3. ，点A，B，C，D为一个正多边形的部分顶点，点O为正多边形的中心. 若∠AOD=120°，则这个正多边形的边数为。

3. 9

【分析】
解决这道题的核心是利用正多边形中心角的性质：正多边形的所有中心角大小相等，所有中心角之和为周角360°，且相邻两个顶点与中心连线的夹角就是1个中心角。首先观察图形，点A到点D之间依次有B、C两个顶点，因此∠AOD是由3个相等的中心角组成的，已知∠AOD=120°，我们可以先求出单个中心角的度数，再根据“正多边形边数=360°÷单个中心角的度数”即可算出边数。
【解析】
解：观察图形可知，∠AOD包含3个大小相等的正多边形中心角。
已知∠AOD=120°，则该正多边形的单个中心角度数为：
$120°÷3=40°$
设正多边形的边数为$n$，根据正多边形中心角公式：$\mathrm{单个中心角}=\frac{360°}{n}$，可得：
$n=360°÷40°=9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形的性质、中心角计算、周角的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查正多边形中心角的相关计算，解题的关键是准确判断已知角包含的中心角个数，再结合中心角和边数的关系列式计算即可。
【难度系数】
0.7

4.如图,点A是$\odot O$上一点.请利用直尺和圆规画出$\odot O$的内接正三角形ABC.(保留作图痕迹,不写作法)

4. 【解】如图，$△ ABC$即为所求。

【分析】
要画⊙O的内接正三角形，核心是将圆周三等分，三个等分点就是正三角形的三个顶点，现在已知顶点A，只需找到另外两个三等分点即可。有两种常用思考路径：
方法一：正三角形每条边对应的圆心角为120°，我们可以先以A为圆心、⊙O的半径为半径画弧，和⊙O交于两点，这两点与O、A构成等边三角形，对应圆心角为60°，两点间的距离就是正三角形的边长，再以A为圆心、该边长为半径画弧，即可得到B、C两个三等分点。
方法二：先将圆周六等分（以⊙O的半径为长度，从A点开始在圆周上依次截取，总共得到6个等分点），再从A点开始，每隔一个等分点取一个点，即可得到另外两个三等分点B、C。
最后顺次连接A、B、C三点就得到所求的内接正三角形。
【解析】
根据圆内接正三角形的性质，三个顶点将圆周三等分，每段弧对应圆心角为120°。作图时可先将圆周六等分，再间隔取点得到三个三等分点，或直接通过作等于正三角形边长的弦得到另外两个顶点，最终顺次连接三个顶点即可，全程保留作图痕迹，无需写作法。
【答案】
如图，$△ ABC$即为所求。
【知识点】
1. 圆内接正三角形性质
2. 尺规作图
3. 同圆弧与弦的关系
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查对圆内接正多边形特征的理解和动手操作能力，掌握圆周等分的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5. 如图，正八边形的对角线AB，CD相交于点E.若正八边形的边长为4，则线段AB的长为（）

A.$6\sqrt{2}$
B.$4+2\sqrt{2}$
C.$4+4\sqrt{2}$
D.12

5. C

【分析】
求解本题首先回忆正多边形内角和公式，先计算正八边形的内角度数，观察线段AB的构成：AB可拆分为三段，中间一段长度等于正八边形的边长，左右两段分别是含45°角的等腰直角三角形的直角边。先利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长，再将三段长度相加即可得到AB的长。
【解析】
第一步：计算正八边形的内角度数
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），正八边形边数$n=8$，则内角和为$(8-2)×180°=1080°$，单个内角的度数为$1080°÷8=135°$。
第二步：分析AB两侧的三角形形状
正八边形相邻内角为$135°$，因此AB侧边的小三角形的锐角为$180°-135°=45°$，可知该三角形为等腰直角三角形，其斜边长等于正八边形的边长4。
第三步：求等腰直角三角形的直角边长
设直角边长为$x$，根据勾股定理：
$x^2+x^2=4^2$
$2x^2=16$
解得$x=2\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
第四步：计算AB的长度
AB由两段直角边和一段正八边形的边长组成，因此：
$AB=2\sqrt{2}+4+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
正多边形的内角和；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与特殊三角形结合的典型计算题，解题核心是合理拆分待求线段，利用正多边形的内角推导出侧边三角形的形状，再结合勾股定理计算对应线段长度，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.6

6. 如图，$\odot O$ 的直径为 20，根据八个方位将圆八等分. 过点 E 作 $\odot O$ 的切线，与 AG 的延长线相交于点 M，连接 AE，EG.
(1)相邻两个方位之间的弧所对的圆心角的度数为 .
(2)求 AG 的长.
(3)求线段 ME 与 EG 的长.

