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1. 计算$(-\dfrac{3a}{b})· \dfrac{1}{6ab}$的结果是 （
A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$-\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
D
）A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$-\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步先确定运算结果的符号，两数相乘异号得负；第二步根据分式乘法法则，将分子的乘积作为积的分子、分母的乘积作为积的分母；第三步对得到的分式进行约分，化为最简分式，再对应选项即可得到答案。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
1. 确定符号：负因数有1个，故结果为负；
2. 计算分子、分母的乘积：
原式=$-\dfrac{3a × 1}{b × 6ab}$
=$-\dfrac{3a}{6ab^2}$
3. 约分：分子分母同时除以公因式$3a$，得
$-\dfrac{3a÷3a}{6ab^2÷3a}=-\dfrac{1}{2b^2}$
【答案】
D
【知识点】
分式的乘法运算，约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题时需先明确运算结果的符号，再按照运算法则计算，最后约分化简即可，运算过程中要注意不要漏乘或错约字母的次数。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步先确定运算结果的符号，两数相乘异号得负；第二步根据分式乘法法则，将分子的乘积作为积的分子、分母的乘积作为积的分母；第三步对得到的分式进行约分，化为最简分式，再对应选项即可得到答案。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
1. 确定符号：负因数有1个，故结果为负；
2. 计算分子、分母的乘积：
原式=$-\dfrac{3a × 1}{b × 6ab}$
=$-\dfrac{3a}{6ab^2}$
3. 约分：分子分母同时除以公因式$3a$，得
$-\dfrac{3a÷3a}{6ab^2÷3a}=-\dfrac{1}{2b^2}$
【答案】
D
【知识点】
分式的乘法运算，约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题时需先明确运算结果的符号，再按照运算法则计算，最后约分化简即可，运算过程中要注意不要漏乘或错约字母的次数。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\frac{a+b}{5ab} · \frac{10a^2b}{a^2 - b^2}$的结果是 （$\quad$）
A.$\frac{2}{a-b}$
B.$\frac{a}{a-b}$
C.$\frac{b}{a-b}$
D.$\frac{2a}{a-b}$
A.$\frac{2}{a-b}$
B.$\frac{a}{a-b}$
C.$\frac{b}{a-b}$
D.$\frac{2a}{a-b}$
答案
2.D
解析
【分析】
解决这道分式乘法题的思路是：首先回忆分式乘法的运算规则，分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；运算前先观察式子中能因式分解的部分，先做因式分解，再通过约分简化计算，最后得到最简结果对应选项即可。具体步骤：第一步先对式子中的多项式$a^2-b^2$用平方差公式因式分解，第二步找出分子分母的公因式进行约分，第三步整理剩余部分得到最终结果。
【解析】
解：首先利用平方差公式对$a^2-b^2$因式分解，得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a+b}{5ab} · \frac{10a^2b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{(a+b)·10a^2b}{5ab·(a+b)(a-b)}\\&=\frac{\cancel{(a+b)}·\overset{2}{\cancel{10}}\overset{a}{\cancel{a^2}}\cancel{b}}{\cancel{5}\cancel{a}\cancel{b}·\cancel{(a+b)}(a-b)}\\&=\frac{2a}{a-b}\end{aligned}$
所以计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式乘法运算 2.平方差公式 3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的运算规则和因式分解的应用，计算时先对多项式因式分解再约分，能大幅降低计算量，需注意约分时要找全分子分母的公因式，避免因漏约、错约导致结果错误。
【难度系数】
0.8
