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1. 如图，正方形ABCD的外接圆为$\odot O$，点P在$\overset{\frown}{CD}$上（不与点C重合），则$∠ BPC$的度数是
45°
.若$\odot O$的半径为8，则正方形ABCD的边长为8√2
.答案
1. 45° 8√2 【解析】如图，连接OB,OC。
正方形ABCD的中心角$∠BOC=\frac{360°}{4}=90°$。
$∴∠BPC=\frac{1}{2}∠BOC=45°$，$△OBC$是直角三角形。
又OB=OC=8，
$∴BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$。
$∴$正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
解析
【分析】
要解决本题分两步思考：①求∠BPC的度数：∠BPC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此先求弧BC对应的圆心角∠BOC的度数即可。正方形内接于圆时四条边对应的圆心角相等，∠BOC为周角的$\frac{1}{4}$，算出∠BOC后即可推出∠BPC的度数。②求正方形边长：已知圆半径为8，即OB=OC=8，△OBC是等腰直角三角形，利用勾股定理计算BC的长度，就是正方形的边长。
【解析】
如图，连接OB,OC。
∵正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴四条边对应的圆心角相等，
∴$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
在$Rt△ OBC$中，$OB=OC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$，
即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
$45°$；$8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与正方形结合的基础题型，解题关键是通过作辅助线得到对应圆心角，结合圆周角定理和勾股定理即可求解，熟练掌握基础性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决本题分两步思考：①求∠BPC的度数：∠BPC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此先求弧BC对应的圆心角∠BOC的度数即可。正方形内接于圆时四条边对应的圆心角相等，∠BOC为周角的$\frac{1}{4}$，算出∠BOC后即可推出∠BPC的度数。②求正方形边长：已知圆半径为8，即OB=OC=8，△OBC是等腰直角三角形，利用勾股定理计算BC的长度，就是正方形的边长。
【解析】
如图，连接OB,OC。
∵正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴四条边对应的圆心角相等，
∴$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
在$Rt△ OBC$中，$OB=OC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$，
即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
$45°$；$8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与正方形结合的基础题型，解题关键是通过作辅助线得到对应圆心角，结合圆周角定理和勾股定理即可求解，熟练掌握基础性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】用圆规和量角器等分圆周,画$\odot O$的内接正八边形.(保留用圆规作图的痕迹,不写作法)
【解】如图,正八边形ABCDEFGH即为所求.
规律方法 等分圆周作正多边形的方法:
(1)只用量角器:用量角器把$360°$的圆心角$n$等分,相应地,圆周也被$n$等分,顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(2)用量角器和圆规:先用量角器画一个$\frac{360°}{n}$的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的$n$个等分点,再顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(3)用直尺和圆规:用直尺和圆规等分圆周,可以作正六边形、正方形等特殊的正多边形.
【解】如图,正八边形ABCDEFGH即为所求.
规律方法 等分圆周作正多边形的方法:
(1)只用量角器:用量角器把$360°$的圆心角$n$等分,相应地,圆周也被$n$等分,顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(2)用量角器和圆规:先用量角器画一个$\frac{360°}{n}$的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的$n$个等分点,再顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(3)用直尺和圆规:用直尺和圆规等分圆周,可以作正六边形、正方形等特殊的正多边形.
