知识点一 二次函数与一元二次方程的联系
一般地，从二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象，可得如下结论：
（1）如果抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 与 $ x $ 轴有公共点，公共点的横坐标是 $ x_0 $，那么当 $ x= $ 时，函数值是0，因此 $ x=x_0 $ 是一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 的一个根。
（2）二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象与 $ x $ 轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。它们分别对应着一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。

（1） $x_0$

【分析】
解题时首先要明确二次函数图象与x轴交点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标（即对应二次函数的函数值）都为0。已知抛物线与x轴公共点的横坐标是$x_0$，说明该公共点的坐标为$(x_0,0)$，将该点代入二次函数解析式，就能得到对应的x取值和函数值的关系，进而结合一元二次方程根的定义得出结论。
【解析】
抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的公共点坐标为$(x_0, 0)$，将$x=x_0$代入二次函数解析式，可得：
$y=a{x_0}^2 + b{x_0} + c = 0$
即当$x=x_0$时，二次函数的函数值为0，符合一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的定义，因此横线处应填$x_0$。
【答案】
（1）$x_0$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数图象的坐标特征
3.一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的根之间的等价关系，牢记基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

例1 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象如图所示，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 的解是 （）
A. $ x_1=-1 $，$ x_2=0 $
B. $ x_1=1 $，$ x_2=2 $
C. $ x_1=1 $，$ x_2=3 $
D. $ x_1=2 $，$ x_2=3 $

解析 由图象可知，二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (1, 0) $，$ (3, 0) $，所以关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 的解是 $ x_1=1 $，$ x_2=3 $。
答案 C
—解题要点
从给出的图形中，找到二次函数图象与 $ x $ 轴的交点坐标分别为 $ (x_1, 0) $ 和 $ (x_2, 0) $，
（1）若图象与 $ x $ 轴有两个交点，则方程有两个不相等的数实根 $ x=x_1 $ 和 $ x=x_2 $；
（2）若图象与 $ x $ 轴有一个交点，则方程有两个相等的实数根 $ x=x_1=x_2 $；
（3）若图象与 $ x $ 轴无交点，则方程无实数根。
利用数形结合的思想直接得出结论，即交点的横坐标即为方程的解。

答案 C

【分析】
解决本题首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的几何意义：即二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程的解。因此解题时只需观察图象找到二次函数与x轴的两个交点，读取交点的横坐标，即可得到方程的解，再匹配对应选项即可。
【解析】
观察二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，可得图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$。根据二次函数与一元二次方程的对应关系，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数与对应一元二次方程的关联，掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根这一规律，结合数形结合思想即可快速解题。
【难度系数】
0.9