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1.在直角三角形中,有一个锐角是$45°$,则另一个锐角的度数为(
A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
A
).A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
1.A
解析
【分析】
解答本题首先要明确三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的直角，因此剩余两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用两个锐角的和减去已知锐角的度数，即可得到另一个锐角的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°。
直角三角形中有一个内角为直角，即90°，因此该三角形两个锐角的和为：$180°-90°=90°$。
已知其中一个锐角是$45°$，则另一个锐角的度数为：$90°-45°=45°$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础题，侧重考查直角三角形内角的性质，只要熟练掌握相关性质就能快速得出结果，不容易出错。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的直角，因此剩余两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用两个锐角的和减去已知锐角的度数，即可得到另一个锐角的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°。
直角三角形中有一个内角为直角，即90°，因此该三角形两个锐角的和为：$180°-90°=90°$。
已知其中一个锐角是$45°$，则另一个锐角的度数为：$90°-45°=45°$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础题，侧重考查直角三角形内角的性质，只要熟练掌握相关性质就能快速得出结果，不容易出错。
【难度系数】
0.9
2.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B$是$∠ A$的2倍，则$∠ A$的度数为(
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
).A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和相关知识，已知是直角三角形，∠C=90°，可先推出∠A与∠B的和为90°；再结合题目给出的∠B是∠A的2倍的数量关系，通过代入计算即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和为$180°$
∴ $∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°$
又
∵ $∠B = 2∠A$，将其代入上式可得：
$∠A + 2∠A = 90°$
$3∠A = 90°$
解得 $∠A = 30°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，考查对直角三角形性质的掌握，结合角度的倍数关系即可快速求解，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和相关知识，已知是直角三角形，∠C=90°，可先推出∠A与∠B的和为90°；再结合题目给出的∠B是∠A的2倍的数量关系，通过代入计算即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和为$180°$
∴ $∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°$
又
∵ $∠B = 2∠A$，将其代入上式可得：
$∠A + 2∠A = 90°$
$3∠A = 90°$
解得 $∠A = 30°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，考查对直角三角形性质的掌握，结合角度的倍数关系即可快速求解，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.9
3.下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③2∠A−∠B=∠C;④∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C;⑤2∠A=2∠B=∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
3.C
解析
【分析】
要判定△ABC是直角三角形，只需证明三角形中有一个内角为90°即可。我们已知三角形内角和为180°，因此可以将每个条件与内角和公式结合，计算各角的度数，判断是否存在90°的角。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形中∠A+∠B+∠C=180°，逐个分析条件：
1. 条件①：∠A+∠B=∠C，代入内角和公式得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，可判定为直角三角形；
2. 条件②：∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，可判定为直角三角形；
3. 条件③：2∠A−∠B=∠C，变形得2∠A=∠B+∠C，代入内角和公式得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，此时∠B+∠C=120°，无法确定有角为90°，不能判定为直角三角形；
4. 条件④：设∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C=x，则∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=90°，可判定为直角三角形；
5. 条件⑤：设2∠A=2∠B=∠C=x，则∠A=$\frac{x}{2}$，∠B=$\frac{x}{2}$，∠C=x，代入得$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+x=180°，解得x=90°，即∠C=90°，可判定为直角三角形。
综上，能判定为直角三角形的有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题核心是结合三角形内角和180°的性质，通过设未知数、代换计算的方式判断是否存在直角，解题时要注意不能仅根据式子的表面形式判断，需验证是否一定存在90°的内角，避免错判条件③。