6. 【解】(1) 45°
(2)
∵AE 为$\odot O$ 的直径，
∴$∠ AGE=90°$.
∵$\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{EG}$，
∴$AG=EG$.
在$\mathrm{Rt}△ AGE$ 中，根据勾股定理，得 $AG^2+EG^2=AE^2$.
∴$AG=\frac{\sqrt{2}}{2}AE=\frac{\sqrt{2}}{2}×20=10\sqrt{2}$.
(3)
∵ME 为$\odot O$ 的切线，
∴$∠ AEM=90°$.
由(2)可知$∠ AGE=90°$,$EG=AG=10\sqrt{2}$.
∴$∠ GAE=45°$.
∴$∠ M=180°-90°-45°=45°$.
∴$ME=AE=20$.

【分析】
(1) 圆周总度数为360°，题目将圆八等分，相邻两个方位对应的圆心角就是总度数除以等分数，直接计算即可得到结果。
(2) 求AG长度时，首先观察到AE是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得△AGE是直角三角形；再结合八等分的条件可知弧AG与弧EG相等，因此AG=EG，即△AGE为等腰直角三角形，已知直径AE长20，代入勾股定理即可算出AG的长。
(3) 求ME和EG的长：EG的长度可由第(2)问的结论直接得到；ME是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此∠AEM=90°，结合∠GAE=45°可推出△AEM是等腰直角三角形，即可得到ME的长度。
【解析】
(1) 圆周为360°，八等分后相邻方位对应的圆心角为$360°÷8=45°$。
(2)
∵AE为$\odot O$的直径，
∴$∠ AGE=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵圆被八等分，$\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{EG}$，
∴$AG=EG$，即$△ AGE$为等腰直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AGE$ 中，根据勾股定理，得 $AG^2+EG^2=AE^2$，$AE=20$，
∴$2AG^2=20^2$，解得$AG=\frac{\sqrt{2}}{2}×20=10\sqrt{2}$。
(3)
∵ME为$\odot O$的切线，E为切点，
∴$AE⊥ ME$，即$∠ AEM=90°$。
由(2)可知$EG=AG=10\sqrt{2}$，$∠ GAE=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEM$中，$∠ M=180°-90°-45°=45°=∠ GAE$，
∴$ME=AE=20$。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$
(2) $\boxed{10\sqrt{2}}$
(3) $ME=\boxed{20}$，$EG=\boxed{10\sqrt{2}}$
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合方位划分考查圆的基础性质，解题的核心是熟练掌握圆的相关定理，结合特殊三角形的性质完成计算，整体考查内容较为基础，属于常规题型。
【难度系数】
0.7

7. 如图,正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异,我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.

(1)定义正n边形的角的“接近度”:设正n边形的每个内角都为$m°$,将正n边形的角的“接近度”定义为$|180 - m|$.于是$|180 - m|$的值越小,该正n边形就越接近圆.
①正三角形的角的“接近度”的值为;正二十边形的角的“接近度”的值为.
②当正n边形的角的“接近度”的值为时,正n边形就成了圆.
(2)定义正n边形的边的“接近度”:设正n边形的外接圆的半径为$R$,正n边形的边心距为$r$,将正n边形的边的“接近度”定义为$\left| \frac{r}{R} -1 \right|$.分别计算当$n=3,n=6$时,正n边形的边的“接近度”的值,并猜测当正n边形的边的“接近度”的值为多少时,正n边形就成了圆.

