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8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,BD⊥AE,交AE的延长线于点D,若∠1=24°,则∠DAB=
(第8题)
24°
(度). (第8题)答案
8.24°
解析
【分析】
解题时先观察图形中的角的关系：首先已知△ABC中∠C是直角，BD垂直AE可得∠D也是直角，且∠AEC与∠BED是对顶角相等，结合三角形内角和为180°，可推出∠CAE和∠1相等；再根据AE是∠BAC的角平分线，角平分线将角分为两个相等的角，即可得出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，BD⊥AE，
∴∠D=∠C=90°，
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED，
根据三角形内角和为180°，在△ACE中：∠CAE=180°-∠C-∠AEC，在△BDE中：∠1=180°-∠D-∠BED，
∴∠CAE=∠1=24°，
又
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAB=∠CAE=24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题的关键是找到图形中相等的角，结合三角形内角和、对顶角性质和角平分线的性质逐步推导，难度较低，需要学生熟练掌握基础的角度关系定理。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中的角的关系：首先已知△ABC中∠C是直角，BD垂直AE可得∠D也是直角，且∠AEC与∠BED是对顶角相等，结合三角形内角和为180°，可推出∠CAE和∠1相等；再根据AE是∠BAC的角平分线，角平分线将角分为两个相等的角，即可得出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，BD⊥AE，
∴∠D=∠C=90°，
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED，
根据三角形内角和为180°，在△ACE中：∠CAE=180°-∠C-∠AEC，在△BDE中：∠1=180°-∠D-∠BED，
∴∠CAE=∠1=24°，
又
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAB=∠CAE=24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题的关键是找到图形中相等的角，结合三角形内角和、对顶角性质和角平分线的性质逐步推导，难度较低，需要学生熟练掌握基础的角度关系定理。
【难度系数】
0.8
9.如图,小明和同学打台球,选择适当的方向击打白球,可以使白球反弹后将黑球撞入袋中,此时∠1=∠2.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘夹角∠3=30°,那么∠1的度数应该是
60°
,才能保证黑球能直接入袋,此时∠1与∠3的关系是互余
.答案
9.60°;互余
解析
【分析】
解题时首先结合台球桌是矩形的特点，可知桌角为90°，要让黑球进入右下角袋口，黑球的运动路径和桌面边缘会构成直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，可先求出∠2的度数；再结合题目给出的反弹时∠1=∠2的条件，就能求出∠1的度数，最后根据两个角的和判断∠1和∠3的数量关系即可。
【解析】
解：
∵台球桌面为矩形，桌角为90°，要使黑球入袋，∠2与∠3是直角三角形的两个锐角
∴∠2 + ∠3 = 90°（直角三角形两锐角互余）
已知∠3=30°，代入得：
∠2 = 90° - 30° = 60°
又
∵反弹时满足∠1=∠2
∴∠1=∠2=60°
此时∠1 + ∠3 = 60° + 30° = 90°，符合互余的定义，因此∠1与∠3互余。
【答案】
60°；互余
【知识点】
直角三角形性质，余角定义，等量代换
【点评】
本题结合台球运动的实际场景考查几何基础知识的应用，需要同学们学会将实际问题转化为几何模型求解，注重对知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合台球桌是矩形的特点，可知桌角为90°，要让黑球进入右下角袋口，黑球的运动路径和桌面边缘会构成直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，可先求出∠2的度数；再结合题目给出的反弹时∠1=∠2的条件，就能求出∠1的度数，最后根据两个角的和判断∠1和∠3的数量关系即可。
【解析】
解：
∵台球桌面为矩形，桌角为90°，要使黑球入袋，∠2与∠3是直角三角形的两个锐角
∴∠2 + ∠3 = 90°（直角三角形两锐角互余）
已知∠3=30°，代入得：
∠2 = 90° - 30° = 60°
又
∵反弹时满足∠1=∠2
∴∠1=∠2=60°
此时∠1 + ∠3 = 60° + 30° = 90°，符合互余的定义，因此∠1与∠3互余。
【答案】
60°；互余
【知识点】
直角三角形性质，余角定义，等量代换
【点评】
本题结合台球运动的实际场景考查几何基础知识的应用，需要同学们学会将实际问题转化为几何模型求解，注重对知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
10.在$△ ABC$中，$∠ ABC=20°$，$∠ ACB=30°$，点$D$在线段$BC$上.若$△ ABD$为直角三角形，则$∠ BAD$的度数是
70°或90°
.答案
10.70°或90°
解析
【分析】
解题时首先注意题干仅说明△ABD为直角三角形，未指明直角的位置，因此需先排除不可能是直角的角，再分情况计算。第一步，先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，确定∠BAC=130°；第二步，已知∠ABD=∠ABC=20°，不可能为直角，因此直角只能是∠ADB或∠BAD两种情况，分别代入三角形内角和公式计算∠BAD的度数即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 20° - 30° = 130°$
已知△ABD为直角三角形，且$∠ ABD=20°≠90°$，因此分两种情况讨论：
① 当$∠ ADB=90°$时，在△ABD中：
$∠ BAD = 180° - ∠ ABD - ∠ ADB = 180° - 20° - 90° = 70°$
② 当$∠ BAD=90°$时，此时△ABD为直角三角形，且$∠ BAD=90°＜130°$，符合点D在线段BC上的要求。
综上，$∠ BAD$的度数为70°或90°。
【答案】
$70°$或$90°$
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易出现漏解的错误，解题时需注意当未明确直角三角形的直角顶点时，要对所有可能的直角位置进行讨论，排除不符合题意的情况后再求解，核心考查对三角形内角和的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先注意题干仅说明△ABD为直角三角形，未指明直角的位置，因此需先排除不可能是直角的角，再分情况计算。第一步，先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，确定∠BAC=130°；第二步，已知∠ABD=∠ABC=20°，不可能为直角，因此直角只能是∠ADB或∠BAD两种情况，分别代入三角形内角和公式计算∠BAD的度数即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 20° - 30° = 130°$
已知△ABD为直角三角形，且$∠ ABD=20°≠90°$，因此分两种情况讨论：
① 当$∠ ADB=90°$时，在△ABD中：
$∠ BAD = 180° - ∠ ABD - ∠ ADB = 180° - 20° - 90° = 70°$
② 当$∠ BAD=90°$时，此时△ABD为直角三角形，且$∠ BAD=90°＜130°$，符合点D在线段BC上的要求。
综上，$∠ BAD$的度数为70°或90°。
【答案】
$70°$或$90°$
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易出现漏解的错误，解题时需注意当未明确直角三角形的直角顶点时，要对所有可能的直角位置进行讨论，排除不符合题意的情况后再求解，核心考查对三角形内角和的灵活运用。
【难度系数】
0.7
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,DE平分∠CDB,且∠A=36°.求∠BCD和∠CED的度数.
