典例3 求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点$(0,0),(1,1)$和$(2,5)$；
(2)图象顶点坐标为$(1,-6)$，且经过点$(2,-8)$。

解：
(1) 设所求二次函数的解析式为 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $。
将点$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,5)$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}c = 0 \\a + b + c = 1 \\4a + 2b + c = 5\end{cases}$
将$c=0$代入后两个方程，解得：
$\begin{cases}a = \frac{3}{2} \\b = -\frac{1}{2} \\c = 0\end{cases}$
∴ 所求二次函数的解析式为 $ y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x $。
(2) 已知二次函数图象顶点坐标为$(1,-6)$，设所求二次函数的解析式为 $ y = a(x-1)^2 - 6 \ (a ≠ 0) $。
将点$(2,-8)$代入解析式，得：
$ a · (2-1)^2 - 6 = -8 $
解得 $ a = -2 $。
将$a=-2$代入顶点式并整理：
$ y = -2(x-1)^2 - 6 = -2x^2 + 4x - 8 $
∴ 所求二次函数的解析式为 $ y = -2x^2 + 4x - 8 $。

典例4 已知二次函数$y=x^2 -2ax +a^2 -2a -4$（$a$为常数）的图象与$x$轴有交点，且当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的取值范围是（）.

A.$a≥ -2$
B.$a＜3$
C.$-2≤ a＜3$
D.$-2≤ a≤3$

D

1. 由二次函数图象与x轴有交点，得判别式Δ≥0：
Δ=(-2a)² - 4×1×(a²-2a-4)=8a+16≥0，
解得a≥-2。
2. 该二次函数二次项系数为1＞0，开口向上，对称轴为直线x=a，当x＞a时y随x增大而增大。已知x＞3时y随x增大而增大，因此对称轴x=a需满足a≤3。
3. 联立两个条件得a的取值范围是-2≤a≤3。

典例5 如图，利用墙（墙足够长）和篱笆（图中虚线部分）围成一矩形ABCD.已知篱笆的长度为16 m.
(1)当所围成的矩形ABCD的面积是60 m²时，求矩形的长.
(2)当矩形的长是多少时，矩形的面积S最大？最大面积是多少？

解：
(1) 设BC的长为$x$ m，则AB的长为$(16-x)$ m。
根据题意列方程：
$x(16-x)=60$
整理得：$x^2-16x+60=0$
因式分解得：$(x-6)(x-10)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=10$
当$x=6$时，$AB=16-6=10$；当$x=10$时，$AB=16-10=6$，两种情况矩形的较长边均为10 m。
因此矩形的长为10 m。
(2) 矩形面积$S$的表达式为：
$S=x(16-x)=-x^2+16x$
配方得：
$S=-(x-8)^2+64$
∵二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=8$时，$S$取得最大值，最大值为64，此时$16-x=8$。
答：(1) 矩形的长为10 m；(2) 当矩形的长是8 m时，矩形的面积最大，最大面积是$64\ \mathrm{m}^2$。