解决这道分式乘法题的思路是：首先回忆分式乘法的运算规则，分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；运算前先观察式子中能因式分解的部分，先做因式分解，再通过约分简化计算，最后得到最简结果对应选项即可。具体步骤：第一步先对式子中的多项式$a^2-b^2$用平方差公式因式分解，第二步找出分子分母的公因式进行约分，第三步整理剩余部分得到最终结果。
【解析】
解：首先利用平方差公式对$a^2-b^2$因式分解，得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a+b}{5ab} · \frac{10a^2b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{(a+b)·10a^2b}{5ab·(a+b)(a-b)}\\&=\frac{\cancel{(a+b)}·\overset{2}{\cancel{10}}\overset{a}{\cancel{a^2}}\cancel{b}}{\cancel{5}\cancel{a}\cancel{b}·\cancel{(a+b)}(a-b)}\\&=\frac{2a}{a-b}\end{aligned}$
所以计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式乘法运算 2.平方差公式 3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的运算规则和因式分解的应用，计算时先对多项式因式分解再约分，能大幅降低计算量，需注意约分时要找全分子分母的公因式，避免因漏约、错约导致结果错误。
【难度系数】
0.8
3. 如果 $ m^2 + 3m - 1 = 0 $，那么 $ \frac{m^2 - 9}{m} · \frac{m^2}{m - 3} = $
1
。答案
3.1
解析
【分析】
解题时遵循“先化简，再求值”的原则，首先对所求分式的分子进行因式分解，再根据分式乘法的运算法则约分，将代数式化简为最简形式，最后结合已知等式的变形结果整体代入计算即可，无需单独求解m的值，避免增加计算量。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
1. 因式分解：$m^2 - 9$是平方差形式，可分解为$(m+3)(m-3)$，因此原式可改写为：
$\frac{(m+3)(m-3)}{m} · \frac{m^2}{m - 3}$
2. 约分计算：根据分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式$m-3$和$m$，可得：
原式$= m(m+3) = m^2 + 3m$
3. 整体代入：已知$m^2 + 3m - 1 = 0$，移项可得$m^2 + 3m = 1$，代入化简后的式子得原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题核心是先通过因式分解、约分将分式化简到最简形式，再利用整体思想代入已知条件的变形结果，能有效简化运算，重点考察运算能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时遵循“先化简，再求值”的原则，首先对所求分式的分子进行因式分解，再根据分式乘法的运算法则约分，将代数式化简为最简形式，最后结合已知等式的变形结果整体代入计算即可，无需单独求解m的值，避免增加计算量。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
1. 因式分解：$m^2 - 9$是平方差形式，可分解为$(m+3)(m-3)$，因此原式可改写为：
$\frac{(m+3)(m-3)}{m} · \frac{m^2}{m - 3}$
2. 约分计算：根据分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式$m-3$和$m$，可得：
原式$= m(m+3) = m^2 + 3m$
3. 整体代入：已知$m^2 + 3m - 1 = 0$，移项可得$m^2 + 3m = 1$，代入化简后的式子得原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题核心是先通过因式分解、约分将分式化简到最简形式，再利用整体思想代入已知条件的变形结果，能有效简化运算，重点考察运算能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
4. 计算:
(1) $\frac{2y}{3x^2} · \frac{-x^3}{6y^3}$;
(2) $\frac{a^2}{a^2 + 2a} · \frac{a^2 - 4}{a - 2}$.
(1) $\frac{2y}{3x^2} · \frac{-x^3}{6y^3}$;
(2) $\frac{a^2}{a^2 + 2a} · \frac{a^2 - 4}{a - 2}$.
答案
4.解:(1)原式$=-\frac{x}{9y^2}$.
(2)原式$=\frac{a^2}{a(a+2)} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}=a$.
(2)原式$=\frac{a^2}{a(a+2)} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}=a$.
