11.化简$\frac{2}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x -a}$的结果是$\frac{2}{x -1}$，则a的值是（）

A.1
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$

11.B

【分析】
要解决这个问题，我们可以按照分式乘除的运算规则先化简左侧的式子，再将化简结果和题目给出的结果对比，建立关于a的等式求解即可。首先回忆分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，其次先对分母$x^2-1$用平方差公式因式分解，方便后续约分化简，最后利用分式相等的性质求出a的值。
【解析】
解：首先对原式左边进行化简：
1. 利用平方差公式分解因式：$x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
2. 分式除法转换为乘法：
$\frac{2}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x -a} = \frac{2}{(x+1)(x-1)} × (x-a) = \frac{2(x-a)}{(x+1)(x-1)}$
3. 根据题意，化简结果等于$\frac{2}{x-1}$，可得等式：
$\frac{2(x-a)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{x-1}$
4. 等式两边同时乘$(x-1)$（$x≠1$，保证分式有意义），得：
$\frac{2(x-a)}{x+1} = 2$
5. 两边同时除以2，得：
$\frac{x-a}{x+1} = 1$
6. 去分母后整理得：$x - a = x + 1$，消去x后解得$a=-1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式因式分解、分式相等的性质
【点评】
本题是分式乘除运算的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握分式除法的运算法则，会用平方差公式对多项式因式分解，再通过等式变形求解参数，计算时要注意分式有意义的隐含条件，避免运算出错。
【难度系数】
0.8

12.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简.过程如图，接力中，自己负责的一步出现错误的是（）
老师$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} ÷ \frac{x^2}{1 - x} \to$甲$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} · \frac{1 - x}{x^2} \to$乙$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} · \frac{x - 1}{x^2} \to$丙$\frac{x(x - 2)}{x - 1} · \frac{x - 1}{x^2} \to$丁$\frac{x - 2}{2}$

A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁

12.D

【分析】
解决本题需按照分式乘除的运算法则，逐次检查接力中每个人的计算步骤：首先回忆分式除法规则，除以一个分式等于乘该分式的倒数；再依次核对符号变形、因式分解、约分的步骤是否正确，最终找出出错的环节。
【解析】
我们逐人核对计算步骤：
1. 原式为$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} ÷ \frac{x^2}{1 - x}$
2. 甲的步骤：将除法转化为乘法，乘$\frac{x^2}{1 - x}$的倒数$\frac{1 - x}{x^2}$，得到$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} · \frac{1 - x}{x^2}$，计算正确。
3. 乙的步骤：将$\frac{1 - x}{x^2}$改写为$\frac{x - 1}{x^2}$，由于$1-x=-(x-1)$，乙漏写负号，该步错误。
4. 丙的步骤：将分子$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$，得到$\frac{x(x - 2)}{x - 1} · \frac{x - 1}{x^2}$，是基于乙的结果进行的正确因式分解，自身步骤正确。
5. 丁的步骤：对丙的式子约分时，分子分母的$x-1$约去，分子的$x$和分母的$x^2$约去后剩余$x$在分母，正确结果应为$\frac{x-2}{x}$，丁错写为$\frac{x - 2}{2}$，约分错误，该步错误。
因此出错的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题结合趣味形式考查分式乘除运算，需要注意除法转化为乘法时的符号变化，约分时要准确识别公因式，避免漏符号、约分错误这类常见运算失误。
【难度系数】
0.7

13. 给定一列分式：$\frac{x^3}{y}, -\frac{x^5}{y^2}, \frac{x^7}{y^3}, -\frac{x^9}{y^4}, \dots$（其中$x≠0$），用任意一个分式作除法，去除它后面一个分式得到的结果是；根据你发现的规律，试写出第9个分式：。

