典例1 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，下列5个结论：①$abc＜0$；②$3a+c＞0$；③$4a+2b+c＜0$；④$2a+b=0$；⑤$b^2＞4ac$。其中正确的有()。


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

B

逐步分析各结论：
1. 由抛物线开口向下得$a＜0$，对称轴为$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a＞0$，抛物线与$y$轴交于正半轴得$c＞0$，因此$abc＜0$，①正确。
2. 当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c＜0$，将$b=-2a$代入得$a+2a+c=3a+c＜0$，故$3a+c＞0$不成立，②错误。
3. 由对称轴$x=1$，可知$x=2$与$x=0$关于对称轴对称，$x=0$时$y=c＞0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c=c＞0$，故$4a+2b+c＜0$不成立，③错误。
4. 由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$，④正确。
5. 抛物线与$x$轴有两个不同交点，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，⑤正确。
综上，正确的结论共3个。

典例2 将抛物线$y=x^2 -2x +1$先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数解析式为（）.

A.$y=x^2 +4x -3$
B.$y=x^2 +2x -3$
C.$y=x^2 +4x +5$
D.$y=x^2 +2x +5$

C

先将原抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，可得其顶点坐标为$(1,0)$。根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规则，向左平移3个单位长度后顶点横坐标变为$1-3=-2$，再向上平移1个单位长度后顶点纵坐标变为$0+1=1$，因此新抛物线的顶点式为$y=(x+2)^2+1$，将其展开得$y=x^2+4x+5$。