7. 【解】(1)①120 18
②0
(2)如图,当$n=3$时,$\odot O$ 为正三角形$ABC$ 的外接圆,连接 $OA$,$OD⊥ AB$,垂足为 $D$.
易得$∠ CAB=60°$,$∠ OAD=30°$,$∠ ODA=90°$.
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$.
∴$\left| \frac{r}{R}-1 \right|=\frac{1}{2}$.
如图,当 $n=6$ 时,$\odot O$ 为正六边形的外接圆,连接 $OF$,$OH⊥ FG$,垂足为 $H$.
易得$∠ EFG=120°$,$∠ OFH=60°$.
∵$∠ OHF=90°$,
∴$∠ FOH=180°-90°-60°=30°$.
∴$FH=\frac{1}{2}OF$.
在 $\mathrm{Rt}△ OFH$ 中,根据勾股定理,得 $OH^2+FH^2=OF^2$.
∴$OH=\frac{\sqrt{3}}{2}OF$.
∴$\frac{OH}{OF}=\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴$\left| \frac{r}{R}-1 \right|=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
当正$n$ 边形的边的“接近度”的值为 0 时,正$n$边形就成了圆.

【分析】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“接近度”的定义，结合正多边形的性质逐步求解：
1. 第(1)问：先利用正n边形内角公式$m=\frac{(n-2)×180°}{n}$，分别代入n=3、n=20求出对应内角，再代入角的“接近度”公式$|180-m|$计算即可；当正n边形趋近于圆时，内角无限接近180°，对应接近度为0。
2. 第(2)问：分别构造n=3、n=6时正多边形外接圆对应的直角三角形，利用正多边形的中心角、内角性质，结合特殊角的三角函数或勾股定理求出$\frac{r}{R}$的比值，再代入边的“接近度”公式$\left| \frac{r}{R}-1 \right|$计算；当r=R时，正多边形与圆完全重合，对应接近度为0。
【解析】
(1)① 正n边形的内角为$m=\frac{(n-2)×180°}{n}$：
当n=3时，$m=\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，角的“接近度”为$|180-60|=120$；
当n=20时，$m=\frac{(20-2)×180°}{20}=162°$，角的“接近度”为$|180-162|=18$。
② 当$|180-m|=0$时，$m=180°$，此时正n边形的边无限趋近于圆弧，正n边形就成了圆，故接近度为0。
(2) 当n=3时，$\odot O$为正三角形$ABC$的外接圆，连接$OA$，作$OD⊥ AB$，垂足为$D$：
正三角形内角$∠ CAB=60°$，OA平分$∠ CAB$，故$∠ OAD=30°$，$∠ ODA=90°$，在$Rt△ OAD$中，$\frac{OD}{OA}=\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$，因此$\left| \frac{r}{R}-1 \right|=\left| \frac{1}{2}-1 \right|=\frac{1}{2}$。

当n=6时，$\odot O$为正六边形的外接圆，连接$OF$，作$OH⊥ FG$，垂足为$H$：
正六边形内角为$120°$，OF平分$∠ EFG$，故$∠ OFH=60°$，$∠ OHF=90°$，可得$∠ FOH=30°$，因此$FH=\frac{1}{2}OF$。在$Rt△ OFH$中，由勾股定理得$OH^2+FH^2=OF^2$，代入得$OH=\frac{\sqrt{3}}{2}OF$，即$\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\left| \frac{r}{R}-1 \right|=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

当$\left| \frac{r}{R}-1 \right|=0$时，$r=R$，正n边形的边与外接圆弧完全重合，正n边形就成了圆。
【答案】
(1)①$\boxed{120}$；$\boxed{18}$ ②$\boxed{0}$
(2) 当$n=3$时，边的“接近度”为$\boxed{\frac{1}{2}}$；当$n=6$时，边的“接近度”为$\boxed{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$；当边的“接近度”为$\boxed{0}$时，正n边形就成了圆。


【知识点】
正多边形内角计算；正多边形与圆；解直角三角形
【点评】
本题以新定义“接近度”为背景，考查正多边形的性质以及与圆相关的计算，既要求学生准确理解新定义的运算规则，又需要熟练掌握特殊正多边形的边角关系，同时渗透了极限的数学思想，能较好考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7