13.$-\frac{x^2}{y}$ $\frac{x^{19}}{y^9}$

【分析】
本题包含两个问题，第一问求相邻分式的商，可先选取前两个分式按分式除法规则计算，再验证其他相邻项确认结果统一即可；第二问找第9个分式，需要分别拆分观察每一项的符号、分子x的次数、分母y的次数的规律，总结出第n个分式的通式后代入n=9计算即可。
【解析】
计算第一个空：
选取第1个分式$\frac{x^3}{y}$和它后面的第2个分式$-\frac{x^5}{y^2}$，根据题意“用前面的分式去除后面的分式”即后项÷前项，列式得：
$(-\frac{x^5}{y^2}) ÷ \frac{x^3}{y}$
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，转化为乘法计算：
$= (-\frac{x^5}{y^2}) × \frac{y}{x^3}$
约分后得：$-\frac{x^2}{y}$，验证其他相邻分式的商都符合该结果，故第一个空填$-\frac{x^2}{y}$。
计算第二个空：
拆分观察分式规律：
1. 符号：第1项正、第2项负、第3项正……，规律为$(-1)^{n+1}$（n为项数，奇数项为正，偶数项为负）；
2. 分子x的次数：第1项$3=2×1+1$、第2项$5=2×2+1$、第3项$7=2×3+1$……，规律为$2n+1$；
3. 分母y的次数：第1项1、第2项2、第3项3……，规律为$n$。
因此第n个分式的通式为$(-1)^{n+1}·\frac{x^{2n+1}}{y^n}$。
当$n=9$时，符号为$(-1)^{9+1}=1$，x的次数为$2×9+1=19$，y的次数为9，代入得第9个分式为$\frac{x^{19}}{y^9}$。
【答案】
$-\frac{x^2}{y}$；$\frac{x^{19}}{y^9}$
【知识点】
分式的乘除运算；规律探究
【点评】
本题同时考查分式运算能力和归纳推理能力，拆分符号、分子、分母分别找规律是解决这类规律题的常用方法，熟练掌握分式除法法则是计算的基础。
【难度系数】
0.7

14. 计算:
(1)$\frac{x^2 +1}{6 - x} · \frac{x^2 -36}{x^3 +x}$;
(2)$\frac{x - y}{x - 2y} ÷ \frac{x^2 - y^2}{x^2 -4xy +4y^2}$.

14.解:(1)原式$=\frac{x^2 +1}{-(x-6)} · \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2 +1)} = -\frac{x+6}{x}$.
(2)原式$=\frac{x-y}{x-2y} · \frac{(x-2y)^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-2y}{x+y}$.

【分析】
分式乘除运算的核心思路是先化除为乘，再将分子分母中能因式分解的多项式分解，最后约去公因式得到最简结果。①第(1)题：先处理符号和因式分解，$6-x$可变形为$-(x-6)$，$x^2-36$是平方差形式可分解为$(x+6)(x-6)$，$x^3+x$提取公因式$x$后得$x(x^2+1)$，分解后约去公因式即可，注意符号变化。②第(2)题：先根据除法法则把除法转化为乘法（乘除式的倒数），再分解因式：$x^2-y^2$是平方差形式可分解为$(x+y)(x-y)$，$x^2-4xy+4y^2$是完全平方形式可分解为$(x-2y)^2$，再约去公因式即可。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解、处理符号：
原式$=\frac{x^2 +1}{-(x-6)} · \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2 +1)}$
约去公因式$x^2+1$和$x-6$，得：
原式$= -\frac{x+6}{x}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
原式$=\frac{x-y}{x-2y} · \frac{(x-2y)^2}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$x-y$和$x-2y$，得：
原式$= \frac{x-2y}{x+y}$
【答案】
(1) $-\frac{x+6}{x}$；(2) $\frac{x-2y}{x+y}$
【知识点】
分式乘除法则，因式分解，约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题的关键是先准确对分子分母的多项式进行因式分解，遇除法先转化为乘法再约分，计算时要注意符号变化，避免因漏写负号或因式分解错误失分。
【难度系数】
0.8

15. 先化简$\frac{x+3}{x^2 -4x +4} ÷ \frac{x^2 +3x}{x^2 -4}$，然后在不等式$x≤2$的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.

15.解:原式$=\frac{x+3}{(x-2)^2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+3)} = \frac{x+2}{x(x-2)}$.
$\because$非负整数$x≤2$,且$x≠±2,0,-3$,$\therefore x=1$,
$\therefore$原式$=\frac{1+2}{1×(-1)}=-3$.

