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1. 抛物线$y=x^2 -2x +2$与x轴的交点个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
A
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1. A
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点个数，等价于令$y=0$时得到的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数，可通过计算根的判别式$\Delta =b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。解题时先确定二次函数的$a、b、c$的值，再代入计算判别式，最后根据判别式的符号判断交点个数即可。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 - 2x + 2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=2$，代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×2 = 4 - 8 = -4$
∵$\Delta = -4 ＜ 0$
∴该一元二次方程没有实数根，即抛物线$y=x^2 -2x +2$与x轴没有交点，交点个数为0。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数的判断方法，牢记判别式的取值和交点个数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点个数，等价于令$y=0$时得到的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数，可通过计算根的判别式$\Delta =b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。解题时先确定二次函数的$a、b、c$的值，再代入计算判别式，最后根据判别式的符号判断交点个数即可。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 - 2x + 2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=2$，代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×2 = 4 - 8 = -4$
∵$\Delta = -4 ＜ 0$
∴该一元二次方程没有实数根，即抛物线$y=x^2 -2x +2$与x轴没有交点，交点个数为0。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数的判断方法，牢记判别式的取值和交点个数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 关于$x$的二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与$x$轴有两个不同的交点，则$k$的取值范围是（
A.$k≥\frac{9}{4}$
B.$k≤\frac{9}{4}$
C.$k＞\frac{9}{4}$
D.$k＜\frac{9}{4}$
D
）A.$k≥\frac{9}{4}$
B.$k≤\frac{9}{4}$
C.$k＞\frac{9}{4}$
D.$k＜\frac{9}{4}$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先联系二次函数与x轴交点和对应一元二次方程根的关系：二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，图象与x轴有两个不同交点，说明对应方程有两个不相等的实数根，此时根的判别式Δ＞0。接下来我们只需要确定二次函数各项系数，代入判别式列出不等式，解不等式就能得到k的取值范围，注意解不等式时两边除以负数要改变不等号方向。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与$x$轴有两个不同的交点
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -3x +k=0$有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根
本题中$a=1$，$b=-3$，$c=k$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k ＞ 0$
即$9 - 4k ＞ 0$
移项得：$-4k ＞ -9$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k ＜ \frac{9}{4}$
故选D
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 根的判别式的应用
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题的关键是牢记判别式与交点个数的对应规则，同时要注意解含负系数的不等式时不等号方向的变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先联系二次函数与x轴交点和对应一元二次方程根的关系：二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，图象与x轴有两个不同交点，说明对应方程有两个不相等的实数根，此时根的判别式Δ＞0。接下来我们只需要确定二次函数各项系数，代入判别式列出不等式，解不等式就能得到k的取值范围，注意解不等式时两边除以负数要改变不等号方向。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与$x$轴有两个不同的交点
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -3x +k=0$有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根
本题中$a=1$，$b=-3$，$c=k$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k ＞ 0$
即$9 - 4k ＞ 0$
移项得：$-4k ＞ -9$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k ＜ \frac{9}{4}$
故选D
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 根的判别式的应用
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题的关键是牢记判别式与交点个数的对应规则，同时要注意解含负系数的不等式时不等号方向的变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数 $ y=ax^2+bx+c \ (a≠0) $ 的图象上部分点的横坐标 $ x $ 与纵坐标 $ y $ 的对应值如下表：
给出下面四个结论：
①抛物线 $ y=ax^2+bx+c \ (a≠0) $ 开口向上；
②抛物线 $ y=ax^2+bx+c \ (a≠0) $ 与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0, 6) $；
③抛物线 $ y=ax^2+bx+c \ (a≠0) $ 的对称轴是 $ x=\frac{1}{2} $；
④关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0 \ (a≠0) $ 的根是 $ x_1=-2 $ 和 $ x_2=3 $。
其中正确的结论有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
给出下面四个结论：
①抛物线 $ y=ax^2+bx+c \ (a≠0) $ 开口向上；