答案
11.解:
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB.
∴∠CDB=90°.
又
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°.
∴∠BCD=∠A=36°.
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}×90°=45°$.
∵∠CED+∠ECD+∠CDE=180°,
∴∠CED = 180°−∠ECD−∠CDE = 180°−36°−45°=99°.
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB.
∴∠CDB=90°.
又
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°.
∴∠BCD=∠A=36°.
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}×90°=45°$.
∵∠CED+∠ECD+∠CDE=180°,
∴∠CED = 180°−∠ECD−∠CDE = 180°−36°−45°=99°.
解析
【分析】
解题可分为两个步骤推导：①求∠BCD：已知∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠A与∠B互余，∠BCD也与∠B互余，根据同角的余角相等，即可直接得出∠BCD的度数；②求∠CED：先由DE平分直角∠CDB，根据角平分线的定义求出∠CDE的度数，再利用三角形内角和为180°，在△CDE中代入∠BCD和∠CDE的度数，即可计算出∠CED的大小。
【解析】
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A=36°。
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}×90°=45°$。
∵∠CED+∠ECD+∠CDE=180°，
∴∠CED = 180°−∠ECD−∠CDE = 180°−36°−45°=99°。
【答案】
∠BCD=36°，∠CED=99°
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，综合考察了直角的性质、余角的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时只需理清图中各角的数量关系，逐步推导即可得出结果，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题可分为两个步骤推导：①求∠BCD：已知∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠A与∠B互余，∠BCD也与∠B互余，根据同角的余角相等，即可直接得出∠BCD的度数；②求∠CED：先由DE平分直角∠CDB，根据角平分线的定义求出∠CDE的度数，再利用三角形内角和为180°，在△CDE中代入∠BCD和∠CDE的度数，即可计算出∠CED的大小。
【解析】
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A=36°。
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}×90°=45°$。
∵∠CED+∠ECD+∠CDE=180°，
∴∠CED = 180°−∠ECD−∠CDE = 180°−36°−45°=99°。
【答案】
∠BCD=36°，∠CED=99°
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，综合考察了直角的性质、余角的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时只需理清图中各角的数量关系，逐步推导即可得出结果，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC,2∠A=∠ABC,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数. 
(第12题)
(第12题)答案
12.解:根据题意,得∠C=∠ABC=2∠A,设∠A=x,则∠C=∠ABC=2x.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180°,
解得x=36°.
∴∠C=2x=72°.
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°.
∴∠DBC=90°−∠C=90°−72°=18°.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180°,
解得x=36°.
∴∠C=2x=72°.
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°.
∴∠DBC=90°−∠C=90°−72°=18°.
解析
【分析】
解题时先梳理题干给出的角度等量关系：已知∠C=∠ABC=2∠A，首先利用三角形内角和为180°的性质，通过设未知数的方法列方程，先求出△ABC中∠C的度数；再结合BD是AC边上的高，可知△BDC为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
根据题意，得∠C=∠ABC=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠C=2x=72°。
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°−∠C=90°−72°=18°。
【答案】
18°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；方程法求角度
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，核心是理清角之间的等量关系，借助三角形内角和定理建立方程求解未知角，再结合直角三角形的性质计算所求角度，掌握基础定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题干给出的角度等量关系：已知∠C=∠ABC=2∠A，首先利用三角形内角和为180°的性质，通过设未知数的方法列方程，先求出△ABC中∠C的度数；再结合BD是AC边上的高，可知△BDC为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
根据题意，得∠C=∠ABC=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠C=2x=72°。
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°−∠C=90°−72°=18°。
【答案】
18°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；方程法求角度
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，核心是理清角之间的等量关系，借助三角形内角和定理建立方程求解未知角，再结合直角三角形的性质计算所求角度，掌握基础定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