答案
解：如图，正八边形$ABCDEFGH$即为所求。
解析
【分析】
要画$\odot O$的内接正八边形，本质是将$\odot O$的圆周8等分。首先回忆正n边形的中心角公式：中心角$=\frac{360°}{n}$，因此正八边形的中心角为$360°÷8=45°$。解题思路如下：第一步先画出定圆$\odot O$；第二步用量角器画出一个$45°$的圆心角，得到圆周上的两个相邻等分点；第三步用圆规截取该圆心角对应弧的弦长，在圆周上依次截取等长的弧，得到全部8个等分点；最后顺次连接所有等分点即可得到所求正八边形，作图时注意保留圆规截取的痕迹。
【解析】
1. 先用圆规画任意大小的$\odot O$，确定圆心$O$；
2. 计算正八边形的中心角：$\frac{360°}{8}=45°$，用量角器在$\odot O$中画出圆心角$∠ AOB=45°$，得到圆周上的点$A$、$B$；
3. 保持圆规张角与弦$AB$的长度相等，在$\odot O$上依次截取$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HA}=\overset{\frown}{AB}$，得到8个等分点$A、B、C、D、E、F、G、H$；
4. 顺次连接8个等分点，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形，全程保留圆规作图痕迹即可。
【答案】
如图，正八边形$ABCDEFGH$即为所求。
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 等分圆周作图
3. 圆心角计算
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查利用量角器和圆规绘制圆内接正多边形的操作技能，掌握正多边形中心角的计算方法是解题的前提，熟练使用圆规截取等长弧是作图准确的关键。
【难度系数】
0.8
要画$\odot O$的内接正八边形，本质是将$\odot O$的圆周8等分。首先回忆正n边形的中心角公式：中心角$=\frac{360°}{n}$，因此正八边形的中心角为$360°÷8=45°$。解题思路如下：第一步先画出定圆$\odot O$；第二步用量角器画出一个$45°$的圆心角，得到圆周上的两个相邻等分点；第三步用圆规截取该圆心角对应弧的弦长，在圆周上依次截取等长的弧，得到全部8个等分点；最后顺次连接所有等分点即可得到所求正八边形，作图时注意保留圆规截取的痕迹。
【解析】
1. 先用圆规画任意大小的$\odot O$，确定圆心$O$；
2. 计算正八边形的中心角：$\frac{360°}{8}=45°$，用量角器在$\odot O$中画出圆心角$∠ AOB=45°$，得到圆周上的点$A$、$B$；
3. 保持圆规张角与弦$AB$的长度相等，在$\odot O$上依次截取$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HA}=\overset{\frown}{AB}$，得到8个等分点$A、B、C、D、E、F、G、H$；
4. 顺次连接8个等分点，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形，全程保留圆规作图痕迹即可。
【答案】
如图，正八边形$ABCDEFGH$即为所求。
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 等分圆周作图
3. 圆心角计算
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查利用量角器和圆规绘制圆内接正多边形的操作技能，掌握正多边形中心角的计算方法是解题的前提，熟练使用圆规截取等长弧是作图准确的关键。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形，使点A为它的一个顶点.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
2. 【解】如图，正八边形ABCDEFGH即为所求。
解析
【分析】
要作⊙O的内接正八边形，首先明确正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，因此只需将圆周角平均分成8个$45°$的圆心角，对应弧的端点就是正八边形的顶点。解题思路如下：①先作过点A的直径，将圆分为2等份；②作该直径的垂直平分线，将圆分为4等份，每份对应圆心角为$90°$；③将每个$90°$的圆心角平分，即可得到8个$45°$的圆心角，对应8个顶点，顺次连接所有顶点即可得到所求正八边形。
【解析】
作图步骤（保留作图痕迹即可）：
1. 连接AO并延长，交⊙O于点E，得到直径AE；
2. 作AE的垂直平分线，交⊙O于点C、G，此时圆被分为4个圆心角为$90°$的等份；
3. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$、$∠ EOG$、$∠ GOA$的角平分线，依次交⊙O于点B、D、F、H，此时圆被分为8个圆心角为$45°$的等份；
4. 顺次连接A、B、C、D、E、F、G、H，所得八边形即为⊙O的内接正八边形。
【答案】
正八边形ABCDEFGH即为所求。
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，角平分线与垂直平分线作法
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图，核心是利用正多边形中心角相等的性质，通过作直径、垂直平分线、角平分线得到等弧对应的顶点，作图时需注意按要求保留所有作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要作⊙O的内接正八边形，首先明确正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，因此只需将圆周角平均分成8个$45°$的圆心角，对应弧的端点就是正八边形的顶点。解题思路如下：①先作过点A的直径，将圆分为2等份；②作该直径的垂直平分线，将圆分为4等份，每份对应圆心角为$90°$；③将每个$90°$的圆心角平分，即可得到8个$45°$的圆心角，对应8个顶点，顺次连接所有顶点即可得到所求正八边形。
【解析】
作图步骤（保留作图痕迹即可）：
1. 连接AO并延长，交⊙O于点E，得到直径AE；
2. 作AE的垂直平分线，交⊙O于点C、G，此时圆被分为4个圆心角为$90°$的等份；
3. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$、$∠ EOG$、$∠ GOA$的角平分线，依次交⊙O于点B、D、F、H，此时圆被分为8个圆心角为$45°$的等份；
4. 顺次连接A、B、C、D、E、F、G、H，所得八边形即为⊙O的内接正八边形。
【答案】
正八边形ABCDEFGH即为所求。
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，角平分线与垂直平分线作法
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图，核心是利用正多边形中心角相等的性质，通过作直径、垂直平分线、角平分线得到等弧对应的顶点，作图时需注意按要求保留所有作图痕迹。
【难度系数】
0.7
1. 正十边形的每个中心角的度数都是（
A.$72°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$18°$
