24. 方法探索倒数法（月考·天津南开翔宇学校）（本小题10分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的.
例:已知:$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{4}$,求代数式$x+\frac{1}{x}$的值.
解:$\because \frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{x^2 +1}{x}=4$,即$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=4$,$\therefore x+\frac{1}{x}=4$.
材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“k”,将连等式变成几个值为k的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.
例:若$2x=3y=4z$,且$xyz≠0$,求$\frac{x}{y+z}$的值.
解:令$2x=3y=4z=k(k≠0)$则$x=\frac{k}{2},y=\frac{k}{3},z=\frac{k}{4}$,$\therefore \frac{x}{y+z}=\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{1}{3}k+\frac{1}{4}k}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}$.
根据材料回答问题:
(1)已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}(abc≠0)$,求$\frac{3b+4c}{2a}$的值.
(2)已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$,求$x^2 +\frac{1}{x^2}$的值.

24.【解】(1)设$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k(k≠0)$,则$a=5k,b=4k,c=3k,$
$\therefore \frac{3b+4c}{2a}=\frac{3×4k+4×3k}{2×5k}=\frac{12k+12k}{10k}=\frac{24k}{10k}=\frac{12}{5}.$
(2)$\because \frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5},\therefore \frac{x^2 -x +1}{x}=5,\therefore x-1+\frac{1}{x}=5,$
$\therefore x+\frac{1}{x}=6,\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=6^2-2=34.$