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例2 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,-5)$，图象与$x$轴负半轴交于点$A(m,n)$，$-3＜m＜-2$，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是（
A.$3＜x＜4$
B.$4＜x＜5$
C.$5＜x＜6$
D.$6＜x＜7$
解析 因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,-5)$，所以对称轴为$x=2$。
由图象与$x$轴负半轴交于点$A(m,n)$，$-3＜m＜-2$，知右侧交点横坐标的取值范围是$6＜x＜7$。
答案 D
D
）A.$3＜x＜4$
B.$4＜x＜5$
C.$5＜x＜6$
D.$6＜x＜7$
解析 因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,-5)$，所以对称轴为$x=2$。
由图象与$x$轴负半轴交于点$A(m,n)$，$-3＜m＜-2$，知右侧交点横坐标的取值范围是$6＜x＜7$。
答案 D
答案
答案 D
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知二次函数顶点坐标，可先确定对称轴，再利用二次函数图像关于对称轴对称的性质，找到两个交点横坐标的数量关系，最后结合已知负半轴交点的范围，推导正数解的范围。
【解析】
1. 确定对称轴：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,-5)$，
∴ 函数图像的对称轴为直线$x=2$。
2. 找两根的关系：
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个解分别为$x_1$（负半轴交点横坐标，即$m$）、$x_2$（正数解），根据二次函数的对称性，两个x轴交点关于对称轴对称，因此对称轴是两根的中点，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=2$，整理得$x_1+x_2=4$，即$x_2=4-x_1$。
3. 推导正数解的范围：
已知$-3＜x_1＜-2$，对不等式变形：
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$2＜-x_1＜3$；
三边同时加4，得$6＜4-x_1＜7$，即$6＜x_2＜7$。
因此一元二次方程的正数解范围是$6＜x＜7$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是利用二次函数的对称性建立两根的数量关系，再结合不等式性质推导未知根的取值范围，解题时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先要明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知二次函数顶点坐标，可先确定对称轴，再利用二次函数图像关于对称轴对称的性质，找到两个交点横坐标的数量关系，最后结合已知负半轴交点的范围，推导正数解的范围。
【解析】
1. 确定对称轴：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,-5)$，
∴ 函数图像的对称轴为直线$x=2$。
2. 找两根的关系：
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个解分别为$x_1$（负半轴交点横坐标，即$m$）、$x_2$（正数解），根据二次函数的对称性，两个x轴交点关于对称轴对称，因此对称轴是两根的中点，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=2$，整理得$x_1+x_2=4$，即$x_2=4-x_1$。
3. 推导正数解的范围：
已知$-3＜x_1＜-2$，对不等式变形：
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$2＜-x_1＜3$；
三边同时加4，得$6＜4-x_1＜7$，即$6＜x_2＜7$。
因此一元二次方程的正数解范围是$6＜x＜7$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是利用二次函数的对称性建立两根的数量关系，再结合不等式性质推导未知根的取值范围，解题时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
知识点三 二次函数与不等式
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其图象是一条抛物线，当我们研究$y＞0$，$y＜0$或$y≥0$，$y≤0$时，核心在于确定抛物线与
根据函数图象的位置确定相应不等式的解集情况。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其图象是一条抛物线，当我们研究$y＞0$，$y＜0$或$y≥0$，$y≤0$时，核心在于确定抛物线与
$x$轴
的交点的横坐标，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$
的根，它将数轴分成了不同的区域范围，而在每个区域内，二次函数值的正负是确定的，由此可直接得出不等式的解集。根据函数图象的位置确定相应不等式的解集情况。
答案
x轴 $ax^2+bx+c=0$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从二次函数值的正负含义入手：判断y＞0、y＜0等情况，本质是判断函数图象在x轴的上方还是下方，分界点就是函数图象与x轴相交的位置，此时函数值y=0，对应就是y取0时的一元二次方程，顺着这个思路就能推出要填写的内容。
【解析】
我们研究二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值正负时，$y=0$是正负的分界值：
1. 当$y=0$时，对应抛物线上的点纵坐标为0，这类点都在x轴上，所以首先要确定抛物线与x轴交点的横坐标；
2. 交点处$y=0$，代入函数式可得$ax^2+bx+c=0$，因此交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，这些根将数轴划分成不同区间，每个区间内函数值正负固定，即可求解对应不等式。
【答案】
x轴；$ax^2+bx+c=0$
【知识点】
二次函数与x轴的交点；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数、一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系，是后续利用图象法求解二次不等式的核心原理，熟练掌握该知识点可以为解决相关综合题打下基础。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以从二次函数值的正负含义入手：判断y＞0、y＜0等情况，本质是判断函数图象在x轴的上方还是下方，分界点就是函数图象与x轴相交的位置，此时函数值y=0，对应就是y取0时的一元二次方程，顺着这个思路就能推出要填写的内容。
【解析】
我们研究二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值正负时，$y=0$是正负的分界值：
1. 当$y=0$时，对应抛物线上的点纵坐标为0，这类点都在x轴上，所以首先要确定抛物线与x轴交点的横坐标；
2. 交点处$y=0$，代入函数式可得$ax^2+bx+c=0$，因此交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，这些根将数轴划分成不同区间，每个区间内函数值正负固定，即可求解对应不等式。
【答案】
x轴；$ax^2+bx+c=0$
【知识点】
二次函数与x轴的交点；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数、一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系，是后续利用图象法求解二次不等式的核心原理，熟练掌握该知识点可以为解决相关综合题打下基础。
【难度系数】
0.9