解析
【分析】
解决分式乘法运算问题，首先回忆分式乘法法则：分式乘分式，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母，最终结果要化为最简分式或整式。
（1）题是单项式类的分式乘法，先判断符号：只有1个负因数，所以结果为负；再找分子分母的公因式约分，最后计算剩余部分即可。
（2）题的分子分母含多项式，首先先对多项式因式分解，再找公因式约分，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 先确定结果符号为负，再对分子分母约分：
原式$=-\frac{2y · x^3}{3x^2 · 6y^3}$
约掉公因式$2y$、$x^2$，得：
$=-\frac{x}{3 × 3 y^2} = -\frac{x}{9y^2}$
(2) 先对多项式因式分解：
分母$a^2+2a = a(a+2)$，分子$a^2-4$符合平方差公式特征，分解为$(a+2)(a-2)$，代入原式得：
原式$=\frac{a^2}{a(a+2)} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}$
约掉公因式$a$、$(a+2)$、$(a-2)$，得：
$=a$
【答案】
(1) $-\frac{x}{9y^2}$；(2) $a$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是先处理符号、对多项式因式分解后再约分，能大幅简化计算，需要注意准确识别公因式，避免约分错误。
【难度系数】
0.8
解决分式乘法运算问题，首先回忆分式乘法法则：分式乘分式，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母，最终结果要化为最简分式或整式。
（1）题是单项式类的分式乘法，先判断符号：只有1个负因数，所以结果为负；再找分子分母的公因式约分，最后计算剩余部分即可。
（2）题的分子分母含多项式，首先先对多项式因式分解，再找公因式约分，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 先确定结果符号为负，再对分子分母约分：
原式$=-\frac{2y · x^3}{3x^2 · 6y^3}$
约掉公因式$2y$、$x^2$，得：
$=-\frac{x}{3 × 3 y^2} = -\frac{x}{9y^2}$
(2) 先对多项式因式分解：
分母$a^2+2a = a(a+2)$，分子$a^2-4$符合平方差公式特征，分解为$(a+2)(a-2)$，代入原式得：
原式$=\frac{a^2}{a(a+2)} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}$
约掉公因式$a$、$(a+2)$、$(a-2)$，得：
$=a$
【答案】
(1) $-\frac{x}{9y^2}$；(2) $a$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是先处理符号、对多项式因式分解后再约分，能大幅简化计算，需要注意准确识别公因式，避免约分错误。
【难度系数】
0.8
5. 计算$\frac{1}{a} ÷ (-\frac{1}{a^2})$的结果为 （
A.$a$
B.$-a$
C.$-\frac{1}{a^3}$
D.$\frac{1}{a^3}$
B
）A.$a$
B.$-a$
C.$-\frac{1}{a^3}$
D.$\frac{1}{a^3}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先回忆分式除法的运算规则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，运算时先确定结果的符号，再将除法转化为乘法计算，最后约分得到最简结果。首先观察原式，被除数为正，除数为负，异号相除结果为负，可先排除正的选项A、D，再通过运算验证剩余选项即可。
【解析】
根据分式的除法运算法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，可得：
$\begin{aligned}\frac{1}{a} ÷ (-\frac{1}{a^2})&=\frac{1}{a} × (-a^2)\\&=-\frac{a^2}{a}\\&=-a\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，解题核心是先确定运算结果的符号，再准确将除法转化为乘法计算，熟练掌握运算法则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆分式除法的运算规则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，运算时先确定结果的符号，再将除法转化为乘法计算，最后约分得到最简结果。首先观察原式，被除数为正，除数为负，异号相除结果为负，可先排除正的选项A、D，再通过运算验证剩余选项即可。
【解析】
根据分式的除法运算法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，可得：
$\begin{aligned}\frac{1}{a} ÷ (-\frac{1}{a^2})&=\frac{1}{a} × (-a^2)\\&=-\frac{a^2}{a}\\&=-a\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，解题核心是先确定运算结果的符号，再准确将除法转化为乘法计算，熟练掌握运算法则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
6.若$\frac{□}{a-b} ÷ \frac{3a}{a^2 - b^2}$运算的结果是整式，则“$□$”内的式子可能是（
A.$ab$
B.$a+b$
C.$a-b$
D.$\frac{1}{a}$
A
）A.$ab$
B.$a+b$
C.$a-b$
D.$\frac{1}{a}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先运用分式除法法则将除法转化为乘法，再利用平方差公式对多项式因式分解后约分，得到化简后的式子；要使运算结果为整式，需保证化简后分母的所有因式都能被分子约去，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，结合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，先化简原式：