②抛物线 $ y=ax^2+bx+c \ (a≠0) $ 与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0, 6) $；
③抛物线 $ y=ax^2+bx+c \ (a≠0) $ 的对称轴是 $ x=\frac{1}{2} $；
④关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0 \ (a≠0) $ 的根是 $ x_1=-2 $ 和 $ x_2=3 $。
其中正确的结论有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. C
解析
【分析】
解决本题首先要利用二次函数的对称性，从表格中找到函数值相等的两个点确定对称轴，再结合对称轴两侧函数值的变化判断开口方向，最后结合表格数据和对称性逐一验证四个结论：1. 找到x=0和x=1时y均为6，这两个点关于对称轴对称，可计算出对称轴；2. 根据对称轴两侧y随x的变化规律判断开口方向；3. x=0对应的y值就是抛物线与y轴交点的纵坐标；4. 利用对称性求出y=0时对应的另一个x值，即为一元二次方程的另一个根。
【解析】
步骤1：确定抛物线对称轴
观察表格可知，当x=0和x=1时，y的值都是6，因此这两个点是抛物线上的对称点，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，故结论③正确。
步骤2：判断开口方向
在对称轴左侧（$x＜\frac{1}{2}$），x增大时y的值逐渐增大；在对称轴右侧（$x＞\frac{1}{2}$），x增大时y的值逐渐减小，说明抛物线开口向下，故结论①错误。
步骤3：判断抛物线与y轴的交点
y轴上的点横坐标为0，由表格得x=0时y=6，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,6)$，故结论②正确。
步骤4：求一元二次方程的根
方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，已知x=-2时y=0，即x=-2是一个根，设另一个根为$x_2$，根据对称轴性质可得$\frac{-2+x_2}{2}=\frac{1}{2}$，解得$x_2=3$，因此方程的根为$x_1=-2$和$x_2=3$，故结论④正确。
综上，正确的结论有②③④，共3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心是利用表格中的对称点快速确定对称轴，再结合二次函数的性质逐一推导结论，掌握二次函数的对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要利用二次函数的对称性，从表格中找到函数值相等的两个点确定对称轴，再结合对称轴两侧函数值的变化判断开口方向，最后结合表格数据和对称性逐一验证四个结论：1. 找到x=0和x=1时y均为6，这两个点关于对称轴对称，可计算出对称轴；2. 根据对称轴两侧y随x的变化规律判断开口方向；3. x=0对应的y值就是抛物线与y轴交点的纵坐标；4. 利用对称性求出y=0时对应的另一个x值，即为一元二次方程的另一个根。
【解析】
步骤1：确定抛物线对称轴
观察表格可知，当x=0和x=1时，y的值都是6，因此这两个点是抛物线上的对称点，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，故结论③正确。
步骤2：判断开口方向
在对称轴左侧（$x＜\frac{1}{2}$），x增大时y的值逐渐增大；在对称轴右侧（$x＞\frac{1}{2}$），x增大时y的值逐渐减小，说明抛物线开口向下，故结论①错误。
步骤3：判断抛物线与y轴的交点
y轴上的点横坐标为0，由表格得x=0时y=6，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,6)$，故结论②正确。
步骤4：求一元二次方程的根
方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，已知x=-2时y=0，即x=-2是一个根，设另一个根为$x_2$，根据对称轴性质可得$\frac{-2+x_2}{2}=\frac{1}{2}$，解得$x_2=3$，因此方程的根为$x_1=-2$和$x_2=3$，故结论④正确。
综上，正确的结论有②③④，共3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心是利用表格中的对称点快速确定对称轴，再结合二次函数的性质逐一推导结论，掌握二次函数的对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 若关于$x$的方程$x^2 + bx + c = 0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$，则抛物线$y=(x-1)^2 + b(x-1)+c$与$x$轴的交点的横坐标为（
A.$x_1=0$，$x_2=2$
B.$x_1=0$，$x_2=4$
C.$x_1=-2$，$x_2=2$
D.$x_1=0$，$x_2=-2$
B
）A.$x_1=0$，$x_2=2$
B.$x_1=0$，$x_2=4$
C.$x_1=-2$，$x_2=2$
D.$x_1=0$，$x_2=-2$
答案
4. B
解析
【分析】
要确定抛物线与x轴交点的横坐标，首先需明确：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。已知方程$x^2+bx+c=0$的两根为$-1$和$3$，观察待求方程$(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$的结构，可通过换元法将其与已知方程关联，无需计算$b$、$c$的值即可快速求解。
【解析】
抛物线$y=(x-1)^2 + b(x-1)+c$与$x$轴交点的横坐标满足方程：
$(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$
设$t = x-1$，则上述方程可转化为：
$t^2 + bt + c = 0$
由题意可知，方程$t^2 + bt + c = 0$的解为$t_1=-1$，$t_2=3$。
将$t=x-1$代回得：
① $x-1=-1$，解得$x_1=0$；
② $x-1=3$，解得$x_2=4$。
因此抛物线与x轴交点的横坐标为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 换元法解方程
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题解题的核心是建立待求方程与已知方程的关联，换元法是这类同结构方程题型的常用技巧，也可通过抛物线平移的规律（横坐标右移加左移减）快速得到结果，能有效简化运算、提高解题效率。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线与x轴交点的横坐标，首先需明确：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。已知方程$x^2+bx+c=0$的两根为$-1$和$3$，观察待求方程$(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$的结构，可通过换元法将其与已知方程关联，无需计算$b$、$c$的值即可快速求解。
【解析】
抛物线$y=(x-1)^2 + b(x-1)+c$与$x$轴交点的横坐标满足方程：
$(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$
设$t = x-1$，则上述方程可转化为：
$t^2 + bt + c = 0$
由题意可知，方程$t^2 + bt + c = 0$的解为$t_1=-1$，$t_2=3$。
将$t=x-1$代回得：
① $x-1=-1$，解得$x_1=0$；
② $x-1=3$，解得$x_2=4$。
因此抛物线与x轴交点的横坐标为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 换元法解方程
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题解题的核心是建立待求方程与已知方程的关联，换元法是这类同结构方程题型的常用技巧，也可通过抛物线平移的规律（横坐标右移加左移减）快速得到结果，能有效简化运算、提高解题效率。
【难度系数】
0.7
