4mp +p^2 -n^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^2 - b^2$；(2)$a-b$，$a+b$，$(a+b)(a-b)$；(3)$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$；(4)$4m^2 -4mp +p^2 -n^2$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，平方差的几何意义
【点评】
本题通过几何图形面积的两种表示方法推导平方差公式，再结合公式进行整式运算，考查了数形结合思想的应用，解题核心是准确识别平方差公式中的相同项和相反项，灵活运用公式简化运算。
【难度系数】
0.8
(1) 计算左图阴影面积可采用“整体减空白”的思路：边长为a的大正方形面积为$a^2$，边长为b的空白小正方形面积为$b^2$，阴影面积为二者的差，即可得到平方差形式的结果。
(2) 裁剪阴影部分拼接长方形时，拼接后长方形的宽为大、小正方形的边长差$a-b$，长为大、小正方形的边长和$a+b$，根据长方形面积公式即可写出多项式乘法形式的面积表达式。
(3) 两图阴影部分面积完全相等，联立两个面积表达式即可得到对应的乘法公式。
(4) 计算整式乘法时，先观察式子特征：将$(2m-p)$看作整体作为相同项，$n$和$-n$为相反项，符合平方差公式的结构，先套用平方差公式化简，再展开完全平方即可得到最终结果。
【解析】
(1) 阴影部分面积 = 大正方形面积 - 空白小正方形面积 = $a^2 - b^2$。
(2) 重新拼成的长方形宽为$a-b$，长为$a+b$，面积 = 长×宽 = $(a+b)(a-b)$。
(3) 由两图阴影面积相等，可得乘法公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
(4) 对式子分组后套用公式计算：
$\begin{aligned}(2m+n-p)(2m-n-p)&=[(2m-p)+n][(2m-p)-n]\\&=(2m-p)^2 -n^2\\&=4m^2 -4mp +p^2 -n^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^2 - b^2$；(2)$a-b$，$a+b$，$(a+b)(a-b)$；(3)$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$；(4)$4m^2 -4mp +p^2 -n^2$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，平方差的几何意义
【点评】
本题通过几何图形面积的两种表示方法推导平方差公式，再结合公式进行整式运算，考查了数形结合思想的应用，解题核心是准确识别平方差公式中的相同项和相反项，灵活运用公式简化运算。
【难度系数】
0.8
13. 小明在做一道计算题$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数之和的形式，跟最近学的平方差公式很类似，但是需要添加两数之差，于是添了$(2-1)$，并做了如下的计算：
$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$
$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$
$=2^{32}-1.$
请你按照小明的方法计算：
$(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1).$
$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$
$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$
$=2^{32}-1.$
请你按照小明的方法计算：
$(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1).$
答案
13.解:原式$=\frac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16}-1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{32}-1).$
$=\frac{1}{2}(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16}-1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{32}-1).$
解析
【分析】
本题可借鉴题干中的方法，利用平方差公式简化计算。观察原式发现每个括号都是两数和的形式，符合平方差公式中$(a+b)$的结构，缺少对应的$(a-b)$项，因此考虑补乘$(3-1)$构造平方差。由于$(3-1)=2$，直接乘会使原式的值变为原来的2倍，所以需同时乘$\frac{1}{2}$保证原式的值不变，之后反复套用平方差公式逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16}-1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{32}-1)$
【答案】
$\frac{1}{2}(3^{32}-1)$
【知识点】
平方差公式，整式巧算，乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的拓展应用，核心思路是通过凑项构造符合平方差公式的运算形式，简化连续乘积的计算，需要注意凑项时不能改变原式的大小，这是这类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.6
本题可借鉴题干中的方法，利用平方差公式简化计算。观察原式发现每个括号都是两数和的形式，符合平方差公式中$(a+b)$的结构，缺少对应的$(a-b)$项，因此考虑补乘$(3-1)$构造平方差。由于$(3-1)=2$，直接乘会使原式的值变为原来的2倍，所以需同时乘$\frac{1}{2}$保证原式的值不变，之后反复套用平方差公式逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16}-1)(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{32}-1)$
【答案】
$\frac{1}{2}(3^{32}-1)$
【知识点】
平方差公式，整式巧算，乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的拓展应用，核心思路是通过凑项构造符合平方差公式的运算形式，简化连续乘积的计算，需要注意凑项时不能改变原式的大小，这是这类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.6