$\frac{□}{a-b} ÷ \frac{3a}{a^2 - b^2} = \frac{□}{a-b} × \frac{(a+b)(a-b)}{3a} = \frac{□ · (a+b)}{3a}$
要使运算结果为整式，分母的因式$3a$需能被分子完全约去，即$□$内的式子需要含有因式$a$：
若$□$为$ab$，代入得$\frac{ab · (a+b)}{3a} = \frac{b(a+b)}{3}$，是整式，符合要求；
若$□$为$a+b$，代入得$\frac{(a+b)^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
若$□$为$a-b$，代入得$\frac{(a-b)(a+b)}{3a} = \frac{a^2-b^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
若$□$为$\frac{1}{a}$，代入得$\frac{\frac{1}{a} · (a+b)}{3a} = \frac{a+b}{3a^2}$，分母含字母$a$，是分式，不符合。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式、整式的概念
【点评】
本题核心是考查分式除法的运算规则，解题关键是先将原式化简，再结合整式的定义反推未知部分需要满足的条件，解题过程中要熟练运用因式分解完成约分。
【难度系数】
0.7
解题时先运用分式除法法则将除法转化为乘法，再利用平方差公式对多项式因式分解后约分，得到化简后的式子；要使运算结果为整式，需保证化简后分母的所有因式都能被分子约去，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，结合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，先化简原式：
$\frac{□}{a-b} ÷ \frac{3a}{a^2 - b^2} = \frac{□}{a-b} × \frac{(a+b)(a-b)}{3a} = \frac{□ · (a+b)}{3a}$
要使运算结果为整式，分母的因式$3a$需能被分子完全约去，即$□$内的式子需要含有因式$a$：
若$□$为$ab$，代入得$\frac{ab · (a+b)}{3a} = \frac{b(a+b)}{3}$，是整式，符合要求；
若$□$为$a+b$，代入得$\frac{(a+b)^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
若$□$为$a-b$，代入得$\frac{(a-b)(a+b)}{3a} = \frac{a^2-b^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
若$□$为$\frac{1}{a}$，代入得$\frac{\frac{1}{a} · (a+b)}{3a} = \frac{a+b}{3a^2}$，分母含字母$a$，是分式，不符合。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式、整式的概念
【点评】
本题核心是考查分式除法的运算规则，解题关键是先将原式化简，再结合整式的定义反推未知部分需要满足的条件，解题过程中要熟练运用因式分解完成约分。
【难度系数】
0.7
7. 若$\frac{y}{x-1} · M = \frac{5xy}{x^2 - 1}$，则分式$M=$
$\frac{5x}{x+1}$
。答案
7.$\frac{5x}{x+1}$
解析
【分析】根据乘法中因数与积的关系，一个因数=积÷另一个因数，因此求M只需用等式右侧的分式除以左侧的$\frac{y}{x-1}$。解题时先利用平方差公式对$x^2-1$因式分解，再将分式除法转化为乘法运算，最后约掉分子分母的公因式即可得到结果，注意约分要满足分母不为0的隐含条件。
【解析】
解：由题意得：
$M = \frac{5xy}{x^2 - 1} ÷ \frac{y}{x - 1}$
利用平方差公式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入上式：
$M = \frac{5xy}{(x+1)(x-1)} × \frac{x-1}{y}$
约去分子分母的公因式$y$和$x-1$（$y≠0$且$x≠\pm1$），得：
$M=\frac{5x}{x+1}$
【答案】
$\frac{5x}{x+1}$
【知识点】
分式乘除运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，考察对分式乘除法则的掌握程度，解题的关键是正确列出求M的式子，准确进行因式分解和约分，计算时注意避免漏约公因式的错误。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：由题意得：
$M = \frac{5xy}{x^2 - 1} ÷ \frac{y}{x - 1}$
利用平方差公式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入上式：
$M = \frac{5xy}{(x+1)(x-1)} × \frac{x-1}{y}$
约去分子分母的公因式$y$和$x-1$（$y≠0$且$x≠\pm1$），得：
$M=\frac{5x}{x+1}$
【答案】
$\frac{5x}{x+1}$
【知识点】
分式乘除运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，考察对分式乘除法则的掌握程度，解题的关键是正确列出求M的式子，准确进行因式分解和约分，计算时注意避免漏约公因式的错误。
【难度系数】
0.8
8. 计算：
(1) $\dfrac{2a^4b^2}{3c^3} ÷ \dfrac{2a^3b^2}{5c^2}$；
(2) $(a^2 - 4) ÷ \dfrac{a+2}{a}$。
(1) $\dfrac{2a^4b^2}{3c^3} ÷ \dfrac{2a^3b^2}{5c^2}$；
(2) $(a^2 - 4) ÷ \dfrac{a+2}{a}$。
答案
8.解:(1)原式$=\frac{2a^4b^2}{3c^3} · \frac{5c^2}{2a^3b^2}=\frac{5a}{3c}$.