例3 已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + c \ (a ＞ 0) $ 过点 (3，0)，当 $ y ＞ 0 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围是（
A.$ x ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 3 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 2 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $
解析 抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + c \ (a ＞ 0) $ 的对称轴为 $ x = -\frac{2a}{2a} = 1 $。
特别提醒
可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半。
解题要点
本题重点考查数形结合思想的应用，借助图象求一元二次方程的根的近似值，首先得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，然后利用二次函数图象的对称性，求出右侧交点横坐标的取值范围。
解题要点
本题考查抛物线的对称性，利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点是解题的关键。
因为抛物线过点 (3，0)，且关于 $ x = 1 $ 对称，
所以抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点到对称轴的距离与点 (3，0) 到 $ x = 1 $ 的距离相等。
所以另一个交点的横坐标为－1。
所以抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标为 (－1，0) 和 (3，0)。
因为 $ a ＞ 0 $，所以抛物线开口向上。
所以当 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $ 时，抛物线在 $ x $ 轴上方。
所以当 $ y ＞ 0 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $。
答案 D
D
）A.$ x ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 3 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 2 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $
解析 抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + c \ (a ＞ 0) $ 的对称轴为 $ x = -\frac{2a}{2a} = 1 $。
特别提醒
可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半。
解题要点
本题重点考查数形结合思想的应用，借助图象求一元二次方程的根的近似值，首先得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，然后利用二次函数图象的对称性，求出右侧交点横坐标的取值范围。
解题要点
本题考查抛物线的对称性，利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点是解题的关键。
因为抛物线过点 (3，0)，且关于 $ x = 1 $ 对称，
所以抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点到对称轴的距离与点 (3，0) 到 $ x = 1 $ 的距离相等。
所以另一个交点的横坐标为－1。
所以抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标为 (－1，0) 和 (3，0)。
因为 $ a ＞ 0 $，所以抛物线开口向上。
所以当 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $ 时，抛物线在 $ x $ 轴上方。
所以当 $ y ＞ 0 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $。
答案 D
答案
答案 D
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：第一步先求抛物线对称轴，二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入系数即可算出对称轴；第二步利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的一个交点$(3,0)$，结合对称轴就能求出另一个交点坐标；第三步根据$a＞0$判断抛物线开口向上，开口向上的抛物线在x轴上方的部分对应的x范围就是$y＞0$时自变量的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线$y = ax^2 - 2ax + c \ (a ＞ 0)$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$b=-2a$，代入得$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
2. 求抛物线与x轴的另一个交点：已知抛物线过点$(3,0)$，该点到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，由抛物线的对称性可知，另一个交点到对称轴的距离也为2，且在对称轴左侧，因此另一个交点的横坐标为$1-2=-1$，即抛物线与x轴的两个交点为$(-1,0)$和$(3,0)$。
3. 确定$y＞0$的x范围：因为$a＞0$，抛物线开口向上，当x落在两个交点外侧时，抛物线位于x轴上方，对应$y＞0$，因此x的取值范围是$x ＜ -1$或$x ＞ 3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称性；二次函数图象性质；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的x轴交点，再结合开口方向对应函数值大于0的区间，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路推导：第一步先求抛物线对称轴，二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入系数即可算出对称轴；第二步利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的一个交点$(3,0)$，结合对称轴就能求出另一个交点坐标；第三步根据$a＞0$判断抛物线开口向上，开口向上的抛物线在x轴上方的部分对应的x范围就是$y＞0$时自变量的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线$y = ax^2 - 2ax + c \ (a ＞ 0)$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$b=-2a$，代入得$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
2. 求抛物线与x轴的另一个交点：已知抛物线过点$(3,0)$，该点到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，由抛物线的对称性可知，另一个交点到对称轴的距离也为2，且在对称轴左侧，因此另一个交点的横坐标为$1-2=-1$，即抛物线与x轴的两个交点为$(-1,0)$和$(3,0)$。
3. 确定$y＞0$的x范围：因为$a＞0$，抛物线开口向上，当x落在两个交点外侧时，抛物线位于x轴上方，对应$y＞0$，因此x的取值范围是$x ＜ -1$或$x ＞ 3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称性；二次函数图象性质；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的x轴交点，再结合开口方向对应函数值大于0的区间，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