B
）A.$72°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$18°$
答案
1. B
解析
【分析】
首先我们需要明确正多边形中心角的相关逻辑：正多边形的中心角是外接圆中以圆心为顶点、正多边形每条边所对的圆心角，所有中心角拼接刚好构成一个周角（总度数为360°）；又因为正多边形各边长度相等，所以对应的各个中心角大小完全相等。因此要求正n边形的每个中心角度数，只需要用周角总度数360°除以边数n即可，本题中是正十边形，代入n=10就能算出结果。
【解析】
解：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正n边形的每个中心角大小相等，因此每个中心角的计算公式为：
$\mathrm{每个中心角度数}=\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数）
本题为正十边形，即$n=10$，代入公式得：
$\mathrm{每个中心角度数}=\frac{360°}{10}=36°$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
正多边形中心角计算；周角的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考察对正多边形中心角计算公式的掌握，记住对应公式就能快速求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
首先我们需要明确正多边形中心角的相关逻辑：正多边形的中心角是外接圆中以圆心为顶点、正多边形每条边所对的圆心角，所有中心角拼接刚好构成一个周角（总度数为360°）；又因为正多边形各边长度相等，所以对应的各个中心角大小完全相等。因此要求正n边形的每个中心角度数，只需要用周角总度数360°除以边数n即可，本题中是正十边形，代入n=10就能算出结果。
【解析】
解：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正n边形的每个中心角大小相等，因此每个中心角的计算公式为：
$\mathrm{每个中心角度数}=\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数）
本题为正十边形，即$n=10$，代入公式得：
$\mathrm{每个中心角度数}=\frac{360°}{10}=36°$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
正多边形中心角计算；周角的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考察对正多边形中心角计算公式的掌握，记住对应公式就能快速求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$.若$\odot O$的周长是$12π$，则点F到BC的距离是（
A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.$6\sqrt{3}$
D
）A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.$6\sqrt{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从已知的圆周长条件入手，首先计算出外接圆的半径，再利用正六边形内接于圆的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，计算出正六边形的边心距（中心到边的距离）。观察图形可知BC与FE平行，所求点F到BC的距离可转化为两条平行线FE和BC之间的距离，即两侧边心距之和，代入计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：求$\odot O$的半径
设$\odot O$的半径为$r$，由圆的周长公式$C=2π r$，已知周长为$12π$，代入得：
$2π r=12π$，解得$r=6$。
步骤2：计算正六边形的边心距
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即边长为6。
过圆心O作$OM⊥ BC$于点M，延长MO交FE于点N：
∵ 正六边形对边平行，即$FE// BC$，
∴ $ON⊥ FE$。
OM、ON分别是中心O到BC、FE的边心距，对于边长为$a$的正六边形，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，代入$a=6$得：
$OM=ON=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$。
步骤3：计算点F到BC的距离
∵ 点F在FE上，FE到BC的距离就是线段MN的长度，
∴ 点F到BC的距离$MN=OM+ON=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形和圆；圆的周长计算；平行线间的距离
【点评】
本题重点考查正六边形与外接圆的性质，解题的关键是掌握正六边形边长等于外接圆半径、边心距的计算方法，同时能将所求点到直线的距离转化为平行线间的距离简化计算，是正多边形相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的圆周长条件入手，首先计算出外接圆的半径，再利用正六边形内接于圆的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，计算出正六边形的边心距（中心到边的距离）。观察图形可知BC与FE平行，所求点F到BC的距离可转化为两条平行线FE和BC之间的距离，即两侧边心距之和，代入计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：求$\odot O$的半径
设$\odot O$的半径为$r$，由圆的周长公式$C=2π r$，已知周长为$12π$，代入得：
$2π r=12π$，解得$r=6$。
步骤2：计算正六边形的边心距
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即边长为6。
过圆心O作$OM⊥ BC$于点M，延长MO交FE于点N：
∵ 正六边形对边平行，即$FE// BC$，
∴ $ON⊥ FE$。
OM、ON分别是中心O到BC、FE的边心距，对于边长为$a$的正六边形，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，代入$a=6$得：
$OM=ON=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$。
步骤3：计算点F到BC的距离
∵ 点F在FE上，FE到BC的距离就是线段MN的长度，
∴ 点F到BC的距离$MN=OM+ON=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形和圆；圆的周长计算；平行线间的距离
【点评】
本题重点考查正六边形与外接圆的性质，解题的关键是掌握正六边形边长等于外接圆半径、边心距的计算方法，同时能将所求点到直线的距离转化为平行线间的距离简化计算，是正多边形相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