(2)原式$=(a+2)(a-2) · \frac{a}{a+2}=a^2 - 2a$.
(2)原式$=(a+2)(a-2) · \frac{a}{a+2}=a^2 - 2a$.
解析
【分析】
分式除法运算需先将除法转化为乘法，再通过约分完成化简。(1)属于单项式分式的除法运算，先将除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘，再分别对系数、相同字母的幂进行约分即可；(2)的被除式是多项式，先利用平方差公式对其因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式后计算乘积即可。
【解析】
(1) 先将分式除法转化为乘法，即乘以除式的倒数：
原式$=\dfrac{2a^4b^2}{3c^3} · \dfrac{5c^2}{2a^3b^2}$
约去分子分母的公因式$2a^3b^2c^2$，化简得：
$\dfrac{5a}{3c}$
(2) 首先用平方差公式对$a^2-4$因式分解，得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再将除法转化为乘法：
原式$=(a+2)(a-2) · \dfrac{a}{a+2}$
约去公因式$a+2$，再计算整式乘法：
$=a(a-2)=a^2-2a$
【答案】
(1) $\dfrac{5a}{3c}$；(2) $a^2-2a$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，重点考查分式除法的运算规则以及因式分解在分式化简中的应用，计算时注意先处理多项式的因式分解，再进行约分，可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
分式除法运算需先将除法转化为乘法，再通过约分完成化简。(1)属于单项式分式的除法运算，先将除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘，再分别对系数、相同字母的幂进行约分即可；(2)的被除式是多项式，先利用平方差公式对其因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式后计算乘积即可。
【解析】
(1) 先将分式除法转化为乘法，即乘以除式的倒数：
原式$=\dfrac{2a^4b^2}{3c^3} · \dfrac{5c^2}{2a^3b^2}$
约去分子分母的公因式$2a^3b^2c^2$，化简得：
$\dfrac{5a}{3c}$
(2) 首先用平方差公式对$a^2-4$因式分解，得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再将除法转化为乘法：
原式$=(a+2)(a-2) · \dfrac{a}{a+2}$
约去公因式$a+2$，再计算整式乘法：
$=a(a-2)=a^2-2a$
【答案】
(1) $\dfrac{5a}{3c}$；(2) $a^2-2a$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，重点考查分式除法的运算规则以及因式分解在分式化简中的应用，计算时注意先处理多项式的因式分解，再进行约分，可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
9.由甲地到乙地的一条铁路全程为s千米，火车全程运行时间为a小时；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路的m倍，汽车全程运行时间为b小时，那么火车速度是汽车速度的
$\frac{b}{am}$
倍。答案
9.$\frac{b}{am}$
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路思考：首先明确求火车速度是汽车速度的几倍，本质是求两个速度的商，因此需要先分别求出火车和汽车的速度。第一步，根据行程问题中“速度=路程÷时间”的基本公式，分别结合火车、汽车的路程和运行时间，表示出两者的速度；第二步，根据“求一个数是另一个数的几倍用除法”，列出火车速度除以汽车速度的算式；第三步，按照分式乘除的运算法则计算，约去公因式后即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算火车速度：已知铁路全程为$s$千米，运行时间为$a$小时，根据速度公式可得：
$v_{\mathrm{火车}}=\frac{\mathrm{火车行驶路程}}{\mathrm{火车运行时间}}=\frac{s}{a}$（千米/小时）
2. 计算汽车速度：已知公路全程是铁路的$m$倍，因此公路全程为$ms$千米，汽车运行时间为$b$小时，可得：
$v_{\mathrm{汽车}}=\frac{\mathrm{汽车行驶路程}}{\mathrm{汽车运行时间}}=\frac{ms}{b}$（千米/小时）
3. 计算速度的倍数关系：用火车速度除以汽车速度，结合分式除法法则（除以一个分式等于乘以该分式的倒数）计算：
$\frac{v_{\mathrm{火车}}}{v_{\mathrm{汽车}}}=\frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}}=\frac{s}{a}×\frac{b}{ms}=\frac{b}{am}$
【答案】
$\frac{b}{am}$
【知识点】
行程问题基本公式，分式的乘除运算
【点评】
本题结合实际行程场景考察分式的基础运算，解题关键是先准确梳理两类交通工具的路程、时间对应关系，正确表示出速度后再按分式运算规则计算，计算时注意公因式的约分，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，可按以下思路思考：首先明确求火车速度是汽车速度的几倍，本质是求两个速度的商，因此需要先分别求出火车和汽车的速度。第一步，根据行程问题中“速度=路程÷时间”的基本公式，分别结合火车、汽车的路程和运行时间，表示出两者的速度；第二步，根据“求一个数是另一个数的几倍用除法”，列出火车速度除以汽车速度的算式；第三步，按照分式乘除的运算法则计算，约去公因式后即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算火车速度：已知铁路全程为$s$千米，运行时间为$a$小时，根据速度公式可得：