【难度系数】
0.7
要判定△ABC是直角三角形，只需证明三角形中有一个内角为90°即可。我们已知三角形内角和为180°，因此可以将每个条件与内角和公式结合，计算各角的度数，判断是否存在90°的角。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形中∠A+∠B+∠C=180°，逐个分析条件：
1. 条件①：∠A+∠B=∠C，代入内角和公式得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，可判定为直角三角形；
2. 条件②：∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，可判定为直角三角形；
3. 条件③：2∠A−∠B=∠C，变形得2∠A=∠B+∠C，代入内角和公式得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，此时∠B+∠C=120°，无法确定有角为90°，不能判定为直角三角形；
4. 条件④：设∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C=x，则∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=90°，可判定为直角三角形；
5. 条件⑤：设2∠A=2∠B=∠C=x，则∠A=$\frac{x}{2}$，∠B=$\frac{x}{2}$，∠C=x，代入得$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+x=180°，解得x=90°，即∠C=90°，可判定为直角三角形。
综上，能判定为直角三角形的有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题核心是结合三角形内角和180°的性质，通过设未知数、代换计算的方式判断是否存在直角，解题时要注意不能仅根据式子的表面形式判断，需验证是否一定存在90°的内角，避免错判条件③。
【难度系数】
0.7
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是(
A.图中互余的角有4对
B.∠A的余角有∠B和∠ACD
C.∠B的余角有∠A和∠BCD
D.图中直角三角形有4个
D
).A.图中互余的角有4对
B.∠A的余角有∠B和∠ACD
C.∠B的余角有∠A和∠BCD
D.图中直角三角形有4个
答案
4.D
解析
【分析】
拿到这道题我们首先要明确两个核心基础概念：1. 若两个角的和为90°，则这两个角互余；2. 有一个内角为直角的三角形是直角三角形。接下来结合已知条件∠ACB=90°、CD⊥AB，先找出图中所有的直角，再逐个分析选项：先统计互余角的对数判断A选项，再分别找∠A、∠B的余角判断B、C选项，最后统计直角三角形的个数判断D选项，即可得出错误结论。
【解析】
已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°。
分析选项A：图中互余的角分别为∠A与∠B、∠A与∠ACD、∠B与∠BCD、∠ACD与∠BCD，共4对，A表述正确，不符合题意。
分析选项B：和∠A相加等于90°的角是∠A的余角，可得∠A的余角为∠B、∠ACD，B表述正确，不符合题意。
分析选项C：同理，和∠B相加等于90°的角是∠B的余角，可得∠B的余角为∠A、∠BCD，C表述正确，不符合题意。
分析选项D：图中的直角三角形为Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD，共3个，不是4个，D表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
互余的定义，直角三角形的定义，垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察直角三角形内角的关系和图形计数，解题时要结合已知条件逐一排查，避免计数时出现漏数或多数的失误。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们首先要明确两个核心基础概念：1. 若两个角的和为90°，则这两个角互余；2. 有一个内角为直角的三角形是直角三角形。接下来结合已知条件∠ACB=90°、CD⊥AB，先找出图中所有的直角，再逐个分析选项：先统计互余角的对数判断A选项，再分别找∠A、∠B的余角判断B、C选项，最后统计直角三角形的个数判断D选项，即可得出错误结论。
【解析】
已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°。
分析选项A：图中互余的角分别为∠A与∠B、∠A与∠ACD、∠B与∠BCD、∠ACD与∠BCD，共4对，A表述正确，不符合题意。
分析选项B：和∠A相加等于90°的角是∠A的余角，可得∠A的余角为∠B、∠ACD，B表述正确，不符合题意。
分析选项C：同理，和∠B相加等于90°的角是∠B的余角，可得∠B的余角为∠A、∠BCD，C表述正确，不符合题意。
分析选项D：图中的直角三角形为Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD，共3个，不是4个，D表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
互余的定义，直角三角形的定义，垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察直角三角形内角的关系和图形计数，解题时要结合已知条件逐一排查，避免计数时出现漏数或多数的失误。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,$CD\bot AB$,垂足为$D$,$∠ A=∠ ACD$,$∠ BCD:∠ A:∠ B=1:3:5$,则$∠ ACB$的度数是(
A.$15°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
).A.$15°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
5.C
解析
【分析】
遇到角度成比例的问题，可先设每份角度为x，用含x的式子表示出各个相关角；再结合CD⊥AB得到直角，利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求出x的值，最后结合角的和差关系计算∠ACB的度数即可。
【解析】
设∠BCD=x，根据∠BCD:∠A:∠B=1:3:5，可得∠A=3x，∠B=5x。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，∠BCD+∠B=90°，即x+5x=90°，
解得x=15°。
又
∵ ∠A=∠ACD，
∴ ∠ACD=∠A=3x=3×15°=45°，
∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+15°=60°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，比例设参求解
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是通过设参数将角度的比例关系转化为方程求解，能帮助学生巩固三角形内角相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
遇到角度成比例的问题，可先设每份角度为x，用含x的式子表示出各个相关角；再结合CD⊥AB得到直角，利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求出x的值，最后结合角的和差关系计算∠ACB的度数即可。
【解析】
设∠BCD=x，根据∠BCD:∠A:∠B=1:3:5，可得∠A=3x，∠B=5x。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，∠BCD+∠B=90°，即x+5x=90°，
解得x=15°。
又
∵ ∠A=∠ACD，
∴ ∠ACD=∠A=3x=3×15°=45°，
∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+15°=60°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，比例设参求解
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是通过设参数将角度的比例关系转化为方程求解，能帮助学生巩固三角形内角相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
6.如图，AC⊥BD，垂足为C，E为AD上一点，连接BE，BE与AC相交于点O，∠BOC=∠D，则∠AEO的度数是
90°
。答案
6.90°
解析
【分析】
解题时首先从已知条件AC⊥BD入手，可得∠ACD=90°，结合三角形内角和定理可推出△ACD中∠A+∠D=90°；再利用对顶角相等的性质，得到∠BOC=∠AOE，结合题中给出的∠BOC=∠D，可将∠D替换为∠AOE，得到∠A+∠AOE=90°，最后在△AOE中再次应用三角形内角和定理即可求出∠AEO的度数。
【解析】
解：
∵AC⊥BD，垂足为C，
∴∠ACD=90°，
在△ACD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠A + ∠D + ∠ACD = 180°，
∴∠A + ∠D = 180° - 90° = 90°。
∵∠BOC和∠AOE是对顶角，
∴∠BOC=∠AOE，
又
∵∠BOC=∠D，
∴∠AOE=∠D，
代入∠A + ∠D=90°可得：∠A + ∠AOE=90°。
在△AOE中，∠A + ∠AOE + ∠AEO = 180°，
∴∠AEO=180° - (∠A + ∠AOE)=180° - 90°=90°。
【答案】
90°
【知识点】
垂直的定义，对顶角相等，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过角的等量代换建立已知角和待求角的关系，解题时要熟练掌握三角形内角和、对顶角等基础性质，梳理清楚图中角的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件AC⊥BD入手，可得∠ACD=90°，结合三角形内角和定理可推出△ACD中∠A+∠D=90°；再利用对顶角相等的性质，得到∠BOC=∠AOE，结合题中给出的∠BOC=∠D，可将∠D替换为∠AOE，得到∠A+∠AOE=90°，最后在△AOE中再次应用三角形内角和定理即可求出∠AEO的度数。
【解析】
解：
∵AC⊥BD，垂足为C，
∴∠ACD=90°，
在△ACD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠A + ∠D + ∠ACD = 180°，
∴∠A + ∠D = 180° - 90° = 90°。
∵∠BOC和∠AOE是对顶角，
∴∠BOC=∠AOE，
又
∵∠BOC=∠D，
∴∠AOE=∠D，
代入∠A + ∠D=90°可得：∠A + ∠AOE=90°。
在△AOE中，∠A + ∠AOE + ∠AEO = 180°，
∴∠AEO=180° - (∠A + ∠AOE)=180° - 90°=90°。
【答案】
90°
【知识点】
垂直的定义，对顶角相等，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过角的等量代换建立已知角和待求角的关系，解题时要熟练掌握三角形内角和、对顶角等基础性质，梳理清楚图中角的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是
75°
。答案
7.75°
解析
【分析】
解题时首先利用直尺对边平行的性质，可将求∠1的度数转化为求其同位角的度数。首先明确两类三角尺的固定内角度数：含30°的直角三角尺剩余锐角为60°，另一块三角尺的锐角为45°。再结合三角形内角和定理计算出和∠1相等的同位角的度数，即可得到∠1的数值。
【解析】
解：
∵直尺的上下两条边互相平行，
∴∠1与它的同位角度数相等。
已知含30°的直角三角尺的另一个锐角为90°-30°=60°，观察图形可得，两个三角尺斜边与直尺上沿围成的三角形的两个内角分别为45°和60°。
根据三角形内角和为180°，可得该同位角的度数为：
180°-45°-60°=75°
∴∠1=75°
【答案】
75°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，三角尺角度特征
【点评】
本题是基础角度计算题，结合了常见三角尺的固定角度特征，核心是通过平行线的性质实现角度的转化，再利用三角形内角和计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直尺对边平行的性质，可将求∠1的度数转化为求其同位角的度数。首先明确两类三角尺的固定内角度数：含30°的直角三角尺剩余锐角为60°，另一块三角尺的锐角为45°。再结合三角形内角和定理计算出和∠1相等的同位角的度数，即可得到∠1的数值。
【解析】
解：
∵直尺的上下两条边互相平行，
∴∠1与它的同位角度数相等。
已知含30°的直角三角尺的另一个锐角为90°-30°=60°，观察图形可得，两个三角尺斜边与直尺上沿围成的三角形的两个内角分别为45°和60°。
根据三角形内角和为180°，可得该同位角的度数为：
180°-45°-60°=75°
∴∠1=75°
【答案】
75°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，三角尺角度特征
【点评】
本题是基础角度计算题，结合了常见三角尺的固定角度特征，核心是通过平行线的性质实现角度的转化，再利用三角形内角和计算即可。
【难度系数】
0.7