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步，对各分式的分子、分母因式分解，再约去公因式得到最简分式；第三步，先找出不等式x≤2的非负整数解，再结合分式有意义的条件（所有分母、除式不为0）筛选出合适的x值，最后代入最简式计算即可。
【解析】
解：先将原式的除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+3}{(x-2)^2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+3)}\\&=\frac{x+2}{x(x-2)}\end{aligned}$
不等式x≤2的非负整数解为0、1、2，
要使分式有意义，则需满足：
$(x-2)^2≠0$，$x(x+3)≠0$，$(x+2)(x-2)≠0$，
即$x≠2$，$x≠0$，$x≠-3$，$x≠-2$，
因此符合条件的非负整数只有x=1，
将x=1代入最简式得：
$原式=\frac{1+2}{1×(1-2)}=\frac{3}{-1}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
分式的乘除运算；分式有意义的条件；不等式的整数解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心易错点是忽略分式有意义的隐含限制，直接代入x=0或x=2计算，解题时要注意代入的数值必须使原式中所有分式都有意义，不能仅参考化简后的式子判断取值范围。
【难度系数】
0.7

16. 用水清洗蔬菜上残留的农药,假设用$x$（$x≥1$）单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为$\frac{1}{1+x}$.现有$a(a≥3)$单位量的水,可以一次清洗,也可以把水平均分成两份后清洗两次,或可以把水分成$\frac{1}{3}a,\frac{2}{3}a$不相等的两份后清洗两次,试问要使清洗后蔬菜上残留的农药量较少,应选择哪种方案?请说明理由.

16.解:应选择把水平均分成两份后清洗两次.
理由如下:
设开始农药量为1.
若一次清洗,则残留的农药量为$\frac{1}{1+a}$;
若平均分成两份后清洗两次,残留的农药量为$\frac{1}{1+\frac{1}{2}a} · \frac{1}{1+\frac{1}{2}a} = \frac{1}{1+a+\frac{1}{4}a^2}$;
若把水分成不相等的两份清洗两次,残留的农药量为$\frac{1}{1+\frac{1}{3}a} · \frac{1}{1+\frac{2}{3}a} = \frac{1}{1+a+\frac{2}{9}a^2}$.
因为$1+a＜1+a+\frac{2}{9}a^2＜1+a+\frac{1}{4}a^2$,$a≥3$,
所以$\frac{1}{1+a}＞\frac{1}{1+a+\frac{2}{9}a^2}＞\frac{1}{1+a+\frac{1}{4}a^2}$.
所以把水平均分成两份后清洗两次,残留的农药量最少.

【分析】
要选出残留农药量最少的清洗方案，可按以下思路解题：首先明确题目给出的残留农药量比例规则，为了方便计算，设初始农药量为1（该设定不影响最终大小比较结果），再分别计算三种清洗方案对应的残留农药量。由于三种方案的残留量分子均为1，因此只需比较分母大小即可：分母越大，对应分数值越小，残留农药量就越少，最终通过比较三个分母的大小就能确定最优方案。
【解析】
设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别计算三种方案的残留农药量：
1. 一次清洗方案：用$a$单位量的水清洗一次，残留农药量为$\frac{1}{1+a}$；
2. 水平均分成两份清洗两次方案：每份水量为$\frac{1}{2}a$，两次清洗后的残留量为两次残留比例的乘积：
$\frac{1}{1+\frac{1}{2}a} × \frac{1}{1+\frac{1}{2}a} = \frac{1}{(1+\frac{1}{2}a)^2} = \frac{1}{1+a+\frac{1}{4}a^2}$；
3. 水分成$\frac{1}{3}a$、$\frac{2}{3}a$两份清洗两次方案：两次清洗后的残留量为：
$\frac{1}{1+\frac{1}{3}a} × \frac{1}{1+\frac{2}{3}a} = \frac{1}{(1+\frac{1}{3}a)(1+\frac{2}{3}a)} = \frac{1}{1+a+\frac{2}{9}a^2}$。
由于$a≥3$，因此$a^2＞0$，比较三个分母的大小：$\frac{1}{4}a^2＞\frac{2}{9}a^2＞0$，可得$1+a＜1+a+\frac{2}{9}a^2＜1+a+\frac{1}{4}a^2$。
对于分子均为1的正分数，分母越大分数值越小，因此$\frac{1}{1+a}＞\frac{1}{1+a+\frac{2}{9}a^2}＞\frac{1}{1+a+\frac{1}{4}a^2}$，即平均分成两份清洗两次时残留农药量最少。
【答案】
应选择把水平均分成两份后清洗两次。
【知识点】
分式乘除运算；分式大小比较；最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际场景考查分式的运算与大小比较应用，解题核心是准确表示不同方案的残留农药量，利用分子相同的正分数的大小比较规则判断残留量高低，能有效锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7