$v_{\mathrm{火车}}=\frac{\mathrm{火车行驶路程}}{\mathrm{火车运行时间}}=\frac{s}{a}$（千米/小时）
2. 计算汽车速度：已知公路全程是铁路的$m$倍，因此公路全程为$ms$千米，汽车运行时间为$b$小时，可得：
$v_{\mathrm{汽车}}=\frac{\mathrm{汽车行驶路程}}{\mathrm{汽车运行时间}}=\frac{ms}{b}$（千米/小时）
3. 计算速度的倍数关系：用火车速度除以汽车速度，结合分式除法法则（除以一个分式等于乘以该分式的倒数）计算：
$\frac{v_{\mathrm{火车}}}{v_{\mathrm{汽车}}}=\frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}}=\frac{s}{a}×\frac{b}{ms}=\frac{b}{am}$
【答案】
$\frac{b}{am}$
【知识点】
行程问题基本公式，分式的乘除运算
【点评】
本题结合实际行程场景考察分式的基础运算，解题关键是先准确梳理两类交通工具的路程、时间对应关系，正确表示出速度后再按分式运算规则计算，计算时注意公因式的约分，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
10.(教材例题变式)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)$米，乙工程队每天修$(a - 2)^2$米(其中$a＞10$)，则甲工程队修900米所用的时间是乙工程队修600米所用的时间的多少倍？
答案
10.解:$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} = \frac{3a-6}{2a+4}$.
所以,甲工程队修900米所用的时间是乙工程队修600米所用的时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍.
所以,甲工程队修900米所用的时间是乙工程队修600米所用的时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍.
解析
【分析】
解决本题首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先分别写出甲修900米、乙修600米的时间表达式；第二步求倍数关系就是用甲的时间除以乙的时间；第三步计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分化简，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据工作时间=工作总量÷工作效率可得：
甲工程队修900米的时间为$\frac{900}{a^2-4}$天，乙工程队修600米的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
所求倍数为：
$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{a^2-4} × \frac{(a-2)^2}{600}$（分式除法法则：除以分式等于乘它的倒数）
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600}$（平方差公式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$）
$=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}$（约去公因式和公因数）
$=\frac{3a-6}{2a+4}$
【答案】
甲工程队修900米所用的时间是乙工程队修600米所用的时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，工程问题公式
【点评】
本题结合实际场景考察分式乘除的应用，解题核心是准确列代数式，再正确运用因式分解、分式运算法则化简，计算时要注意除法转乘法时不要颠倒分子分母，约分要彻底。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先分别写出甲修900米、乙修600米的时间表达式；第二步求倍数关系就是用甲的时间除以乙的时间；第三步计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分化简，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据工作时间=工作总量÷工作效率可得：
甲工程队修900米的时间为$\frac{900}{a^2-4}$天，乙工程队修600米的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
所求倍数为：
$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{a^2-4} × \frac{(a-2)^2}{600}$（分式除法法则：除以分式等于乘它的倒数）
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600}$（平方差公式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$）
$=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}$（约去公因式和公因数）
$=\frac{3a-6}{2a+4}$
【答案】
甲工程队修900米所用的时间是乙工程队修600米所用的时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，工程问题公式
【点评】
本题结合实际场景考察分式乘除的应用，解题核心是准确列代数式，再正确运用因式分解、分式运算法则化简，计算时要注意除法转乘法时不要颠倒分子分母，约分要彻底。
【难度系数】
0.7
